微積分在物理競賽中的應(yīng)用

1、求解在立體斜面上滑動的物體的速度一物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦因數(shù)今使物體獲得一水平速度 V0而滑動，如圖一，求：物體在軌道上任意一點的速度V與的關(guān)系，設(shè) 為速度與水平線的夾角。解：物體在某一位置所受的力有：重力G ,彈力N以及摩擦力f。摩擦力f總是與運(yùn)動速度 V的方向相反，其數(shù)值f N mg cos tg mg cos mg sin重力在斜面上的分力為 G1 ,如圖二，將G1分解為兩個分力：Gi是Gi沿軌跡切線方向的分力，G1 G1sin mg sin sin ； G1 是沿 軌 跡 法 向 的 分 力， G1 G1cos mg sin cos ,如圖三。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得運(yùn)動方程為

2、G1f ma(1)G1 man(2)由(1),圖三-(mgsin msinmgsin ) gsin (sin1)dV3,得至I dtdV g sin (sin 1)dt,(3)式中是t的函數(shù)，但是這個函數(shù)是個未知函數(shù)， 因此還不能對上式積分，要設(shè)法在與t中消去一個變量，才能積分，注意到dS 1 空dV V d(4)ds ,而_ds表示曲線在該點的曲率半徑，根據(jù)(2)式,dmgsin cos m4(5)由式(3) (4) (5),可得到dVV(tgsec )dV dVV0 V0 agsec )d積分，得到In cosln(sec tg )ln(1 sin ),1 sin運(yùn)用積分法求解鏈條的速度及

3、其時間一條勻質(zhì)的金屬鏈條，質(zhì)量為m,掛在一個光滑的釘子上，一邊長度為Li,另一邊長度為L2,而且0 L2 Li ,如圖一。試求：鏈條從靜止開始滑離釘子時的速度和所需要的時間。解：設(shè)金屬鏈條的線密度為m .當(dāng)一邊長度為Li L2L1 x,另一邊長度為L2 x時受力如圖二所示，則根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得出運(yùn)動方程(Li x) g T (Li x) a,T (L2 x) g (L2 x) a.則 a (Li L2)2xLiL2g.因為adV"dTdV dx VdV，所以dx dt dxVdVdx(LiL2) 2xL2g,VVdV0x(Li L2)0 Li L22xgdx2g,LiL2、(Li

4、L2)x x2.L2,可以求得鏈條滑離釘子時的速度大小2/2gLiL2dx再由V ，得到dtdx dtLiL2)x x2dx0 Li L2) x積分，得到2g-Li L2dt，ln2x (LiL2)2 , (Li L2)x x22g tLi L2 ,L2)Li22, (Li L2)x x2L22g x'.L! L2t，令x= L2 ,可以求得鏈條滑離釘子所需的時間為LiL2 1nL2gLi L2Li L2 In2g.LiLiL2!圖一求解棒下落過程中的最大速度在密度為1的液體上方有一懸掛的長為L,密度為2的均勻直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細(xì)繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若12,

5、求:棒下落過程中的最大速度。解：剪斷細(xì)繩后，直棒在下沉過程中受到重力 G和浮力F的作用，如圖一所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，有dVimg F m.（1）dt隨著棒往下沉，浮力逐漸增大。當(dāng)直棒所受合力為零，即F mg時，棒的加速度為零，速度最大。設(shè)棒達(dá)到最大速度時，棒浸入液體中的長度為 L1,設(shè)棒的截面積為S,則有iSLig2SLg,解得，Li L.（2）1取x坐標(biāo)如圖所示，則（1）式可以寫為 dV2 SLg 1 Sxg 2 SL .dV dV dx - dV做變量代換，令 V ，代入上式，得到dt dx dt dx(1 L)gdx VdV;I 2兩邊積分，得到II xV1(1 1)gdxVdV0L

6、20得到，gL1g(2L2)1V12將（2）式代入（3）式，得棒的最大速度為 V1I-Lg.1運(yùn)用微分法求解阻尼平拋質(zhì)量為m的物體，以初速為 V0,方向與地面成 0角拋出。如果空氣的阻力不能忽略,并設(shè)阻力與速度成正比，即f kV , k為大于零的常數(shù)。求:物體的運(yùn)動軌道。解：根據(jù)受力情況，列出牛頓運(yùn)動定律方程mg f ma其分量式，fxkVx max,(1)mg kVy may(2)將ax處代入式(1),得dtkVxdVx mdt改寫成dVxVxkdt, Vx 也m V0x Vx-dt, m兩邊積分，得到ktVx V0xe mV0 cos可見由于空氣阻力的存在,Jkte mx方向的速度不再是常

