分式函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、1cxx1個(gè)單位，再向上平移問(wèn)題1：y依據(jù)函數(shù)圖像，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域、對(duì)稱中心。11例1、畫出函數(shù)yd2x1的圖像,ax(a,b,c,dR)的圖像是怎樣的?1yx【分析】y空x的圖像向右平移2,即函數(shù)y的圖像可以經(jīng)由函數(shù)1x12個(gè)單位得到。如下表所示：x12(x1)1x1單調(diào)減區(qū)間：(，1),(1,);值域：(,2)U(2,);對(duì)稱中心：(1,2)?！拘〗Y(jié)】y分式函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、分式函數(shù)的概念形如yax22bxc(a,b,c,d,e,fR)的函數(shù)稱為分式函數(shù)。如ydxexf*0學(xué)習(xí)過(guò)程y4xy2、分式復(fù)合函數(shù)形如yaf(x)2bf(x)c(a,bdfr)的函數(shù)稱為分式復(fù)合函數(shù)。如d

2、f(x)ef(x)f4n2等x3°Ay1x.2axb(a,b,c,dR)的圖像繪制需要考慮哪些要素？該函數(shù)的單調(diào)性由哪些cxdy2x214x)12sinx2y；3sinx3X學(xué)習(xí)探究y探究任務(wù)一函數(shù)yaxb.-(ab0)的圖像與性質(zhì)xy1右1一yx上2y12x1O1條件決定?2x1x21,x21x1由此可以畫出函數(shù)y2x1,一,與的圖像，如下:x1y”|yx【反思】y2x,xxOaxb(a,b,c,dR)的圖像的繪制，可以經(jīng)由反比例函數(shù)的圖像平移得到,cxd需要借助“分離常數(shù)”的處理方法。分式函數(shù)yaxb(a,b,c,dR)的圖像與性質(zhì)cxd(1)定義域：x|xd；c(2)值域：y1

3、ya；cdd(3)單倜性：/單倜區(qū)間為(,一),(一，+)；ccada、一,對(duì)稱中心為點(diǎn) (一,一)；cc cr(4)漸近線及對(duì)稱中心：漸近線為直線xd,yc(5)奇偶性：當(dāng)ad0時(shí)為奇函數(shù)；(6)圖象：如圖所示問(wèn)題2：yaxb(ab0)的圖像是怎樣的？x11例2、根據(jù)yx與y一的函數(shù)圖像，繪制函數(shù)yx的圖像，并結(jié)合函數(shù)圖像指出函數(shù)具有的性質(zhì)?！痉治觥慨嫼瘮?shù)圖像需要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，奇偶性，周期性，凸凹性(此點(diǎn)不作要求)，關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)(最值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn))、輔助線(對(duì)稱軸、漸近線)。繪圖過(guò)程中需綜合考慮以上要素，結(jié)合逼近與極限思想開展。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋簒|x0；1根

4、據(jù)單倜.性定乂，可以求出yx-的單調(diào)區(qū)間x增區(qū)間：(，1U1,)減區(qū)間：1,0),(0,1函數(shù)的值域?yàn)椋?，2U2,)函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)函數(shù)圖像的漸近線為：yx,x0函數(shù)的圖像如下:【反思】如何繪制陌生函-數(shù)的圖像？研究新函數(shù)性質(zhì)應(yīng)從哪些方面入手?b,【小結(jié)】分式函數(shù)yax-(a,b0)的圖像與性質(zhì)：x(1)定義域：x|x0;(2)值域：y|y270b,或y2Vab；(3)奇偶性：奇函數(shù)；單調(diào)性：在區(qū)間(，JEuJ5,+)上是增函數(shù),在區(qū)間(0,曰Jb,0)上為減函數(shù)；(5)漸近線：以y軸和直線yax為漸近線；11例3、根據(jù)yx與y一的函數(shù)圖像，繪制函數(shù)yx的圖像，并結(jié)合函數(shù)圖像指出函數(shù)具有

5、的性質(zhì)。1【分析】結(jié)合剛才的繪圖經(jīng)驗(yàn)，不難繪制出yx1的圖像x解：函數(shù)的定義域?yàn)椋簒|x0；1根據(jù)單倜性te義，可以判斷出yx一的單調(diào)性，單調(diào)增區(qū)間為：(，0),(0,)函數(shù)的值域?yàn)椋篟函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)函數(shù)圖像的漸近線為：yx,x0函數(shù)的圖像如下：【反思】結(jié)合剛才的兩八 1，八y 2x+ 一與 y 3x x-個(gè)例子，y x22的圖像是怎樣的呢？x11,一 - 與y x的圖像又是怎樣的呢？思考 xxby ax b(a,b R,ab 0)的圖像呢？ x111可以根據(jù)yx的圖像，對(duì)稱的回出yx的圖像。同樣的道理yx的圖像與xxx1一y,八,J,，八，yx一的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，所以圖像如下:x(i

