變量之間的關(guān)系單元知識總結(jié)

1、師點撥學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：變量之間的關(guān)系單元知識總結(jié)10 / 9【基本目標(biāo)要求】一、經(jīng)歷探索具體情境中兩個變量之間關(guān)系的過程，體驗一個變量的變化對另一個變量 的影響，發(fā)展符號感.二、在具體情境中理解什么是變量、自變量、因變量，能用關(guān)系式表示某些變量之間的 關(guān)系，會根據(jù)關(guān)系式求值，初步體會自變量和因變量的對應(yīng)關(guān)系.三、能用表格表示變量之間的關(guān)系，會根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)對變化趨勢進行預(yù)測四、經(jīng)歷從圖象中分析變量之間關(guān)系的過程，能從圖象中獲取變量之間關(guān)系的信息，并 能用語言進行描述.【基礎(chǔ)知識導(dǎo)引】一、變量、自變量、因變量的概念在一個變化過程中， 可以取不同數(shù)值的量， 叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量

2、.例如 在表示路程關(guān)系式 s=50t中，速度50恒定不變?yōu)槌Ａ浚?隨t取不同數(shù)值時也取不同數(shù)值， s 與t都為變量.t是自變量，s是因變量.二、變量之間關(guān)系的表示法【重點難點點撥】本章主要內(nèi)容闡述變量、自變量、因變量的概念，用表格、關(guān)系式、圖象表示變量本章 重點是理解變量、自變量、因變量的概念.本章難點是掌握用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系.要掌握上述重點、難點，必須注意以下問題：1 .通過豐富的現(xiàn)實情境引入變量和對變量之間關(guān)系的討論，并通過對變量之間關(guān)系的分析解決問題、進行預(yù)測.2 .體驗探索和表示變量之間關(guān)系的過程，獲得對表格、關(guān)系式、 圖象等多種表示方法的體驗，能讀懂表格、關(guān)系式、圖象所表示的

3、信息，還能運用表格或關(guān)系式刻畫一些具體情境 中變量之間的關(guān)系.3 .能用自己的語言大致描述表格、關(guān)系式和圖象所表示的關(guān)系.【發(fā)散思維分析】本章引導(dǎo)學(xué)生從常量的世界進入了變量的世界，開始接觸一種新的思維方式.本章的主 要內(nèi)容闡述變量、自變量、因變量的概念.用表格、關(guān)系式、圖象表示變量之間的關(guān)系.尤 其是認(rèn)關(guān)系式、圖象中分析變量之間的關(guān)系，獲得信息，對變化關(guān)系進行預(yù)測.本章安排一定數(shù)量的題型發(fā)散，轉(zhuǎn)化發(fā)散題.題型發(fā)散可增大知識點的覆蓋面，訓(xùn)練計算的正確性和熟練程度，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯推理能力及簡明、正確的書面表達能力， 轉(zhuǎn)化發(fā)散促進數(shù)形結(jié)合解題.可發(fā)揮“形”的直觀作用和“數(shù)”的思路規(guī)范優(yōu)勢.由數(shù)思形，

4、由形定數(shù)，數(shù)形滲透， 互相作用.揚長避短，直入捷徑.綜上所述，發(fā)散思維啟迪我們注重觀察、分析問題，利用 形數(shù)轉(zhuǎn)化，尋覓解決問題的方法，為提高綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力奠定堅實的基礎(chǔ)【發(fā)散思維應(yīng)用】1 .小車下滑的時間2 .變化中的三角形3 .溫度的變化4 .速度的變化典型例題1 .在一次實驗中，小強把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下面是測得的彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量 x的一組對應(yīng)值:所掛重量x(kg)012345彈度 y(cm)2(1)上述表格反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？(2)當(dāng)所掛重物為4kg時，彈簧多長？不掛重物呢？(3)若所掛重物為6kg時(在彈簧的允

5、許范圍內(nèi))，你能說出此時彈簧的長度嗎 分析 抓住表格中的對應(yīng)數(shù)據(jù)，找出變量之間的規(guī)律.解(1)彈簧長度y,物體重量x是變量，物體重量是自變量，彈簧長度是因變量; (2)當(dāng)所掛重物為4kg時，彈簧長度為28cm,不掛重物時弓t簧長度為 20cm； (3)當(dāng)所掛重物為6kg時，彈簧長度為32cm.2.如圖61所示，梯形上底的長是 x,下底的長是15,高是8.圖6 1(1)梯形面積y與上底長x之間的關(guān)系式是什么？(2)用表格表示當(dāng)x從10變到20時(每次增加1) , y的相應(yīng)值;(3)當(dāng)x每增加1時，y如何變化？說說你的理由；(4)當(dāng)x=0時，y等于什么？此時它表示的是什么 ？分析(1)根據(jù)梯形面積

6、公式可推出y與x的關(guān)系式；(2)通過計算列表說明；(3)由表格中的數(shù)據(jù)可以觀察出；(4)當(dāng)上底為零時(即成為一個點)，成為三角形.1解(1) y 1 x 15 8,2即 y=4x+60;(2)xio111281920y11161236140(3)當(dāng)x每增加1時，y的值隨之增加4;(4)當(dāng)x=0時，y=60,此時梯形成為了三角形.3.地殼的厚度約為 8到40km.在地表以下不太深的地方，溫度可按y=35x+t計算，其中x是深度(km) , t是地球表面溫度(C), y是所達深度的溫度(C ).(1)在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？(2)分別計算當(dāng)x為lkm, 5km, 10km,20k

7、m時地殼的溫度(地表溫度為2C).解(1)自變量是深度，因變量是溫度；(2)當(dāng) x=1km 時，y=35x+t=35x X 1+2=37( C)；當(dāng) x=5km 時，y=35x+t=35 X 5+2=177( C )；當(dāng) x=10km 時，y=35x+t=35 乂 10+2=352( C )；當(dāng) x=20km 時，y=35x+t=35 X 20+2=702( C ).說明 初步體會自變量和因變量的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系，能由自變量的值求得因變量的值.題型發(fā)散發(fā)散1選擇題 把正確答案的代號填入題中的括號內(nèi).(1)下面的圖表列出了一項試驗的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，表示將皮球從高處d落下時，彈跳高度b與下落高度d的關(guān)系.試

8、問，下面的哪個式子能表示這種關(guān)系(單位：cm)()d5080100150b254050752d(A) b d (B)b=2d (C) b (D)b=d+252(2)某地一天的氣溫隨時間的變化如圖62,根據(jù)圖象可知：在這一天中最高氣溫與達解(1)用驗證法.當(dāng) d=50 時，b d 50 25；22當(dāng) d=80 時，b d 8040 .22當(dāng) d=100 時，b d 100 50 .22當(dāng) d=150 時，b d 150 75 22因上述數(shù)字完全與表格中的數(shù)字符合.故本題應(yīng)選(C).(2)用直接法.由圖6-2知一天達到最高氣溫 12c的時間是14時.故本題應(yīng)選(C).發(fā)散2填空題如圖6-3, AB

9、C是等腰三角形，周長是 60cm,腰為xcm,底為ycm.ABS6-3(1)寫出用含x的關(guān)系式來表示v；(2)當(dāng)腰由20cm變化到25cm時，底邊長由 cm變化到 cm；(3)腰為20cm時，是什么形狀的三角形 ？若腰為30cm時，行嗎？分析 三角形的周長是三條邊長的和.解：(1)y=60-2x ;(2)底邊由20cm變化到10cm；(3)當(dāng)腰為20cm時，是等邊三角形，若腰為 30cm,則無法形成三角形.縱橫發(fā)散發(fā)散1南京市在某一天的地表氣溫是 38 C,據(jù)測量每升高1km,氣溫下降6C,那么在 hkm的高空，溫度t是多少？并計算當(dāng)h的值是6km. 10km 12km時的氣溫.討論一下民用飛

10、 機在一萬米高空飛行時，機艙為什么要與機外空氣隔絕？分析用含h的代數(shù)式來表示氣溫.解：t=38-6h .當(dāng) h=6 時，t=2C；當(dāng) h=10 時，t=-22 C；當(dāng) h=12 時，t=-34 C.原因有很多，其中一點是機艙外溫度非常低.發(fā)散2嬰兒在6個月、一周歲、2周歲時體重分別大約是出生時的2倍、3倍、4倍，6周歲、10周歲時體重分別約是 1周歲時的2倍、3倍.(1)上述哪些量在發(fā)生變化 ？自變量和因變量各是什么 ？(2)某嬰兒在出生時的體重是 3.5kg ,請把他在發(fā)育過程中的體重情況填入卜表：年齡剛出生6個月1周歲2周歲6周歲10周歲體重(kg)(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，說一說兒童從出生

11、到10周歲之間體重是怎樣隨年齡增長而變化的？解：(1)年齡和體重都在變化；年齡是自變量，體重是因變量；(2)年齡剛出生6個月1周歲2周歲6周歲10周歲體重(kg)3.57.010.014.521.531.5(3)兒童從出生到10周歲之間，隨著年齡的增長體重在增加.轉(zhuǎn)化發(fā)散發(fā)散1圖64是某地一天的氣溫隨時間變化的圖象.根據(jù)圖象回答，在這一天中：(1)什么時間氣溫最高？什么時間氣溫最低？最高氣溫和最低氣溫各是多少 (2)20時的氣溫是多少？(3)什么時間的氣溫為 6C?(4)哪段時間內(nèi)氣溫不斷下降 ？(5)哪段時間內(nèi)氣溫持續(xù)不變？圖63解：(1)凌晨4時，氣溫最低，氣溫是-4C; 16時氣溫最高，

12、氣溫是 10C;(2)20時的氣溫是8C;(3)10時和22時的氣溫都是 6C;(4)0時到4時和16時到24時這兩段時間內(nèi)氣溫不斷下降；(5)12時到14時這兩個小時內(nèi)氣溫保持8c的溫度不變.解法指導(dǎo) (1)氣溫最低、最高反映在圖象上就是找最低點和最高點；(2)20時的氣溫是多少，實質(zhì)上是求當(dāng)t=20時，T=？(3)什么時間的氣溫為 6 C,實質(zhì)上是求當(dāng)T=6C時，t=？直線T=6與圖象交于兩點，因此 t=10 或 t=22 ;(4)圖中共有兩段時間氣溫不斷下降，不可遺漏；(5)氣溫保持不變，指的是T值保持不變，圖中只有t在12h到14h這兩個小時滿足條件.發(fā)散2為了加強公民的節(jié)水和用水意識

13、，合理利用水資源，各地采用價格調(diào)控等手段達到節(jié)約用水的目的.某市規(guī)定如下用水收費標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月的用水不超過6m3時，水費按每立方米a元收費；超過6m3時，不超過的部分每立方米仍按a元收費，超過的部分每立方米按c元收費.該市某戶今年 3、4月份的用水量和水費如下表所示：月份用水量(m3)水費(元)357.54927設(shè)某戶該月用水量為xm3 ,應(yīng)交水費為y(元).(1)求a、c的值，并寫出用水不超過 6m3和超過6m3時，y與x之間的關(guān)系式;(2)若該戶5月份的用水量為8m3,求該戶5月份的水費是多少元 ？解：(1)依題意，有：當(dāng) x w 6 時，y=ax;當(dāng) x>6 時，y=6a+c(x-

14、6).由已知，得7.5 5a27 6a 3c解得1.56y=1.5x(x & 6),y=9+6(x-6)=6x-27(x>6)(2)將 x=8 代人 y=6x-27(x>6),y=6X 8-27=21(元).答：t戶5月份的水費是21元.騎車發(fā)散3如圖6 5所示的曲線表示某人騎一輛自行車時離家的距離與時間的關(guān)系. 者九點離開家，十五點回家.根據(jù)這個曲線圖，回答下列問題：>距離(km )圖6-5(1)到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？(2)何時開始第一次休息？休息多長時間？(3)第一次休息時離家多遠？(4)11:00 到12:00他騎了多少千米？(5)他在9:00

15、至IJ 10:00和10:00至IJ 10:30的平均速度是多少 ？(6)他在何時至何時停止前進并休息用午餐？(7)他在停止前進后返回，騎了多少千米？返回時的平均速度是多少 ？解(1)到達離家最遠的地方的時間是12時，離家30km；(2)10.5 時開始第一次休息，休息了 0.5h ;第一次休息時離家17.5km；(4)11:00 到 12:00 ,他騎了 12.5km；(5)9:00 到10:00的平均速度是lOkm/ h, 10:00到10:30的平均速度是 15km/h;(6)從12:00到13:00間停止前進，并休息用午餐較為符合實際情況； 他在停止前進后返回，騎了30km,共用了 2

16、h,故返回時的平均速度是15km/h.知識整合網(wǎng)絡(luò)【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】量與量之間存在著相互影響的關(guān)系，本章通過豐富的現(xiàn)實情境引入變量對變量之間關(guān)系的討論，使學(xué)生體驗探索和表示變量之間關(guān)系的過程，獲得對表格、關(guān)系式、圖象等多種方法的認(rèn)識，能讀懂表格、關(guān)系式、圖象所表示的信息，能用自己的語的描述表格、關(guān)系式和 圖象所表示的關(guān)系，并能預(yù)測 .關(guān)系式是表示變量之間關(guān)系的另一種方法.利用關(guān)系式，可以依據(jù)任何一個自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值.也可以依據(jù)因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值由學(xué)習(xí)常量問題轉(zhuǎn)入學(xué)習(xí)變量問題，這是數(shù)學(xué)思維的一種躍升，引導(dǎo)我們前進的是一種 嶄新的思維方式.【中考信息傳遞】近年來全國各省、市

17、中考題中涉及本章內(nèi)容的題型多為選擇題、填空題，也有部分的應(yīng) 用題及因變量關(guān)于自變量的關(guān)系式的中檔題，應(yīng)該充分重視.【中考名題賞析】題型發(fā)散發(fā)散1填空題（1）觀察下列圖形（圖624）,若第個圖形中陰影部分的面積為1,第個圖形中陰影3 9部分的面積為 3,第個圖形中陰影部分的面積為士，第個圖形中陰影部分的面積為4 1627 一 ，一，一，一一,則第n個圖形中陰影部分的面積為（用字母n表不）64（2002年濰坊市中考試題）圖 6-24解因為第1塊圖形的面積為1,2 1.一 ,33第2塊圖形的面積為3-;44916第4塊圖形的面積為27 .?64 .3第3塊圖形的面積為34第n塊圖形的面積為(2)如圖

18、625,觀察下列三角形圖案，每行圓點的個數(shù)有什么規(guī)律？設(shè)每個三角形有 n行，用n的代數(shù)式表示這兩個三角形圖案中圓點的總數(shù)，為 (2002年廣西壯族自治區(qū)中考試題)圖 6-25解 第1行圓點個數(shù)為1+n,第2行圓點個數(shù)為2+(n-1)=1+n ,第3行圓點個數(shù)為3+(n-2)=1+n ,第n行圓點的個數(shù)為n+1.以上共有n行，故這兩個三角形圖案中圓點的總數(shù)為 n(n+1)個.發(fā)散2解答題如圖626表示一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛過程的函數(shù)圖象(分別為正比例函數(shù)和一次函數(shù)).兩地間的距離是 80km.請你根據(jù)圖象回答或解決下面的問題：(1)誰出發(fā)的較早？早多長時間？誰到達乙地較早？早到多長時間？(2)兩人在途中行駛的速度分別是多少？(3)請你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(4) 指出在什么時間段內(nèi)兩車均行駛在途中( 不包括端點) ； 在這一時間段內(nèi)，請你分別按下列條件列出關(guān)于時間x 的方程或不等式( 不要化簡，也不要求解) ：自行車行駛在摩托車前面；自行車與摩托車相遇；自行車行駛在摩托車后面解(1)由圖可以看出：自行車出發(fā)較早，早 3h;摩托車到達乙地較早，早 3h.(2)對自行車而言：彳T駛的距離是80km,耗時8h,所以其速度是：80+8=10(km/h);對摩托車而言：行駛的距離是80km,