7、數(shù)，而隨時間逐漸衰減。由于dx Vx 一，再積分，并以t=0時x=0，代入得到 dtkkV0xmtV0 cos 0tx (1 e m ) -0 (1 e m ).kk(3),dVy同理，由于ay ，式（2）轉(zhuǎn)化為dtdVydtkVy mk ,mg m(TVy), mgdVyVykdt. m積分，并以t=0時，Vy V0y V0sin 0代入，得到kmg tVy (Vosin o )e m kmg可見，y方向的速度也不再是勻減速的。再將上式對時間積分，并以 得到t=0時y=0代入,ktmmgt mg(Vo sin o )(1 e m ) t. kkk(4)由(3) (4)兩式消去t,得到有阻力時

8、的軌道方程2,2,入mg x mgk 、 m gk 、y (tg o)x 尹n(1)x 斗出1x).kV0 cos 0kmV0 cos 0 kmV0 cos顯然由于空氣阻力的作用，拋體的軌道不再是簡單的拋物線了，實際軌道將比理想軌道向左下方偏離，如圖一。例如：以初速620m/s,仰角450發(fā)射的步槍子彈的射程，沒有空氣阻力時應(yīng)為40km,而實際射程只有4km.求解飛機(jī)的滑行距離飛機(jī)以Vo的水平速度觸地滑行著陸?；衅?間受到空氣的阻力為CxV2,升力為CyV2 ,其中V是飛機(jī)的滑行速度。 設(shè)飛機(jī)與跑道間的摩擦系 數(shù)為，試求：飛機(jī)從觸地到停止所 滑行的距離。解：取飛機(jī)觸地點為坐標(biāo)原點，取飛機(jī)滑行

9、方向為 x軸。飛機(jī)在水平方向上受力為：摩擦力 f N ,空氣阻力22為f CxV2；在豎直方向上受力為：重力、支持力和升力FCyV2,如圖一所示，應(yīng)用dV牛頓第二定律，得到2N CxV22N CyV2 mg 0.由上兩式消去N得到dV八 八 2m 標(biāo)mg (CxCy)V .利用也處受V, dt dx dt dx得到 mVdV mg (CxCy)V2.dx分離變量，積分V mVdVV0 mg (CxCy)V22m 一 mg (Cx Cy)V ln2 2(Cx Cy) mg (CxCy)Vo在飛機(jī)觸地的瞬間,V Vo,支持力N=0,由運(yùn)動方程，得到2CyVomg.中日CyVo2CyVo2 (CxC

10、y)V2十x ln2.2g(Cy Cy)CxVo這就是飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。Cy 一0.10。代入數(shù)值計算后，得到社V090km/h, 5 (升阻比)，Cxx=221m.求解阻尼自由落體和阻尼豎直上拋的相遇問題兩小球的質(zhì)量均為 m,小球1從離地面高度為h處由靜止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速 V。同時豎直上拋。設(shè)空氣阻力與小球的運(yùn)動速率成正比，比例系數(shù)為k(常 量)。試求：兩小球相遇的時間、地點以及相遇時兩小球的速度。解：兩小球均受重力和阻力作用，取坐標(biāo)如圖一所示，兩小球的運(yùn)動方程可統(tǒng)一表示d 2 ym -jp- kV mg,它們運(yùn)動狀態(tài)的差別僅由于初始條件的不同而引起的,d

11、Vdt分離變量kV mg,dVkV g m出.初始條件為t 0 時，V100，y10dV 可 mt0出,h,故kV13).對于小球2,初始條件是t=0時，V200，故t0出,VidVV0k g mkt(2)得到 V2(V。mg) emt mg. kk由（1）式，得到dyimgdt(1),dy1mg(1Kte m )dty1h dy1mg(1k-te m )dt積分，得到y(tǒng)i嗎.k由式得到dy2dt(V。詈)emgkdy2(V。mgk)emgkdty2。dy2t°(V。mg.T)ek _t mmgdt k積分，得到y(tǒng)2m(V。詈)emgk兩小球相遇時,yi 、一， 、-一 . * ,y