6、)(ii)(iii)axaxaxb(ab(axb(axy ax b(a,b x探究任務(wù)二：函數(shù).b,(iv)yax(a0,bxR,ab0）的單調(diào)性、值域、奇偶性等，可以結(jié)合函數(shù)的圖像研究。ax2bxc2c(a,b,c,d,e,fR)的圖像與性質(zhì)dx2exf問(wèn)題3:函數(shù)y2x所以yx2x22x2yx2x2xx的圖像是怎樣的？單調(diào)區(qū)間如何?2(x1)23(x1)2y2(x1)2x2(x2x21)23x112的圖像形狀完全相同，只是位置不同。x圖像的對(duì)稱中心為:7U1,)單調(diào)增區(qū)間為:單調(diào)減區(qū)間為:值域：（，圖像如下：(1,3),2U0,2,1),(1,0【反思】函數(shù)yj1一的性質(zhì)如何呢？單調(diào)區(qū)間是

7、怎樣的呢？2xx1【小結(jié)】對(duì)于分式函數(shù)yax2bxc(a,b,c,d,e,fR)而言，分子次數(shù)高于分母時(shí)，可dxexf以采用問(wèn)題3中的方法，將函數(shù)表達(dá)式寫成部分分式，在結(jié)合函數(shù)的圖像的平移，由熟悉的四類分式函數(shù)的圖像得到新的函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)于分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)的時(shí)候，可以考慮分子分母同時(shí)除以分子(確保分子不為0),再著力研究分母的性質(zhì)與圖像，間接地研究整個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。如：x111(y2x2x67 t 8 36t 36 92x2x12(x1)3x1x1.2二次分式函數(shù)具有形式y(tǒng)f(x)Ax2BxC(A,孫同日t為0).Dx2ExF我們將要研究它的定義域值域，單調(diào)

8、性極值.1 .定義域和有界性當(dāng)方程Dx2ExF0有解，設(shè)不？2供x2)是Dx2ExF=0兩個(gè)根.則函數(shù)定義22域xR|xx1xx2.當(dāng)Ax1Bx1C0,lim或Ax2Bx2C0,limxXxx222此時(shí)函數(shù)無(wú)界.當(dāng)AxiBxiC=0且Ax2Bx2C=0,函數(shù)有界且為常值函數(shù)(很少遇到的X21xI2情況，比如y).所以通常當(dāng)E4DF0，二次分式函數(shù)是無(wú)界的.xx,xx2x1是函數(shù)的漸近線,_2當(dāng)E4DF0,函數(shù)定義域?yàn)镽.函數(shù)有界.2.單調(diào)性，極值，值域_2_2一一可 以 將 函 數(shù) 化 為當(dāng)E24DF0,Dx2ExF0對(duì)勺方程yDx2*1ExF=Ax2BxC.即x2DyAxEyBFyC0.對(duì)于

9、值域中的每一個(gè)y,方程都有實(shí)數(shù)解，當(dāng)DyA0,0,當(dāng)DyA=0,驗(yàn)證是否有解.這樣就可以求出值域.值域的兩個(gè)端點(diǎn)（方程的兩個(gè)解）為函數(shù)極大值和極小值.但為了計(jì)算在何2處取得極值，需將極值代入xDyAxEyBFyC0函數(shù)解出x，計(jì)算可能有A lim f(x) xD個(gè)單調(diào)區(qū)間.4DF 0這種情況最多有三點(diǎn)慢.下文會(huì)給出一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法A，根據(jù)極值與一的大小即可判斷單調(diào)區(qū)間.E x x2D.2當(dāng)E4DF0，用判別式法可能會(huì)產(chǎn)生增根.此時(shí)通常會(huì)解出yR.出現(xiàn)這種情況，求解2DxEx0和Ax2BxC0.分式可化為一次分式，根據(jù)定義去求出這個(gè)一次分- x Ex 2 x式值域比如12xx2取x1,y0,所

10、以函數(shù)值域y|y0且y1.，再.下面給出一個(gè)具體例3x22 x3x 2首 先 定 義 域 x|x 5 0x|xi 21)（1 1 折 .分離分子中的二次項(xiàng)得 2c 6x 13 y 36xt13,x -13.代入得分離變量和換元再用基本不等式求解也是解決二次分式的常規(guī)方法子.12-xx56x1311125-13t13t636312,6736t3696721362當(dāng)_67,L,t標(biāo)取等號(hào)，x二36t366當(dāng)t0.67136736t369當(dāng)_6736t,t.67取等號(hào)，x3633126721y.比仆,312,679,312.67、函數(shù)值域(-,-)?(,+)212123g3x3x2根據(jù)lim23,xxx5a312.67312.673-2121、67131、2167131216262可判斷