彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變

1、第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變8.1.1一鋼桿的橫截面積為 5.0x102m2，所受軸向外力如圖所示，試計算 A、B，B、C和4F3 =5x10 N4，F(xiàn)4 =3x10 N。44C、D 之間的應(yīng)力.F =6X10 N， F2 =8X10 N，解答建立坐標(biāo)系O-X，水平向右為正方向，作垂直于Ox的假想截面S1,S2,S3于 AB 間 E 處,55370BC 間 G 處，CD 間 H 處.Si =S2 =S3 =5.0x10，m以桿的全部為隔離體。受力£,*,*3*4桿所受合力2 F=F1中£ + Fs+F4X軸上投影： _F1+ 有上 +*4=0 合力為零，桿平衡。在以桿的AE部為

2、隔離體，受力F，S1面外側(cè)對它的應(yīng)力&1根據(jù)平衡方程& =上 W. 2咒f0 nS1由于占1與X軸同向，兒W =1.2x108(N /m2)為拉應(yīng)力。在以桿的AG部為隔離體，經(jīng)過同樣分析可得:”無=-0.4x108(N /m2)為壓應(yīng)力最后以桿的AH部為隔離體，經(jīng)過同樣分析可得:/. % =0.6X108(N /m2)為拉應(yīng)力。桿內(nèi)的應(yīng)力不得超過8.1.2利用直徑為0.02m的鋼桿CD固定剛性桿AB.若CDbmax =16X107 Pa.問B處至多能懸掛多大重量(不計桿自重)解答以桿AB為隔離體。受力F,T，建立坐標(biāo)系A(chǔ) -xy,z軸如圖。根據(jù)剛體平衡時 送Mi =0，在z軸方

3、向投影方程為:0.816FT.0r - xT=0Jl.O? +0.82得到 F=0.39T對 CD，因 CT max =16%107(N/m2),故 Tmaxax所以 Fmax =0.39Tmax =1.96>M04(N)8.1.3圖中上半段為橫截面等于4.0x10-4m2且楊氏模量為6.9咒1010Pa的鋁制桿，下半段是橫截面為I.OxlOm2且楊氏模量為19.6<1010 Pa的鋼桿，又知鋁桿內(nèi)允許最大應(yīng)力為7.8X107Pa，鋼桿內(nèi)允許的最大 3m! I*wmIf應(yīng)力為13.7x107Pa.不計桿的自重，求桿下端所能承擔(dān)的最大負(fù)荷以及在此負(fù)荷下桿的總伸長量.解答對于鉛桿允許最

4、大內(nèi)力為4Fmax1 =%8對® =3.12咒10(N)對于鋼桿允許最大內(nèi)力為4Fmax2 = bmax2S2= 37 X 10(N)所以桿的最大承受能力是：1.37咒104(N)根據(jù)胡克定律。在力F =1.37x104(N)的作用下鉛桿伸長量為叭Ffi"S1Y1同理鋼桿的伸長量為爲(wèi)S2Y2所以總的伸長量£磯左+簽二2.89"0®)8.1.4電梯用不在一條直線上的三根鋼索懸掛.電梯質(zhì)量為500kg.最大負(fù)載極限5.5kN.每根鋼6.0X108 Pa.索都能獨(dú)立承擔(dān)總負(fù)載，且其應(yīng)力僅為允許應(yīng)力的70%，若電梯向上的最大加速度為g/5, 求鋼索的直

5、徑為多少？將鋼索看作圓柱體，且不計其自重，取鋼的允許應(yīng)力為解答以電梯和最大負(fù)載為物體系，受力W1+W2二仲勺+m2)g由牛頓第二定律:F-(mi +m 2)g=(mi +m2)'gF=(m1 +口2)詈對某根鋼索，根據(jù)題意bmax =6.0x108（N /m2）d 2Fmax =兀（"2）b max：0.7Fmax =F.Fd、2”"=兀(二)bmax0.72J(mm2)6x45=6.15x10(m)0.7gmax8.1.5 (1)矩形橫截面桿在軸向拉力作用下拉伸應(yīng)變?yōu)槊?此材料的泊松系數(shù)為4 .求證桿體積的相對改變?yōu)镺fbmaxZZZ.Vo表示原來體積，V表示變形

6、后的體積.(2)上式是否適用于壓縮?(3)低碳鋼楊氏模量為Y =19.6咒1010Pa，泊松系數(shù)卩=0.3，受到的拉應(yīng)力為b =1.37 Pa，求桿體積的相對改變. 解答(1 )設(shè)桿長為£0，橫截面積的二邊長為 a0,b0。卩=拉伸時S0，勾0故引=曲V -V0（E +1）f0（習(xí) +1歸0（習(xí) +1）b0 -f0a0b0v0/0a0b0=（£+1）（4 +1）2 -1=（£+1）（1 +卩2客2 -2蟲）-1展開略去S2項(xiàng)） =Z -2曲二（124）(2)壓縮時E <0,1 A 0,仍有習(xí)=所以上式對壓縮時亦適用(3)根據(jù)胡克定律CT =Ysc所以Y，(引

