(完整word版)用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器課程設(shè)計(jì)

1、V=課程設(shè)計(jì)報(bào)告書(shū)姓名:班級(jí)：學(xué)號(hào)：時(shí)間：設(shè)計(jì)題目用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)過(guò)程1 .通過(guò)實(shí)驗(yàn)加深對(duì)雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器基本方法的了解。2 . 了解MATLAB有關(guān)雙線性變換法的子函數(shù)。3 .掌握用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的方法。本次課程設(shè)計(jì)是采用雙 線性變換法基于MATLAB設(shè)計(jì)一個(gè)IIR數(shù)字低通濾波器，其中要求通帶截止 頻率為p=025冗通帶最大衰減Rp=1dB;阻帶最小衰減As=15dB;阻帶截止頻率 cos=(4w濾波器采樣頻率Fs=100Hz.摘要：根據(jù)IIR濾波器的特點(diǎn)，在MATLA環(huán)境下用雙線卜t變換法設(shè)計(jì)IIR 數(shù)字濾波器。利用MATLA般

2、計(jì)濾波器，可以隨時(shí)對(duì)比設(shè)計(jì)要求和濾波器特性 調(diào)整參數(shù)，直觀簡(jiǎn)便，極大的減輕了工作量，有利于濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。關(guān)鍵詞：雙線性變換法,數(shù)字濾波器,MATLAB, IIR1 .設(shè)計(jì)原理與步驟1.1 設(shè)計(jì)原理濾波器的種類很多，從功能上可分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器， 每一種又有模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種形式。如果濾波器的輸人和輸出都 是離散時(shí)間信號(hào)，則該濾波器的沖擊響應(yīng)也必然是離散的，這種濾波器稱之 為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器是一種用來(lái)過(guò)濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過(guò) 對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來(lái)達(dá)到頻域?yàn)V波的目的。數(shù)字濾波器也是具有一定 傳輸選擇特性的數(shù)字信號(hào)處理裝置，其輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，實(shí)質(zhì)

3、上是 一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、 正準(zhǔn)型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。數(shù)字濾波器根據(jù) 其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是，具有無(wú)限 持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型NN十 £301一，)r-0來(lái)實(shí)現(xiàn)，其差分方程為：(1-1)設(shè)計(jì)IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個(gè)物理上可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z),使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望

4、得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻 帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。本次課程設(shè)計(jì)采用雙線性變換 法。1.2 設(shè)計(jì)步驟：(1)將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 H(s);(3)在按一定規(guī)則將H(s)轉(zhuǎn)換為H(z);若所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束，若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟：(4)將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(2)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器H(s),再將H(s)轉(zhuǎn)換為所需的H(z)02 .設(shè)計(jì)方案IIR數(shù)字濾波器是一

5、種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為e %二 ft- o80二二(1-3)I - E9產(chǎn) 1假設(shè)M不，當(dāng)M>N時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-N) 的FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù) 維和 星，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問(wèn)題，即在規(guī)定意義上(通常采用最小均方誤差 準(zhǔn)則)去逼近系統(tǒng)的特性。如果在 S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果 在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法兩種基本方 案，現(xiàn)在就對(duì)兩種基本方案的優(yōu)劣進(jìn)行具體論證， 從而說(shuō)明選擇方案一的理由。方案一：雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器雙線

6、性變換法主要是采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范 圍壓縮到-九T兀T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說(shuō)，第一步先將 整個(gè)S平面壓縮映射到Si平面的-ntntT一條橫帶里；第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變 換關(guān)系z(mì)=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建 立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映 射關(guān)系如圖1所小。軒面圖1雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個(gè)虛軸jQ壓縮到S1平面jQ1軸上的-ttT到ntT段上,可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)21Ttan 一T 2(1-4)式中，T仍是采樣間隔。當(dāng)Q1由-ntT經(jīng)過(guò)0變化到 行 時(shí)，。由-

7、W過(guò)0變化到+巴 也即映射了 整個(gè)jQ軸。將式(1-4)寫(xiě)成j 1T/2j 1T/22eej 1T/2 j 1T/2 Tee將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S平面和S1平面，令jgs, jQ1=s1,則得(1-5)2 eaT/2 e k/22, ST2 1 e s1Tss1T/2J1T/2tanhsTT e e T 2 T 1 e再將S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面z=es 1T(1-6)從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：2 1 z 1s T 1-1 zTs21z 1 Ts22s T 2 一s T(1-7)式(1-6)與式(1-7)是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換 都是兩個(gè)

