正弦和余弦轉(zhuǎn)換

1、公式一:設(shè) a為任意角，終邊相同的角的同一的值相等：sin (2k n+ a) = sin acos ( 2k n+ a) = cos atan (2k n + a) = tan acot (2k n+ a) = cot a公式二：設(shè) a為任意角，n + a勺與 a的三角之間的關(guān)系:sin (n+a) = sin acos ( n+ a) = COS atan ( n+ a) = tan acot (n+a) = cot a公式三：任意角 a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin ( a) = sin acos ( a) = cos atan ( a = tan acot ( a) = cot

2、 a公式四：利用公式二和公式三可以得到n a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (na) = sin acos ( n a) = COS atan ( n a) = tan acot (na) = cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin (2 n a =一 sin a cos (2n a = cos a tan (2n a = tan a cot (2 n a = cot a 公式六：n /2 ±與 a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin ( n /2十 a = cos aCOS (n /2Ha)= sinatan (n /2Ha)= C

3、Otacot (n /2Ha)= tanasin (n /2a)= COS aCOS (n /2a)= sin atan (n /2-a)= cot acot (n /2-a)= tan a誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于k -n /2 ± a Z)的個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)k是時(shí)，得到a的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變;當(dāng)k是時(shí)，得到a相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin 7cos;cossin;tancot,cottan.(奇變偶不變)然后在前面加上把 a看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。(符號(hào)看)例如：sin(2 a) sin(4 -n-N，k = 4 為偶數(shù)，所以取 sin a當(dāng) a

4、是銳角時(shí)，2n a (270 ° 360°, sin(2 - a)< 0,符號(hào)為所以 sin(2 a= sin a上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把a(bǔ)視為銳角時(shí)，角 k 360° +ak Z)，- a 180°±,a360° a所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣 一全正；二；三為切；四”這十二字口訣的意思就是說(shuō)：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是+ ” ；第二象限內(nèi)只有正弦是 +”其余全部是 -”第三象限內(nèi)只有是 +”

5、其余全部是 一”第內(nèi)只有余弦是 + ”，其余全部是 -”.上述記憶口訣，一全正，二正弦，三正切，四余弦其他三角函數(shù)知識(shí)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：tan a cot asin a - csc1cos a sec 1商的關(guān)系：sin a /COS=ctan a= sec a /esc a cos a /sin =cCOt a= CSC a /seC a 平方關(guān)系：sin人2( a + COST a=11 + tanA2(a = sec2( a)1 + COty a=)CSCA2( a)同角六角形六角形記憶法：(參看圖片或參考資料鏈接) 構(gòu)造以”、中切、下割；左正、

6、右余、中間1"的為模型。(1) 倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；(2) 商數(shù)關(guān)系：任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。(3) 平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等 于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式2.兩角和與差的sin ( a+ B = sin a cos-g cos a sin g sin ( a B = sin a cos cos a sin g cos ( a+ g)= cos a COS sin a sin g cos ( a g)= cos

7、 a COS- sin a sin g-tan g)tan ( a+ B) = (tan a tan g )/( tan atan ( a g)= (tan tan g )/(1+ tan a - tan g)3二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幕縮角公式）sin2 =2sin a cos aCOS2 a= COSA2( a Sin人2( a= 2COSA2( a 1 = 1 2sin人2( atan2 a 2tan a /(1 tan人2( a )4半角的正弦、余弦和正切公式(降幕擴(kuò)角公式)Sin人2( a /2=(1 cos a )/2COSA2( a /2= (1 + COS a )/2t

8、an 人2( a /2= (1 cos a )/(1+ cos a)5萬(wàn)能公式sin a 2tan( a /2)/(a ta門人2( a /2)cos a= (1 tan人2( a /2)”(1+ tan人2( a /2)tan a= (2tan( a /2)/( tan人2( a /2)萬(wàn)能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：Sin2 a =2Sin a cos a =2Sin a cos a /(COSA2( a )+sin人2( , a ) (因?yàn)?cosA2( a )+sinA2( a )=1再把*上下同除 cosA2( a 可得sin2 a 2tan a /(甘tan人2( a )然后用a /2代替a即

9、可。同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a 3sin a 4sin 人3( a)cos3 a= 4COSA3( a 3COS atan3 a= (3ta n a tan人3( a )/(1 3ta門人2( a )三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：tan3 a= sin3 a /cos3 a=(sin2 a cosacos2 a sin a )/(COS2 a -SiBa a sin a)=(2s in a cosA2( a)osA2( a )sin sin 人3( a )/(cosA3( cOs a sin 人2( )2s in 人2( a

10、 )cos a)上下同除以 COSA3( a,得:tan3 a= (3tan aa ) sin3 a sin(2 a= sin2 a cos-cos2a sin a =2sin a cosA2( )(1 2sin人2( a )sin atan人3( a )/(13ta門人2(=2sin 2sin人3( a-)sin 2sin人2( a)=3sin a 4sin 人3( a)cos3 a cos(2 計(jì) aa cos2 a cos a sin2 a sin a=(2cosA2( a 1)cos a 2cos a sin 人2( a)=2COSA3( a a cos a (2cos a 2跡人3(

11、 a )=4cos3( a a 3cos a即sin3 a 3sin a 4sin 人3( a)cos3 a 4COSA3( a 產(chǎn) 3C0S a三倍角公式:諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減4元3角(欠債了(被減成)，所以要 掙錢”音似 正弦”)余弦三倍角：4元3角減3元(減完之后還有 余”)注意函數(shù)名，即正弦的三倍用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。7三角函數(shù)的公式sin a sin a 2sin( a g )/2)-»/2)sin a sin a 2cos( a g )/2)- sia( g ”2)cos a cos a 2cos( a g )/2) - cosK 似)/2) c

12、os a cos a 2sin( a g )/2) - sing a/2)8三角函數(shù)的公式sin a-cos gin ( a+g)+ sin ( ag)cos a-sa gin ( a+g) sin ( ag cos a-coa gos (a+g+ COS (ag)sin a-sa a cos (a+g) cos (ag)和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先，我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得至jsin( a+b)+s in( a-b)=2s in a*cosb所以，sina*cosb=(si

13、n(a+b)+sin(a-b)/2同理，若把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的，我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以，把兩式相力口，我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理，兩式相減我們就得至jsina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式：sin a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2cosa*s in b=(s in( a+b)-s in( a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的四個(gè)公式我們把上述四個(gè)公式中的a+b 設(shè)為 x，