12、2,相遇時間為t ,由(3 (4),.kh1 -mV。故 t* k1n(1khmV。),把上述結(jié)果代入(3)或者(4),得到兩小球相遇的地點mg、(1 )hkV2m g .2 ln(1 k2khmV。).代入(1) (2),得到兩小球相遇時的速度*Vimgk1 (1khmV。)gh.JV。*V2(V。詈)(1kkhmV。mgk(V。Vh)m討論:(1)當(dāng)阻力很小時，即當(dāng)k 。時，利用展開式ln(1x)上述結(jié)果簡化為* h *t ; y hV。這正是不考慮空氣阻力時的結(jié)果。(2)當(dāng)考慮如提設(shè)的空氣阻力時，由上述結(jié)果可知，只在下述條件下khmV0 kh,或者 V0 , m兩小球才有可能相遇。在非慣

13、性系中求解球環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動情況一輕繩的兩端分別連接小球 A和小環(huán)B,球與環(huán)的質(zhì)量相等， 小環(huán)B可在拉緊的鋼絲上 作無摩擦的滑動，如圖一。現(xiàn)使小球在圖示的平面擺動。求：小球擺離鉛垂線的最大角度時小環(huán)和小球的加速度。解：當(dāng)小球擺動時，小環(huán)沿鋼絲做加速運(yùn)動。以小環(huán)B為參考系，則小球受重力和繩子拉力外，還受慣性力F慣 maB的作用，如圖二。其加速度aA沿圓弧的切線方向。在最大擺角為時的運(yùn)動方程為T F惜 sin mg cos 0圖一mgsinF慣 cosmaA小環(huán)B在水平方向的運(yùn)動方程為 T sinmaB .解方程，得到aBg sin 2_2g sin,a A2(1 sin2 )(1 sin2 )小球

14、A相對地的加速度aA aA aB,取如圖二所示的坐標(biāo)系,則有aAx aA cosaBaAyaA sin2sin2(1 sin2 ) gsin 2 2g2(1 sin2 )圖一旋轉(zhuǎn)液體的液面以等角速度旋轉(zhuǎn)的液體，液面的形狀如何求得?解答:假設(shè)它的剖面是一條曲線，Y軸是轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)面以Y軸為對稱軸，此時在 液面會得到一正壓力R, R可以同時提供向心力 一和重力因此其中、都是常數(shù)，因此該剖面的曲線是拋物線，液面形狀是該拋物線繞 Y 軸的旋轉(zhuǎn)面。直接求sin(x)的導(dǎo)函數(shù)從幾何上如何找到sin(x)的微分呢？解答：士 4士+ d sin直接求把9變動sin 9從 變到,我們要了解 與48之比，是一小 段

15、弦長，是斜線區(qū)域這個近似直角三角形的斜邊，此 與（）之比之比可以想成 是 cos 0四只蒼蠅飛行問題有四只蒼蠅A,B,C,D分別位于平面上的（1,1）,（ -1,1）,（ -1,-1 ）,（1,-1）,之后它們一起以每秒1單位的速度行動，行動的方式為：A蒼蠅一直向著B蒼蠅靠近，B蒼蠅一直向著C蒼蠅靠近，C蒼蠅一直向著D蒼蠅靠近，D蒼蠅一直向著A蒼蠅靠近，試問：（1）四只蒼蠅會在何處相遇？（2）它們多久會相遇？（3）找出A蒼蠅的行動軌跡，并大致畫出（4 ）計算A蒼蠅從開始到相遇的路徑長。（5）蒼蠅A會有什么樣的生理反應(yīng)？解答：BA=*CiD（1 ）、（ 2 ）:從物理相對運(yùn)動的點來看A的行進(jìn)方向

16、始終和B的行進(jìn)方向保持垂直，你可 以想象蒼蠅移動了瞬間之后，方向就立即修正（參照圖一、二、三），由于四只 蒼蠅是做等速運(yùn)動，所以每一時刻以四只蒼蠅圍出來的四邊形會是正方形，（行進(jìn)方向垂直加上等速）于是當(dāng)時間愈久的時候， 蒼蠅愈來愈靠近，正方形愈來愈 小，最后會縮成一點，這一點會是原點，這就是他們相遇的地方。止匕外，A靠近 B是垂直方向靠近，所以從B蒼蠅看來，A還是以1單位/秒 的等速向B靠近, 原來A、B的距離是2單位，因此需要秒的時間四只蒼蠅會相遇（，的推論都 一樣，一四只會一起相遇）(3):我們將蒼蠅 A的坐標(biāo)位置用極坐標(biāo)的方式表達(dá)，而B的位置就是+=(一sin"rcos伊)要注