8、線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式(1-5)與式(1-6)的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。首先，把z=eja,可得(1-勘 1 e j .2.sj tan jT 1 e j T 2即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓其次，將s=(+j Q代入式(1-8),得 一2.2,TjT因此 z 2|z| 'Tj2T T由此看出，當(dāng) K0時(shí)，|z|<1;當(dāng)60時(shí)，|z|>1。也就是說(shuō)，S平面的左半 平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外， S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變 換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。方案二

9、：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響 應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t),即將ha進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha的采樣值，滿足h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。如圖1所示。如果令Ha是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序 列的Z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得(1-9)X(z)z esT二 Xa(s jk s)1 Xa s j 2 kT kT kT可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平 面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的

10、標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。3 / TjImz圖2脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系由(1-9)式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系H(ej )Ha j(1-10)這就是說(shuō)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。 正 如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的， 且?guī)抻谡郫B 頻率以內(nèi)時(shí)，即Ha(j ) 0| | s(1-11)T 2才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)， 而不產(chǎn)生混疊失真，即1I 小九(1-12)H (e ) T Ha j T但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻

11、率響應(yīng)的混疊失真，如圖 2所示。 這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng) 模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng) 混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好 的效果。圖3脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs,若使fs 增加，即令采樣時(shí)間問(wèn)隔(T=1/fs)減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之 間相距更遠(yuǎn)、因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器（例如，衰減特性很好的低通

12、或帶通濾波器）， 而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l 部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用 脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會(huì)進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的 混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jQ 軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如 式（1-8）所示，重寫(xiě)如下：2tan -T 2上式表明，S平面上

13、。與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖4所示。由圖4看出，在零頻率附近，模擬角頻率 。與數(shù)字頻率之間的變換關(guān) 系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)。進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，最后當(dāng)。一 時(shí)，終止在折疊頻率 二九處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超 過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖4雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式 （1-8）及圖2所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問(wèn) 題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字 濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬

14、濾波器 的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性） ，不然變 換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變， 如 圖5.5雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾 波器，但是各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過(guò)頻率的預(yù)防來(lái)加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。由于用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器,存在從S平面到Z平面的多值映射的缺點(diǎn)，而且還有頻譜混疊現(xiàn)象

15、，所以 本次課程設(shè)計(jì)就采用雙線性變換法來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。3設(shè)計(jì)步驟要求：根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法，采用雙線性變換法基于 MATLAB設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，其中要求通帶截止頻率為 p=0.25通;帶最大衰減 Rp=1dB;阻帶最小衰減As=15dB;阻帶截止頻率 s=0.4濾波器采樣頻率 Fs=100Hz.3.1設(shè)計(jì)步驟(1)根據(jù)任務(wù)，確定性能指標(biāo)：在設(shè)計(jì)低通濾波器之前，首先根據(jù)工程實(shí)際的 需要而定濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：通帶截止頻率 wp,阻帶截止頻率 ws,通帶最大衰減Rp,阻帶最小衰減 Rs通帶截止頻率 wp=fp/Fs*2*Pi=0.785,通帶衰減 Rp=1dB和阻帶

16、截止頻率 ws=fs/Fs*2*Pi=1.256,阻帶最大衰減 As=15dB;(2)根據(jù)公式Q =2/T*tan(w/2)進(jìn)行預(yù)修正，將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，對(duì)雙線性變換法一般T=2s通帶截止頻率 wc=(2/T)*tan(wp/2)=tan(0.392)=0.0068阻帶截止頻率 ws=(2/T)*tan(ws/2)=tan(0.628)=0.011通帶最小衰減 Rp=1dB和阻帶最大衰減 As=15dB;(3)將模擬高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器指標(biāo)。normwp=wp/T=wp*Fs=78.5normws=ws/T=ws*Fs=125.6模擬低通濾波器指標(biāo)：nor

17、mwp=78.5, normws=125.6, Rp=1dB, As=15dB (4)設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。用模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s講調(diào)用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬帶通 濾波器。(5)利用雙線性變換法將模擬低通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器H(z).3.2 程序流程框圖讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)I將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)歸一化的模擬低通濾波器階數(shù) N和1db截止頻率模擬域頻率變換，將G(P度換成模擬低通濾波器H(s)用雙線性變換法將H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器H(z)輸入信號(hào)后顯示相關(guān)結(jié)果結(jié)束圖6程序流程框圖3.3 MAT

