排列組合的應(yīng)用

1、排列組合應(yīng)用（一）排列解排列問題，首先必須認(rèn)真審題，明確問題是否是排列問題，那 是否有序，抓住問題本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析， 同時要講究一些基本策略與方法技巧。1、特殊元素的“優(yōu)先按排法” 。例 1、用 0、 1、2、3、4 這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)的三位數(shù)，其中 偶數(shù)共有多少？分析）由于三位數(shù)是偶數(shù)，故末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，以“0”不能排在首位，所以“ 0”就是其中特殊元素，優(yōu)先按排。按“ 0”在末尾和不在末尾分為兩類。共 a2+a2a3a3=3O種。2、相鄰問題有“捆綁法”。對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可將先相鄰的元素“捆綁”起來，作為一個“大”的元素，與其他元素 排列

2、，然后再對相鄰元素的內(nèi)部進(jìn)行排列。例 2、 7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相鄰有多少種不同的 排法？分析）先把甲乙丙三人“捆綁“看作一個元素，與其余 4 個元素進(jìn) 行排列再對甲、乙、丙三人進(jìn)行排列。共 a5a3種。3、不相鄰問題有“插空法” 。對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可 先將其他元素排好， 然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩 端的空隙間插入即可。例 3、 7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相鄰有多少種不同 的排法？分析）先讓其余 4人站好，有 A 44種排法，這時有 5 個“空隙”可 供甲、乙、丙選取，即 A 53種。共 A 44 A 35種排法。4、間接法或淘汰

3、法。 理解題中的要求，把不符合要求的除去，此時 應(yīng)注意既不能多減也不能少減。例 4、5 名男生， 5名女生排成一行，其中 5 名男生不排在一起，有 幾種排法？分析）先計算出 10人的全排列數(shù)，再減去 5 名男生排在一起的排 列數(shù)即可。共 A 1100 A 55A 66排法。5、合理分類與準(zhǔn)確分步。 解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元 素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情發(fā)生的連續(xù)性分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分 步層次清楚，不重不漏。例 5、五人從左到右站成一排， 其中甲不站排頭， 乙不站第二個位置， 共有多少種不同站法（分析）若甲在第二位置上其余 4人可自由按排，有A4種;若甲在第 3、4、5位置上，則乙可

4、站在其他 3 個位置上，有 A13A13A33種；共 A44+ A 13 A 13A 33種排法?；蛴瞄g接法：甲在第一位置，乙在第二位置有 A3種；甲在第一位置，乙不在第二位置有 A3A3種；甲不在第一位置，乙在第二位置有A3A3種；即共有A3+ A3A3+ A3A3種不符合要求，則符合要求的有 A5(A3+ A3A3+ A；A3)種。6、順序固定問題有“除法” 。對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先將這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行排列， 然后用總的排列數(shù)除以 這幾個元素的全排列數(shù)。例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少種?（分析）先將5人全排列有A5種排法，而甲、乙之間排法有A2種排 法，而

5、甲在乙前的排法只有一種符合，故符合條件的排法有例8由1、2、3、4、5、6六個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)且是6的倍數(shù)的五位數(shù)?（分析）6的倍數(shù)的數(shù)既是2的倍數(shù)不是3的倍數(shù)，其中3的倍數(shù)又 滿足“各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)”的特征。把6個數(shù)字分成4 組：（1, 5）（2, 4）（3）（6），每組數(shù)字之和為3的倍數(shù)，因而可分成兩類，一類由1、5、2、4、6作為數(shù)碼，另一類由1、5、2、4、3作為數(shù)碼，且末尾數(shù)字為偶數(shù)即可。第一類有A3A4種，第二類有共有a12a4種，共有 A3A4 + a2a4種。鞏固練習(xí)1、有3名男生、4名女生、排成一排（1）選其中5人排成一行（2）甲只能在中間或兩頭（3）甲、乙

6、二人必須在兩頭（4）甲不在排頭，乙不在排尾（5）男生、女生 各站一邊（6）男生必須排在一起（7）男生、女生各不相鄰（8） 男生不能相鄰（9）甲、乙、丙三人中甲必須在前，丙必須在后, 但三人不一定相鄰（10）甲、乙中間必須有3人，各有多少種不同的排法(答案)(1) A7 (2) A3A6 (3) A2A5 (4) 3720 (5) A3a4a2 (6)A3A5 (7) A3A4 (8) A4A3 (9)真(10) a2a3a3A2、由數(shù)字0、1、2、2、4、5組成(各位上數(shù)字不允許重復(fù))(1)多少六位數(shù)？ ( 2)多少個六位偶數(shù)(3)多少個被5整除的五位數(shù)？ (4)多少個被3整除的五位數(shù)(5)比

7、240135大的六位數(shù)有多少個？允許重復(fù)呢?例1求不同的排法種數(shù):(1)(2)(3)(4)例36男2女排成一排，6男2女排成一排，4男4女排成一排，4男4女排成一排，2女相鄰；2女不能相鄰； 同性者相鄰； 同性者不能相鄰.某小組6個人排隊照相留念.(1) 若分成兩排照相，前排 2人，后排4人，有多少種不同的排法？(2) 若分成兩排照相，前排 2人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少 種排法？(3) 若排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起，有多少種不同的排法？ 若排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法？(5) 若排成一排照相，其中有 3名男生3名女生，且男生不能相鄰有