17、意的是：和者日是的函數(shù)而A的速度是此向量要與果)中日舊HT點n 4 r(sin +cor 目)AB=(sine + cos伊)(cos6 一sin夕)平行，于是(如Fsin#tecs蝴、酊is#8 下科in 6-r casHg nr(cos5-sinfl) 一 r(sin fl+cos#)rfros f?sinfi)rr(cos- tfros ®sin。+苜n* g+坨11。£05?)廿，一sincos60-1-sin3 %+sin 日cos而曲)r，I "1，： ：I- H -I.%吐dr dutli ?"今寧斗尸。: 04 丁 + r = 04一=d

18、& => Inr = -g +(： tit dtr值，,()其軌跡如下圖所示事實上我們必須注意到，在 的情形下會有 的推論，我們不妨用積分式算出 時刻走了多少路：（等式右邊是速度乘上時間），在 的時候，”"。所以其實 蒼蠅A的軌跡應(yīng)為（0 4二 00式± 二 2）上述討論要表達(dá)的是說，加上 這一點是需要的，并且加上那一點后， 軌跡 還是連續(xù)的（可以想一下如何定義在 端點的連續(xù)性）（4 ）:由（3）今，覃（靄產(chǎn)曲1 =.甲2式加=2/（-£-,厚=2（5）:由（3）得知在 到2的時候，換言之，在之前已轉(zhuǎn)了無限多圈，于是蒼蠅 會“頭昏”。雪球融化假設(shè)雪球

19、融化的速率與表面積成正比，若有一個半徑為 10公分的雪球，在 氣溫氣壓皆固定的情況之下，在5分鐘后融化為一個半徑5公分的雪球，請問雪 球完全融化需要多少時間？解答：假設(shè)此雪球在時間分鐘時的半徑為公分， 由題意可知，又雪球融化的速 率與表面積成正比，雪球融化的速率即雪球體積的變化率， 雪球的體積為，表面積為，所以有為一比例常數(shù)，由于體積隨時間經(jīng)過而減少，可知田 47r嚴(yán)") * /=fc - 4tt * r2(f) => «$) = k=> r(t) = k * t +-C為常數(shù)，由，可解出，由此可看出雪球的半徑隨時間經(jīng)過等速率減少，雪 球完全融化時，所以雪球在1

20、0分鐘后完全融化。雨中行車若你駕駛一輛風(fēng)玻璃與地面垂直的吉普車欲從甲地到乙地，此時天正下著 雨，假設(shè)所有雨滴皆以速度u垂直落下，且均勻的分布在空氣中，請問你是該 開的快一點或是慢一點，才能使落在擋風(fēng)玻璃的雨水總量最少？解答：圖一假設(shè)每立方公尺中有a克的雨水，若車子以速度V前進(jìn)，以車子為標(biāo)準(zhǔn)坐 標(biāo)來看，則雨水以水平速度 V ,垂直速度u朝車子而來，假設(shè)速度與水平夾角 9 ,則對單位面積的擋風(fēng)玻璃來說，在 到問，落在其上的雨水正好是 時，單 位面積上高為，傾斜角度9的圓柱的水(如圖二)總共有克，所以單位時間單位面積所接收的雨水為 ，若甲到乙地距離，擋 風(fēng)玻璃總面積，則從甲以等速v開車到乙擋風(fēng)玻璃所

21、接收的雨水共有為一常數(shù)，與無關(guān)。若并非以等速行車，結(jié)果又會是如何呢？假設(shè) v為t的函數(shù)，寫成，單 位時間單位面積接收的雨水為 ，假設(shè)在 時間后從甲到達(dá)乙，則 。則從甲到乙 所接收的總雨量為 依然是一個常數(shù)，與v無關(guān)，也就是說不管怎么開，落在擋 風(fēng)玻璃上總雨量都是固定的。工人拉船碼頭上，有一個圓筒狀鐵柱，從船上拋出一根純子，一端固定在船尾，另一 端繞鐵柱三圈后由一工人拉著，假設(shè)工人施力10公斤，繩子與鐵柱的磨擦系數(shù)是1/3 ,請問船尾受力多大？解答：在繩子與鐵柱有 的接觸時，拉力 會提供（接近）的正壓力給鐵柱，所以 有，積分得，其中就是10公斤，而，所以。錄音帶如果你曾注意過收音機(jī)帶動錄音帶的情

