函數(shù)的極限典型例題

1、第二講-函數(shù)的極限典型例題第二講函數(shù)的極限內(nèi)容提要0,使得x:0 x xo)有0,使得x:0 x xo)有1.函數(shù)在一點(diǎn)處的定義limf(x)A0,xXof(x)A.右極限limf(x)A0,Xxof(x)A0,0, 使得 x：0 x0 x左極限limf(x)Axx0f(x)A.注1同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的同樣具有雙重性.注2的存在性(以xx0為例)：在數(shù)列的“N”定義中，我們?cè)?jīng)提到過(guò)，N的存在性重在“存在”，而對(duì)于如何去找以及是否能找到最小的N無(wú)關(guān)緊要；對(duì)也是如此，只要對(duì)給定的0,能找到某一個(gè)，能使0xx0時(shí)，有|f(x)A即可.注3討論函數(shù)在某點(diǎn)的極限，重在局部，即在此點(diǎn)的某個(gè)空心鄰

2、域內(nèi)研究f(x)是否無(wú)限趨近于9注4limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0XX0xX0lim f (x) AX xo4nxn | xnx0,且xnx(onimf(xn)a,稱為歸結(jié)原則海涅(Heine)定理.它是溝通數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的橋梁.說(shuō)明在一定條件下函數(shù)極限與數(shù)列極限可以相互轉(zhuǎn)化.因此，利用定理必要性的逆否命題，可以方便地驗(yàn)證某些函數(shù)極限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用數(shù)列極限的現(xiàn)成結(jié)果來(lái)論證函數(shù)極限問(wèn)題.(會(huì)敘述，證明，特別充分性的證明.)注6limf(x)Ao0,0,x:0xxo，有xxo77'Tf(x)A0.2函數(shù)在無(wú)窮處的極限設(shè)f(x)在a,)

3、上有定義，則limf(x)A0,Xa,使得x:xX)有|f(x)A.limf(x)A0,Xa,使得x:xX)有|f(x)A.Jimf(x)A0,Xa,使得x:xX,有f(x)A.1limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx,有 nimf(xn) A.nximf(x)Axnxn|xn3函數(shù)的有界設(shè)f(x)在a,)上有定義)若存在一常數(shù)M0)使得xa,)有f(x)M)則稱f(x)在a,)上有界.4無(wú)窮大量limf(x)GQ0,使得x:0x4，有f(x)G.xxo71rlimf(x)G0,X0,使得x：|xX)有|f(x)G.類似地,可定乂limf(x)limf(x)limf(x)xxx

4、oxxxoxxxo'limf(x)寺.xxo注若limf(x)且O和CO)使得x:O|xxo|,xxo7/7有|f(x)CO則limf(x)g(x).'xxo特別的,若limf(x),limg(x)Ao)則xxxoxxxo7limf(x)g(x).xx5無(wú)窮小量若limf(x)O,則稱f(x)當(dāng)xxo時(shí)為無(wú)窮量.xxoz注1可將xxo改為其它逼近過(guò)程.注2limf(x)Af(x)A(x)其中l(wèi)im(x)O,由于有xxoxx>xxo這種可以互逆的表達(dá)關(guān)系，所以極限方法與無(wú)窮小分析方法在許多場(chǎng)合中可以相互取代.注3limf(x)o9兇在xo的某空心鄰域內(nèi)有界則xxo'

5、7limf(x)g(x)O.Xxo注4ximf(x)O,且當(dāng)|x足夠大時(shí),g(x)有界,則limf(x)g(x)0.xxo注5在某一極限過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非零的無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量.6函數(shù)極限的性質(zhì)以下以xxo為例，其他極限過(guò)程類似.(1) !imf(x)x xo(2) lim f(x)'/ x Xof(x) M .(3) lim f(x)x xo則極限A唯一.則,M。,使得x：0x xoxxoA,有叫 g(x) B)且 A B)則 o,f(x) g(x)使得在理(4) lim f(x) A,x xolim g(x)x xoxXo時(shí),注這條性質(zhì)稱為函數(shù)的“局部保號(hào)性

6、”.論分析論證及判定函數(shù)的性態(tài)中應(yīng)用極普遍.f(x)g(x)貝UaB(5) lim f(x) A, x xo/lim g(x)x xoB,則lim f (x) g(x) A B x xolim f (x) g(x) A BX xolimx xof(x) A g(x) B（B。）要求：進(jìn)行運(yùn)算的項(xiàng)數(shù)為有限項(xiàng);限數(shù).7夾逼定理極限為有若 o,使得x：ox xo,有 f(x) g(x)h(x),且limf(x)limh(x)A,貝Ulimg(x)A.xXoxX)xxXo8Cauchy收斂準(zhǔn)則函數(shù)f(x)在X0的空心鄰域內(nèi)極限存在0,0,使得x,x,當(dāng)0XX0,0xX0時(shí))有|f(x)f(X)|.9無(wú)

7、窮小量的比較設(shè)lim(x)0,lim(x)0,且lim(x)k,則xx0xxx0xxx0(x)'(1)當(dāng)k0時(shí)，稱(x)為(x)的高階無(wú)窮小量，記作(x)o(x)；(2)當(dāng)k時(shí)，稱(x)為(x)的低階無(wú)窮小量；(3)當(dāng)k0且k時(shí)，稱(x)為(x)的同階無(wú)窮小且里.特別的，當(dāng)k1時(shí)，稱(x)和(x)為等價(jià)的無(wú)窮小量，記作(x)(x).注1上述定義中，自變量的變化過(guò)程xXo也可用x,x,x,XX0,XX0之一代替.注2當(dāng)X0時(shí)，常見的等價(jià)無(wú)窮小有：2Xx45nxx,匕nxx,18sx萬(wàn),e1X,ln(1x)-x,m(1x)1mx注3在用等價(jià)無(wú)窮小替換計(jì)算極限時(shí)，一般都要強(qiáng)調(diào)限定對(duì)“乘積因式

8、”的等價(jià)替換.因?yàn)?若(X)(X)(P)則limflX)lim忠也limfX)P(x)P(X)(x)P(x)(P為某limg(x)(x)limg(x)(x)/liimg(x)(X)逼近過(guò)程).而對(duì)于非乘積因式，這樣的替換可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.注4在某一極限過(guò)程中，若為無(wú)窮小量，則在此極限過(guò)程，有(x)o(x)(x).10兩個(gè)重要極限(1)則0呼1;1lim0(1x)xe.二、典型例題例用定義證明下列極限:(1).x(x lim 4x 1 * x21)1(2)證明：口)令|工-11<1爵。>0,欲便不等式成立,具須I工-1Id即口，即“，V5口，取二疝I】1 t2e .使得甘(：0&

9、lt; x - c 5, #即lim-，-=.一47+173評(píng)注I本例中，我仙均時(shí)-4做1r適當(dāng)?shù)姆糯?，使?(工)-4|wM/)|h-工q|.為了能找到定義中的隊(duì)嬖求估算"(、)I,這就箭饕在點(diǎn)*二孔的某鄰域找出戈的正的上、下確界，使得MGIwM.羿注2函數(shù)板限概念及其敷學(xué)語(yǔ)言去述是十分重要的、基本的數(shù)學(xué)技能，在許多問(wèn)|踽的證明中會(huì)涉及到這種表述.例limf(x)A)證明:xX0(1)若A0,則有l(wèi)im/-V；xx0f2(x)A)(2)limV?而坂.xxo,證明乂”由于=4.故對(duì)£=仇三部.使陽(yáng)¥某：。lxf,希,有LSflZ/(工)一4<1.即.<

10、;/(，)<2且Ve>口，三名,使得中工：0<x-xflI丹：，可伏.)-1：<常取8，mi口港禽"便得¥戴0<(亂有1._1=1/工(工).內(nèi)“_次工)+11lA.)1I一A?一一下"一簫即有l(wèi)ia)-=,一到尸(工)4(2)若才=口，因?yàn)镵m/(x)h。，所以Ee>。，三3>0.便得<fi,1/(x)I<£,E£J|f(x)|<h亦即lim1/£*、0若“0,因?yàn)閘iMC)二人由極限的保號(hào)性.M>o.使得T-«gV«：O<1/-如I<

11、心，有/"(jtM>0y2(i)>0.且V"O7&：>(h使得?工：04|工-014取，有AGrIc以7+l-二I%G-)11%*3*冰GT+RI，取B=wiSi1電，使得產(chǎn)工：。'-xoI01而/(0=汽jTq|l押注在已知宿曠3)=d的條件卜JJ報(bào)限定義讓明本例各題時(shí)，均用初等變形將曾T*j坨工計(jì)的絕對(duì)值式子轉(zhuǎn)化為含值幻rl的式子，運(yùn)用8t眼的性感適當(dāng)放大,郛小.岸到最終結(jié)果.例設(shè)f(x)是a，b上的嚴(yán)格嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，又若對(duì)Xn(a,b(n1,2,)有l(wèi)imf(xn)f(a)試證明：limxnnn證明：假設(shè)tim毛產(chǎn)明則m打.V、eN.

12、力1>'Jih學(xué)與n«,耽t=1,三/>1,有%一日I，右hAeHT/),仃民口I子與.V=nk小右b“*HM百小于是如此無(wú)限進(jìn)行下山得到；工的一個(gè)f列I/.JII%-nI由丁丁尸。+/11/(X)是嚴(yán)格遞增函數(shù).則/(%)R(«+£()>f(fl).又lim/(x)-limflxfl)=f(a)t于是對(duì)工式取J«*的極限后.1Bf(ayfl+Ep)>/(a).而這是不可能的.故而4=%評(píng)注本例運(yùn)用反證法.即用正數(shù)列極限的否定概念.在許多論證腮目中.攝限的否定形式的正面陳述出常理置.例函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0的某鄰域I內(nèi)有定義

13、，且對(duì)XnI(XnX0,XnX0),且0XniX0XnX0(nN)?有“mf(Xn)A)證明：limf(x)A.XX0證明：假設(shè)1imfxATU1>(hVfi,3J£r：0<I耳-j0I有/(/)fj三島.取曷=i*J。<1孫-砧</=1*行1/1*1)一4取1nmimwI町*Jo卜三十尸。巧一品房運(yùn)a;-ifl，仃r2)-1手，6,9fIdB取髭匚mim；-&I)3xjOJ樂(lè)f<£,<IfI,有/(%)“注辱.于是如此尢限進(jìn)行卜去.得到數(shù)列EL它滿足。V民-/民“且Um即侑T:飛但mQ-A|善附，這與已知相矛盾.故hm/(*)=

14、兒L盯|評(píng)注I若不考慮"0<民I7口|<民"這一點(diǎn).本題即是海涅歸結(jié)原則的充分條件.結(jié)論自然成立，而條件"0<&T.|<無(wú)正是說(shuō)明數(shù)列5|中的引嚴(yán)格地“靠近”。本題可看作函數(shù)極限海涅回結(jié)原則的加強(qiáng)形式.評(píng)注2例L175例L18兩題方法類似，詔讀者注意證明中選列的方法.例設(shè)函數(shù)f(X)X(0,1),滿足f(x)0(x0),且Xf(X)f(2)o(x)(xf(x)o(x)(x0)證明：已知lim1'2)。Vs>0*使彳1)Vi:0<jc啟*有專才</(惠)-J同樣地，對(duì)V*E(0.有ii注意到=口.由歸結(jié)原則得

15、1而/|用=3在(*)式中令門.得-由金i-*oB-».2)OW6即有-£<后.因而lim-0.即/(,)-o(r)(r»0*).X±-*Jt問(wèn)：在題設(shè)條件下，是否有f(0)0?答：否,如f(x)0x01 x 0例設(shè)函數(shù)f(x)在(0,)上滿足議程f(2x)f(x),且nlimf(x)A)則f(x)A(x(0,).證明式方法") JS設(shè)e I J, + w .有衰A.不妨設(shè)工口 ) > A. 由于 1=4微對(duì)蚓)-4 >0, 3 T>0, V.x > Y； JfT * I n h ： - w I < .工見,

16、0,故使得有=爪2%)=/(20)=,/SF)</(4*)，這是不可能的.于是/(支)*力(*E(C,),(方法力V/仁(0.+=),由已卻得/沁)二2與-/(22i0)=-f(2'xa).于是I/物)1是常值數(shù)列，且lim2M=+*.*山Dm=A及歸結(jié)原則，(Iflim/(2i0)=4所以/(如)=lim/(2工J=4L*-*雨TG由/e(Of+oo)的任意性，得f(#)*4苦e(0r+*«),評(píng)注1例1J9與倒L20用到了海涅歸結(jié)原則，揭示了數(shù)列極限。函數(shù)梃限之間的內(nèi)在關(guān)系.砰注2例L19的證明方位與例L14類似.乘用累加的方法得到相域的結(jié)論.淳注3注定極限語(yǔ)；的運(yùn)

17、用，在例L20中，已知1加1f(x)-t則對(duì)=：/(.rn)-A>0.3A>0,Vi>A,fi/(A)<A+«nh/CmJ.而由fi-.一+8,即對(duì)上述小工忙?”N時(shí)，有2%>“，困而4v(”/)</|x0).例求下列函數(shù)極限(1)limn 0(a 0,b 0)；(2). x lim 一n 0 a(a 0,b 0)；(3)2 ex41 exsin xx解：。)(方法一)甘#0一1 <1 -1 6各項(xiàng)乘以 XL X J <>0 ,得由夾遞定理閥Umm|1 rD fl L X J(方法二)引+卜十(9(為，其中(言表示9的小數(shù)部分，(

18、2)rtl lim只G的定義，只要在區(qū)間(0/)內(nèi)多慮所求極限即可， * T *Vx E (0 +。)* 有 0 < < 1 .知蘭春 0，于息 Urn -1 =0P (IL a J.511 a 1 x由下所求極限中有I義I及L,故必須考圖在«=0處的左、右極限:X評(píng)注I由畫數(shù)在點(diǎn)處的單便極限定義,只需討論在該點(diǎn)的空心單側(cè)鄰域內(nèi)函數(shù)的杷破即可在笫二小題中，在I=0點(diǎn)的足夠小單蒯空心鄰域內(nèi).|用為定SL從而得到所求極限.評(píng)注2在第一小鹿中.若,占±1.則有1皿甯:=，這是因?yàn)閂聲。I;卜j各項(xiàng)乘久月,當(dāng)年0時(shí)一，：卜1.當(dāng)一口肘卜一由火退定理即得.評(píng)注3第:小題,

19、hinr：不存“，因?yàn)榍?-*01時(shí),”一十工廠為工冷一時(shí),/-*0.本位Jtj到極限的四則運(yùn)算性質(zhì),無(wú)穿大出性質(zhì).無(wú)窮大狀與無(wú)窮小量興桑等概；:例求下列極限(1)(2).1tanx.1tanxlimn0ex1limn01cosxx(1cos、x)(3)DLm.ln(sinxe)xlim22n0ln(xe)2xvI+kin工-/1-liin.：=LimI+Un.r+y】-tuTLX)I-Jrn&T21(.sinjrJI1+-mlim-y2xhi評(píng)注本例的各小18均為經(jīng)過(guò)初等變換后運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小代操而解決的.等機(jī)無(wú)窮小替挨在求極限時(shí)卜分療用必須強(qiáng)調(diào).首先進(jìn)行替換的都必須是無(wú)窮小,其次只能

20、在乘階運(yùn)算中運(yùn)用.例求下列極限:tanxx(1) limn0sinxxcosx(2)limn01cosx,cos2x3cos3x解“1】加=lirne，rr*J*ISIH.1-H'lHXiTl*tlll,r-f|OfkTtRnM-xIMl.川,smr-ir(jstI2)limIHRy.SlfLr-=lim11Tli;盡inx年I，"'trns.tdk<】-rost+com-cutu'ms2x'Tie|xm-3fcikjJjcA%;+Innci*/yI/ riifVJ41+liiu2j-評(píng)注】+不="'，111訕/（*）=t）時(shí),

21、通海利川恒等CJT.1由等價(jià)尢分小替換的f1評(píng)注2在第二小題（中,注聿到i-CMX因此將分子加一減一分解后進(jìn)行計(jì)算遇到此類問(wèn)購(gòu).杵町從等僑無(wú)窮小擰f-,對(duì)所求極限進(jìn)行插項(xiàng)分解計(jì)算.例求下列極限:(1)1nmix1nx(2)xxr(ax)alimn0x2怦注遇到工廠片這類極限，總可以用恒等式U10'=-"MG進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再用等價(jià)無(wú)窮小替換，極限的四則運(yùn)算等算伸結(jié)果，例求下列極限:(1)lim(cosx)n01ln(1x2).(2)lim(sin1cos與；x(3)設(shè)ai0xx(i1,2,n)求lima_2)7n0na；x解：(1)Um(cctgjtai7*37=lim(l+cocutI)加門2,*fj4二iiJim ( 4hmi * 1 7 L linri (>! HJG ，Ail"O