8、多少種排法？(6) 若排成一排照相，且甲不站排頭乙不站排尾，有多少種不同的排法？(答案)(1)A15A5 (2)312(3)216(4)216(5)407(二)組合組合與排列有許多聯(lián)系，在解決組合問題中常借用解決排列問題的方法。以下是解決組合問題的幾種方法1、直接法或間接法例1、在100件產(chǎn)品中有98件合格品，2件次品。從這100件產(chǎn)品中 任意取出3件(1) 一共有多少種不同的取法(2)恰好取出1件次品，有多少種取法（3）至少有1件次品，有多少種取法?（答案）（1）C3（2）c2c98（3）C2C28+C2C98 （或 c；。-C98）練習(xí)：要從12人中選出5人去參加一項活動，按下列要求有多少

9、種 不同選法？ （ 1）A、B、C三人必須入選（2）A、B、C三人不能入選（3）A、B、C三人只有一人入選（4）A、B、C三人至少一人入 選（5）A、B、C三人至多二人入選（答案）（1）C9（2）C5（3）C 3 c 9 （4）C 3 c 4 +c（5）c3c9+ C3C4 + C2C3（或 c?2 - C2） 2、分組分配例2、六本不同的書按下列條件各有多少種不同的分法?2 Q 3 亠Q 3 Q 23 C 9 +C 3 C 9每份兩本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分給甲、乙、（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本子（2）分成三份,丙三人，一人一本，一人二本，一人三本（分析）（

10、1）先分給甲有C6種，再分給乙有C4種，最后為丙有C2種, 共 C2 C4 C2=90種（2）問題（1）也可以分成兩步完成：第一步先把六本書均分成三份,設(shè)有x種分法，第二步把已分好的書分給甲、乙、丙三人有A3種，即有xA3= C6 C4 C2x= CC華=15種A說明：（1）（2）兩題的區(qū)別在于（2）只分組不分配，（1）既分組又 分配。那么為什么在（2）中也就是只分組的問題中要除去 Am呢?比如A、B、C、D四個元素要均分為兩組，先取 AB再取CD為一種即 CB或先取CD再取AB為另一種即CD，由于只分組即AB與CD間是無序的因而只能算一種分法。因而“分組分配”有如下一般結(jié)論:a)將2n個元素

11、均分為兩組方法數(shù):種。2!b)將3n個元素均分為三組方法數(shù):C n C n C n5種。3!C）將kn個元素均分為k組方法數(shù):Cn C nC nkn C(k) n.C n幣中 k!。d)將n個元素均分為 m組每組r個（m 二n ）方法數(shù):cncn 丄 c 爲(wèi)，.c；rC；m!e)若再將m組分配給m個對象，則分配方法有cncn工cn”.c；rc；血m!（3）先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三組的方法數(shù)共有C6C2C3=6O種（4）先要把收分成三組有c6c5c3=60種，再分配給三人有A3種共有 a3c6c5c3=360種。練習(xí)：六本不同的書，分成3組，1組4本，其余各1本有多少種分法?C6

12、c2Ci（答案）A3、隔板法例3、某中學(xué)從高中7個班中選出12名學(xué)生組成校代表隊，參加市課外知識競賽，使代表中每個班至少有1人參加的選法有多少種?分析）由于 12 個名額是不可區(qū)分的，所以將問題轉(zhuǎn)化為：把排成 一行的 12 個“ 0”分成 7 份的不同方法數(shù)。 12 個“ 0”形成 11個空隙，用6個隔板可將其分成7組，有C6i種不同的插法，即C6i=462種。練習(xí)： 10個相同的球放入 6 個盒中，每個盒中至少一個的放法有多 少種。答案） C95=126 4、插空法例 4、某城市新修建的一條道路上有 12 盞路燈，為了節(jié)約用電又不 影響照明，可以熄滅其中的 3 盞，但兩端的燈不能熄，也不能熄

13、滅相 鄰的兩盞燈，則熄滅的方法共有多少種？分析）把要熄滅的三盞燈去掉，有九盞燈亮著，則有 8個空隙，在這8個空隙中安排3盞燈故有C3種。練習(xí)：一排無區(qū)別的座位 10個， 3 個人來坐，都不能坐兩頭，且兩 人之間至少有一個座位，問有多少種不同的坐位？答案） C365、遞推法 例 5、一樓梯共 10 級，如果規(guī)定每次只能跨下一級或兩級，要走上 這 10 級樓梯，共有多少種不同的走法？（分析）設(shè)上n級樓梯的走法為an種，則ai=1,a2=2，當(dāng)n2時，上n級樓梯的走法可分兩類：一類是最后一步跨一級有an-1種走法，另一類是最后一步跨二級有an-2種走法，則有an= an-1+環(huán)-2由 a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=a5+a4=13,a7=a6+a5=21,a8=34,a9=55,a 10=89練習(xí)：一個樓梯共18級臺階，一步可跨一級或兩級臺階，若 12步登完共有多少種不同的走法? x十 y=12（分析）一步一臺階x個，一步二臺階y個則有 x-y=18得x=6,y=6,即無論哪種走法都有6個臺階6個一步二臺階的,因而轉(zhuǎn)化為求12步中任選6步的不同選法：C62=924鞏固練習(xí)1、從五雙不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有2只配在一雙的可能性有多少種?2、有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個