7、為橫向應(yīng)變，E為長應(yīng)變)379V-V。所以b(x)二丫半-Llxdfdx_b(x)-Y=戌+匸(卩為桿長)sY 2丫8.2.1在剪切材料時，由于刀口不快，該鋼板發(fā)生了切變。鋼板的橫截面積為2S = 90cm 。二刀口間的垂直距離為 d=0.5cm。當(dāng)剪切力為F=7xio5N時，求(1)鋼板中的切應(yīng)力,(2 )鋼板的切應(yīng)變，(3)與刀口相齊的兩個截面所發(fā)生的相對滑移。已知鋼的剪切模量N =8咒1010 Pa。解答(1) S=90cm2，剪切力F=7X1O5N。根據(jù)切應(yīng)力定義:-o d12故 =(1-2卩)=2.8x10V Y8.1.6( 1)桿受軸向拉力F，其橫截面為 S，材料的重度(單位體積物

8、質(zhì)的重量)為 7試證明考慮材料的重量時，橫截面內(nèi)的應(yīng)力為b(x) +YxS(2 )桿內(nèi)應(yīng)力如上式，實(shí)證明桿的總伸長量等于'SY 2Y解答(1 )建立坐標(biāo)系0 X如圖，在X處作垂直于0X軸假想截面S,以x=0到x=x的一段桿為隔離體,受拉力F,重力W=-rsxi? S面外側(cè)內(nèi)力P = b(x )S? = b(x)S?I由平衡方程F + W +* P = 0-F - rxs + b( X )s = 0b(x) =F + rxs(2)根據(jù)胡克定律：cr(x) =Ye,< 0鋼板中的切應(yīng)力為T =- = 7.78>dO7(N/m2)s(2)根據(jù)剪的胡克定律 T = N屮鋼板的切應(yīng)變

9、 屮=上= 9.7咒10*(rad)N(3)根據(jù)剪切應(yīng)變的定義 屮=吐，則d£'=4.9x10%)N =2.65x1010Pa，8.3.1 一鋁管直徑為4cm，壁厚1mm，長10m，一端固定，而另一端作用一力矩50N ”m，求鋁管的扭轉(zhuǎn)角&。對同樣尺寸的鋼管在計算一遍。已知鋁的剪切模量鋼的剪切模量為 N =8.0咒1010Pa解答設(shè)管直徑為D，壁厚為d， 根據(jù)切應(yīng)力的定義，注意到MT =D/2切應(yīng)力管長為#，外力矩為M。DL d有：1 2M兀Dd 兀根據(jù)剪切的胡克定律則扭轉(zhuǎn)角2M屮=戈N N 兀 D2d0 =-4L-D/24'M-兀D3dN(1)對于鋁管取N

10、=2.65勺010得:4M0 =0.376(rad)兀 D3dN日= 4M =o.124(rad)(2)對于鋼管取N =8咒1010 得:兀 D3dN8.3.2矩形橫截面長寬比為 2:3的梁，在力偶矩作用下發(fā)生純彎曲。各以橫截面的長和寬作為梁的高度，求同樣力偶矩作用下曲率半徑之比。解答112M設(shè)梁橫截面長為a2d,寬6= 3d。根據(jù)公式k=R=而有 R1_ Y 3 d ( 23d )12M3R2Y2d(3d)12M所以8.3.3 某梁發(fā)生純彎曲，兩長度為L，寬度為 b厚度為h，彎曲后曲率半徑為R，材料楊氏模量為N，求其總形變勢能。解答建立坐標(biāo)系0乙豎直向下為Z軸正方向，原點(diǎn) 0位于中性層內(nèi)。因

11、壓縮拉伸彈性1勢能密度E； =-Ye2。P 2所以對于dz 一層:nf =(R +Z)0 -R日=ze，原長 L=R0則"世=變=蘭L R0 R1 Z 2故 dEp = Y（）2Lbdz2 R因此總形變勢能為：3h/2h/21 z 2YLbhEP= 1 dEP= -Y()2Lbdz=2-P 如2 p 仏224R2基本訓(xùn)練填空A 1("I0表達(dá)式為（1,若桿長為1。，絕對伸長為也1,且各部分長變均勻，則長應(yīng)變的表達(dá)式為）,若桿結(jié)構(gòu)均勻，所受張力均勻分布在橫截面上，則正應(yīng)力的b=S=S ），在比例限度內(nèi)，正應(yīng)力與長應(yīng)變的關(guān)系為(O- = Y £），長變的彈性勢能為（

12、Ep =弓丫名2V ），勢能密度為（U=），2，通過彈性體內(nèi)某一個面元的切向內(nèi)力與該面元的面積之比稱為（切應(yīng)力N），當(dāng)內(nèi)力在上下底面上分布均勻時，則切應(yīng)力可以表示為（ = n = F/SS在一定的限度內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變的關(guān)系為（=），式中a為（1 2 1 2應(yīng)變）。切變的勢能為（Ep mGJV ），切變的勢能密度為（U=3,21 21關(guān)系式為（日=），最大切應(yīng)力表達(dá)式為（Tmax=扭轉(zhuǎn)角與母線的傾斜角之間的關(guān)系為（）;扭轉(zhuǎn)角與與扭轉(zhuǎn)力矩的分，' max3）°兀Ga兀a4,梁的彎曲程度，常用中點(diǎn)下降的距離 y表示，y被稱為（撓度），若梁的橫 截面積為矩形，寬度為b高度為h，二支承點(diǎn)之間的距離為I，則撓度可表