中考數(shù)學(xué)壓軸之阿氏圓模型教案

1、2中考數(shù)學(xué)壓軸之阿氏圓模型教案教學(xué)目標(biāo)：理解阿氏圓定義，構(gòu)造子母三角形相似，會(huì)求形如 AP+1PB的最小值。2教學(xué)重點(diǎn)：掌握構(gòu)造子母三角形相似的方法，阿氏圓問題的解答步驟。教學(xué)難點(diǎn)：靈活構(gòu)造子母三角形相似。教學(xué)過程：PC已知平面上兩定點(diǎn) C、B,則所有滿足PC= k（ k 不等于 1）的點(diǎn) P 的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡PB最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)， 故稱阿氏圓。在初中的題目中往往利用逆向思維構(gòu)造 斜 A型相似（也叫母子型相似）+兩點(diǎn)間線段最短解決帶系數(shù)兩線段之和的最值問題。在幾何畫板上觀察下面的圖形，當(dāng) P 在在圓 A 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC PB 的長(zhǎng)在不斷的發(fā)生變化，但PC的比值卻始終保持

2、不變。PB解決阿氏圓問題，首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質(zhì)和構(gòu)造方法。APAC如圖，在 APB 的邊 AB 上找一點(diǎn) C,使得一=，則此時(shí)厶 APSAABPAB AP分別連接圓心 O 與系數(shù)不為 1 的線段 BP 的兩端點(diǎn)，即 OP OB;OC13計(jì)算 0C 的長(zhǎng)度，由一一=k得：OC=OP（相似比X半徑）0P21那么如何應(yīng)用阿氏圓的性質(zhì)解答帶系數(shù)的兩條線段和的最小值呢?我們來看一道基本題目2.例題講解：已知/ AOB=90，OB=4,OA=6 C 半徑為 2，P 為圓上一動(dòng)點(diǎn).11求：AP+ -BP的最小值為-AP+BP的最小值為23第（1）問解題基本步驟：構(gòu)造厶PCBPOPOBOCOP

3、計(jì)算OB的值，則k=O|1（半徑2（圓心到定點(diǎn)的距離=k（相似比）AB24連接 AC 當(dāng)AP、C 三點(diǎn)共線時(shí)，AP +丄BP二AP+PC二AC5計(jì)算 AC 的長(zhǎng)度即為最小值.總結(jié)歸納：“阿氏圓”的解答步驟x第一步： 連接圓心和動(dòng)點(diǎn) 0(將系數(shù)不為 1 的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連)， 則連接 0P,0B 第二步：計(jì)算出所連接的兩條線段 0P,0B 的長(zhǎng)度.OP第三步：計(jì)算出這兩條線段的比0P=k .OB第四步：在 0B 上取點(diǎn) C,使得0|=0|.第五步：連接 AC,與圓 0 交點(diǎn)即為點(diǎn) P.當(dāng)堂練習(xí)：1、已知。0 半徑為 1, AC BD 為切線，AC=1, BD=2 P 為弧 AB 上一

4、動(dòng)點(diǎn),3、已知點(diǎn) A(-3,0) , B( 0,3 ), C (1,0 ),若點(diǎn) P 為。C 上一動(dòng)點(diǎn)，且。C 與 y 軸相切,1(1) AP+ BP的最小值；44、如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，半。0 交 x 軸與點(diǎn)AB(2,0)兩點(diǎn)，AD BC 均為半。0的切線，AD=2 BC=7.(1)求 0D 的長(zhǎng)；(2)如圖 2,若點(diǎn) P 是半。0 上的動(dòng)點(diǎn)，Q 為 0D 勺中點(diǎn).連接 P0 PQ.1求證：0PGA0DP;2是否存在點(diǎn)P,使PD+ ,2PC有最小值，若存在，試求出點(diǎn) P 若不存在，請(qǐng)說明理由.,4),點(diǎn) P 在半徑為 2 的。0 上運(yùn)動(dòng)，試求gAP+BP的最小值5、(1)如

5、圖 1,已知正方形 ABC 的邊長(zhǎng)為 4,圓 B 的半徑為 2, 點(diǎn)x11求PD+ - PC的最小值和PD-PC的最大值.220),與 y 軸 交拋物線于拋物線 y= ax2+ (a + 3)x+ 3 (a豐0)與 x 軸交于點(diǎn) A (4,6、(2016年* 濟(jì)南 28題)如交于點(diǎn)B,在 x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E (m,0) (0VmV4),過點(diǎn) E 作x 軸的垂線交直線AB 于點(diǎn) N,點(diǎn)P,過點(diǎn) P 作PM 丄AB 于點(diǎn) M .(1)1,求 a 的值和直線 AB 的函數(shù)表達(dá)式;(2)(3)設(shè)厶 PMN 的周長(zhǎng)為 &, AEN 的周長(zhǎng)為 C2,若 =-，求 m 的値;-5O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到C2

6、OE,旋轉(zhuǎn)角為ao aV90)，連如圖 2,已知正方形 ABCD 勺邊長(zhǎng)為 9,圓 B 的半徑為 6,點(diǎn) P 是圓 B 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 那么7、 (2017年*遵義 27 題)如圖，拋物線 y=ax2+bx-a - b (av0, a、b 為常數(shù))與 x 軸交于 A、C 兩點(diǎn)， 與 y 軸交于 B 點(diǎn)，直線AB 的函數(shù)關(guān)系式為 y=8x +16.93(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C 點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 已知點(diǎn) M( m, 0)是線段 OA 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 x 軸的垂線 I 分別與直線 AB 和拋物線交于 D、 E 兩點(diǎn)，當(dāng) m 為何值時(shí)， BDE 恰好是以 DE 為底邊的等腰三角形？(3)在(2)問條件下，當(dāng)厶 BDE 恰好是以 DE2PD+-PC的最小值為32PD-PC的最大值為3(3)如圖 3,已知菱形 ABCD 勺邊長(zhǎng)為1動(dòng)點(diǎn).那么PD + -PC的最小值為課后作業(yè):4,ZB=60,圓 B 的半徑為 2.點(diǎn) P 是圓 B 上的一個(gè)1;PD - PC的最大值為2如圖 2,在(2)的條件下，將線段 OE 繞點(diǎn)接 EA、第28題圖 1第 28 題圖 2x為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn) M 相應(yīng)位置記為點(diǎn) M，將 OM繞原點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 ON(旋轉(zhuǎn)角在 0到 90之間);NPi :