18、LAB 程序MATLAB程序如下：%數(shù)字濾波器指標(biāo)wp=0.25*pi;%濾波器的通帶截止頻率ws=0.4*pi;%濾波器的阻帶截止頻率Rp=1;As=15;%輸入濾波器的通阻帶衰減指標(biāo)ripple=10A(-Rp/20);Attn=10A(-As/20);%轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)Fs=100；T=1/Fs；Omgp=(2/T)*tan(wp/2); %原型通帶頻率預(yù)修正Omgs=(2/T)*tan(ws/2); %原型阻帶頻率預(yù)修正%模擬原型濾波器計(jì)算n,Omgc=buttord(Omgp,Omgs,Rp,As,'s') %計(jì)算階數(shù) n和截止頻率z0,p0,k0=buttap(

19、n);%歸一化原型設(shè)計(jì)ba=k0*real(poly(z0);%求原型濾波器系數(shù)baa=real(poly(p0);%求原型濾波器系數(shù)aba1,aa1=lp21P(ba,aa,Omgc);%變換為模擬低通濾波器系數(shù)b,a%注意，以上4行求濾波器系數(shù)ba1,aa酌程序，可由下一條程序替代ba1,aa1=butter(n,Omgc,'s'); %直接求模擬濾波器系數(shù)%用雙線性變換法計(jì)算數(shù)字濾波器系數(shù)bd,ad=bilinear(ba1,aa1,Fs); %雙線性變換法計(jì)算數(shù)字濾波器系數(shù) b,asos,g=tf2sos(bd,ad); %由直接型變換為級(jí)聯(lián)型%求數(shù)字系統(tǒng)的頻率特性H,

20、w=freqz(bd,ad);dbH=20*log10(abs(H)+eps)/max(abs(H); % 化為分貝值subplot(2,2,1),plot(w/pi,abs(H);ylabel('|HD;title('幅度響應(yīng)');axis(0,1Q1.1);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0,0.25,0.4,1);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',0,Attn,ripple,1);grid

21、 subplot(2,2,2),plot(w/pi,angle(H)/pi);ylabel('phi');title('相位響應(yīng)');axis(0,1,-1,1);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0,0.25,0.4,1);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',-1,0,1);grid subplot(2,2,3),plot(w/pi,dbH);title('幅度響應(yīng)(dB)'

22、;);ylabel('dB');xlabel('頻率(pi)');axis(0,1,-40,5);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0,0.25,0.4,1);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',-50,-15,-1,0);grid subplot(2,2,4),zplane(bd,ad);axis(-1.1,1.1,-1.1,1.1);title('零級(jí)圖');4.運(yùn)行結(jié)果

23、及分析n=50.17781 0.89130 00.25 0.41幅度響應(yīng)50-1 00.25 0.41相位響應(yīng)Ba幅度響應(yīng)(dB)0.25 0.4)1QT -trap WFanuaa p-1零極圖-10Real Part1.50 5 -圖7運(yùn)行結(jié)果由頻率特性曲線可知，該設(shè)計(jì)結(jié)果在通阻帶截止頻率處能滿足 R產(chǎn)1dB,As>15 dB設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。 由n=5可知，巴特沃斯數(shù)字低通濾波器是一個(gè) 5階的系統(tǒng)，原型Ha(s)在s=-oo 處有5個(gè)零點(diǎn)，映射到 z=-1處。這個(gè)巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為 H(z)=0.0072(1+z-1)5/(1-0.3193z-1)(1-0.6984z-1+0.2053z-2)(1-0.9257z-1+0.5976z-2) 低通原型的每一個(gè)邊界頻率都映射為帶通濾波器兩個(gè)相應(yīng)的邊界頻率。根據(jù)通帶截止頻率和阻帶截止頻率與頻譜函數(shù)曲線比較，滿足設(shè)計(jì)要求。5實(shí)驗(yàn)總結(jié)與心得通過(guò)本次課程設(shè)計(jì)，不僅使我更加熟悉Matlab軟件的應(yīng)用，而且對(duì)數(shù)字信號(hào)處理中相關(guān)的各類濾波器的設(shè)計(jì)又進(jìn)行了一次系統(tǒng)的復(fù)習(xí)；也使我加深了對(duì)課堂抽象概念的理解，鞏固了課堂上所學(xué)的理論知識(shí),理解和掌握了數(shù)字信號(hào)處理中的基本概念、基本原理和基本分析方法。在課程設(shè)計(jì)過(guò)程中，通過(guò)自己搜集材料，擴(kuò)大了自己的知識(shí)面，系統(tǒng)地掌握了