22、形，相信你會發(fā)現(xiàn)在收聽（或者快 轉(zhuǎn)）的時候，在左方的輪子會逆時針旋轉(zhuǎn)，以帶動磁帶，而原本在右方的磁帶地 方就會被一直帶動，最后會繞到左方的輪子上?，F(xiàn)在我們考慮二個問題：兩個輪子磁帶半徑的變化率之比為多少？如果我知道錄音帶從一開始（左方的輪子沒有磁帶， 所有磁帶都在右方的輪子上）轉(zhuǎn)到 一半（左方的磁帶量=右方的磁帶量）時，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時候需要幾分鐘呢？解答：如果你曾注意過收音機(jī)帶動錄音帶的情形時， 就會發(fā)現(xiàn)到，在收聽（或者快 轉(zhuǎn)）的時候，在1處的輪子會逆時針旋轉(zhuǎn)，以帶動磁帶，而磁帶原本在2的地 方就會被一直帶動，最后會繞到輪子 1上?，F(xiàn)在我們想要

23、考慮兩個問題：1 .記為1號輪子在 時刻所繞出的磁帶的半徑，為2號輪子在 時刻磁帶形成 圓形的半徑，它們會隨 而變化，那么兩半徑的變化率之比（即 ）為何？2 .如果我知道錄音帶從一開始（輪 1沒有磁帶，所有磁帶都在輪2上）轉(zhuǎn) 到一半（輪1的磁帶量=輪2的磁帶量）時，需要一分鐘，并且輪1的 轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時候需要幾分鐘？第一個問題其實并不難，如果注意到磁帶的總量始終保持一定，另一個角度 想就是兩磁帶所繞出的兩個圓形面積總和是固定的， 于是會有 常數(shù)，對 微分后 得到J陽華+ 2仃#）華=0,詈=一上 成 di 朱 力第二個問題我們可以試著用積分的方法解決，首先注意到由于

24、轉(zhuǎn)速是一定 （記為），所以半徑 是和 成正比，于是不妨令 （比方說輪子每秒轉(zhuǎn)10圈, 那么一秒后半徑就多了 10個磁帶的厚度，兩秒后半徑就多了 20個磁帶的厚度） 另外，我們同樣是以圓面積代表磁帶量，所以（一分鐘時轉(zhuǎn)了總長的一半，是一比例常數(shù)）欲解時的a值。2五£八嗚0苫=irkhajT1 = 乂2 = 1 o 丁，= 2 = £ = /2所以帶子全部轉(zhuǎn)完需要分鐘。撞球問題你知道撞球的時候球桿應(yīng)該打在哪里最好嗎？解答：觀察1:如果球桿打在撞球的中央（如圖 A處）則球有速度，但是 無旋轉(zhuǎn)的角速度， 如此一來球和布會有摩擦，布會壞掉，可見這不是最佳的點。球桿應(yīng)打在讓球產(chǎn)生全滾動

25、而不滑動，這是最佳的點。觀察2:若球一開始有滑動，不久球會開始滾動，滾速會增加，移動速度會減少，而 質(zhì)心速度會增加，到最后會有 ，即滾動而不滑動，而摩擦力會消失。一些記號：:球的質(zhì)心速度：球轉(zhuǎn)動的角速度:球的半徑:球的轉(zhuǎn)動慣量:球的質(zhì)量由物理學(xué)的角度來看，一剛性物體的角動量變化率等于力矩之和，寫成數(shù)學(xué) 式即為，另外，角動量等于物體的轉(zhuǎn)動慣量乘上角速度，也就是說 ，于是，用 到撞球的例子上即為：L = 7cm. 3 = J r （idi = h j=兀V八注：1 .因為撞球的滾動是以貫穿球心的軸而轉(zhuǎn)動，所以其轉(zhuǎn)動慣量為 （質(zhì)心）2 .力矩，其中 是轉(zhuǎn)動軸到施力點的方向向量，如果只關(guān)心力矩的大小，則3 .要達(dá)到全滾動而不滑動，則 ，動量的變化率最后必須全部轉(zhuǎn)變?yōu)椋查g 達(dá)成。所以門=兒Him = hA%R h = L =器最后，計算出 的化1 .先計算空心球殼的轉(zhuǎn)動慣量：（球殼上的點到軸的距離）（均勻球殼,質(zhì)量與面積成正比）0：,，= Ji' rldm = r 瑞吟型=,記華2/? fj A 2一3 -T OJ；