三角函數(shù)中的拆角技巧

1、三角函數(shù)中的“拆角”技巧及應(yīng)用三角函數(shù)的計(jì)算是高中的一個(gè)重要考點(diǎn).對(duì)于一些和角的計(jì)算問(wèn)題除了掌握和角（差角）及倍角公式之外，還要掌握一些必要的“拆角”技巧.這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.有時(shí)候，在利用兩角和差的余弦、正玄和正切公式時(shí)，不能機(jī)械地從表面去套公式，而要變通地從本質(zhì)上使用公式。即要把所求的角拆分成某兩個(gè)角（已知的兩個(gè)角或者可以從已知的角簡(jiǎn)單變形就能得到的兩個(gè)角）的和差，并且這兩個(gè)角的正、余玄函數(shù)值和正切函數(shù)值是已知的或可求的，再代入公式即可求解。這里以正、余玄公式求解為例。通過(guò)認(rèn)真審題，我們就可以發(fā)現(xiàn)已知角和所求角之間的關(guān)系，這樣我們就可以進(jìn)去“拆角”。第一類：只有抽象的角，沒(méi)有具體的角。如：已

2、知兩個(gè)角，那么通過(guò)簡(jiