八年級數(shù)學——變量與函數(shù)知識講解【名校試題+詳細解答】

1、變量與函數(shù)【學習目標】1 知道現(xiàn)實生活中存在變量和常量，變量在變化的過程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍） ；2能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見簡單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個值，會求出相應的函數(shù)值3對函數(shù)關系的表示法（如解析法、列表法、圖象法）有初步認識4. 理解函數(shù)圖象上的點的坐標與其解析式之間的關系，會判斷一個點是否在函數(shù)的圖象上，明確交點坐標反映到函數(shù)上的含義.5. 初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點法”畫一個函數(shù)的圖象的一般步驟，對已知圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關系【要點梳理】要點一、變量、常量的概念在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的

2、量為變量. 數(shù)值保持不變的量叫做常量.要點詮釋：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對某個變化過程而言的.例如，s 60t,速度60千米/時是常量，時間t和里程s為變量.要點二、函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量 x與y,并且對于x的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x 是自變量，y 是 x 的函數(shù).要點詮釋：對于函數(shù)的定義，應從以下幾個方面去理解：（ 1 ）函數(shù)的實質(zhì)，揭示了兩個變量之間的對應關系；（ 2）對于自變量x 的取值，必須要使代數(shù)式有實際意義；（ 3）判斷兩個變量之間是否有函數(shù)關系，要看對于x 允許取的每一個值，y 是

3、否都有唯一確定的值與它相對應.（ 4）兩個函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個條件：函數(shù)關系式相同（或變形后相同）；自變量x 的取值范圍相同.否則， 就不是相同的函數(shù). 而其中函數(shù)關系式相同與否比較容易注意到，自變量 x 的取值范圍有時容易忽視，這點應注意.要點三、函數(shù)值y是x的函數(shù)，如果當x = a時y = b ,那么b叫做當自變量為a時的函數(shù)值.要點詮釋：對于每個確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個函數(shù)值對應的自變量可以是多個. 比如： y x2 中，當函數(shù)值為4 時，自變量x 的值為±2.要點四、自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實數(shù)叫自變量的取

4、值范圍.要點詮釋：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（ 1 ）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；（ 2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù)；（ 3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實數(shù)；（ 4）當解析式中含有零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪時，自變量的取值應使相應的底數(shù)不為零;(5)當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義要點五、函數(shù)的幾種表達方式：變量間的單值對應關系有多種表示方法，常見的有以下三種：(1)解析式法：用來表示函數(shù)關系的等式叫做函數(shù)關系式，也稱函數(shù)的解析式 (2)列表法：函數(shù)

5、關系用一個表格表達出來的方法(3)圖象法：用圖象表達兩個變量之間的關系.要點詮釋：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長處.解析式法能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對應值，這會對某些特定的數(shù)值帶來一目了然的效果，例如火車的時刻表，平方表等； 圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢，而且對于一些無法用解析式表達的函數(shù)，圖象可以充當重要角色.要點六、函數(shù)的圖象對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象要點詮釋：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點、

6、連線 .列表時，自變量的 取值范圍應注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)暮瘮?shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象情況【典型例題】類型一、變量與函數(shù)卜列等式中,y是x的函數(shù)有(y2 1, y .x, y |x|, x | y |個 C. 3 個 D.4 個23x 2y 0, x22.對于x y 1,當xA .1 個 B.2 【答案】C;【解析】要判斷是否為函數(shù)，需判斷兩個變量是否滿足函數(shù)的定義取2, y有兩個值土 J3和它對應，對于 x |y|,當x取2, y有兩個值±2和它 對應，所以這兩個式子不滿足函數(shù)的定義的要求：y都有唯一確定的值與 x對應

7、,所以不是函數(shù)，其余三個式子滿足函數(shù)的定義，故選 C.【總結(jié)升華】 在一個變化過程中，如果有兩個變量 x與y,并且對于x的每一個確定的值， y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 x是自變量，y是x的函數(shù).抓住函數(shù)定義中 的關鍵詞語“ y都有唯一確定的值" ，x與y之間的對應，可以是“一對一”，也可以是“多 對一”，不能是“一對多”.舉一反三：【變式】下列函數(shù)中與 y x表示同一函數(shù)的是()x2.a. y x B. y 一 C. y (Jx)2D. y Vx3x【答案】D;提示：表示同一函數(shù)，自變量的取值要相同，化簡后的解析式要相同、如圖所示，下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的有（）y

8、yoA . 1個 【答案】C; 【解析】這是道函數(shù)識別題，從函數(shù)概念出發(fā)，領悟其內(nèi)涵，此題不難得到答案，不構(gòu)成函數(shù)關系.【總結(jié)升華】 在函數(shù)概念中注意兩點：有兩個變量，其中一個變量每取一個確定的值，另個變量就有唯一的一個值與其對應.、求出下列函數(shù)中自變量x的取值范圍(1) . y4x(2) . y 2x 3(3) . y V2x3x、2x 1(5) . y 3/1 2x(6) . y R【思路點撥】自變量的范圍, 數(shù)，分式的分母不為零等等【答案與解析】是使函數(shù)有意義的x的值，大致是開平方時，被開方數(shù)是非負解：（1）.x2 x 5,x為任何實數(shù)，函數(shù)都有意義;.4x ,要使函數(shù)有意義，需2x 3

9、rr32x -30,即 x W 2(3).V2x3 ,要使函數(shù)有意義，需2x +3>0,(4).x -j=,要使函數(shù)有意義，需2x 12x - 1>0,(5).小 2x, x為任何實數(shù)，函數(shù)都有意義;(6).,x 3 x 3 0義二3,要使函數(shù)有意義，需，即x>3且xw2.x 2x 2 0【總結(jié)升華】自變量的取值范圍必須使整個解析式有意義類型二、函數(shù)解析式、如圖所示，在 ABC中，/ C= 90° , AC= 6, BC= 10,設P為BC上任一點，點 P不與點 B C重合，且CP= x.若y表示 APB的面積.(1) 求y與x之間的函數(shù)關系式；(2) 求自變量x的

10、取值范圍.【答案與解析】解：(1)因為 AC= 6, / C= 90° , BC= 10,1 - - 1所以 Sabc -ACgBC - 6 10 30. 22-1 一 1 八 -30 3x .又 S apc AC gPC 6 x 3x , 22所以 y S APB S ABC S APC 30 3x ,即 y(2)因為點P不與點 B C重合，BC= 10,所以0vxv10.【總結(jié)升華】利用三角形面積公式找到函數(shù)關系式，要把握點P是一動點這個規(guī)律，結(jié)合圖形觀察到點P移動到特殊點，便可求出自變量的取值范圍.舉一反三：【變式】 小明在勞動技術課中要制作一個周長為80 cm的等腰三角形.請

11、你寫出底邊長y(cm)與腰長x( cm)的函數(shù)關系式，并求自變量 x的取值范圍.【答案】 解：由題意得，2x y = 80,所以y 80 2x ,由于三角形兩邊之和大于第三邊，且邊長大于0,x 0所以y 80 2x 0,解得20 x 402x 80 2x所以 y 80 2x, 20 x 40.類型三、函數(shù)值 5、若y與x的關系式為y 30x 6,當* =時，y的值為( 3A . 5 B . 10 C . 4 D .41【思路點撥】把x -代入關系式可求得函數(shù)值.3【答案】C;1【解析】y 30 - 6 10 6 4.3【總結(jié)升華】y是x的函數(shù)，如果當x = 2時y = b,那么b叫做當自變量為

12、a時的函數(shù)值 類型四、函數(shù)的圖象46、星期日晚飯后，小紅從家里出去散步，如圖所示，描述了她散步過程中離家的距離s( m)與散步所用的時間t ( min )之間的函數(shù)關系，該圖象反映的過程是：小紅從 家出發(fā)，到了一個公共閱報欄，看了一會報后，繼續(xù)向前走了一段，在郵亭買了一本雜 志，然后回家了.依據(jù)圖象回答下列問題(1)公共閱報欄離小紅家有 米，小紅從家走到公共閱報欄用了 分鐘；(2)小紅在公共閱報欄看新聞一共用了 分鐘；(3)郵亭離公共閱報欄有 米，小紅從公共閱報欄到郵亭用了 分鐘；(4)小紅從郵亭走回家用了 分鐘，平均速度是 米/分鐘.【答案】(1) 300, 4; (2) 6; (3) 200, 3; (4) 5, 100.【解析】由圖象可知，0到4分鐘，小紅從家走到離家 300米的報欄，4到10分鐘，在公共 報欄看新聞，10到13分鐘從報欄走到200米外的郵亭，13到18分鐘，從離家500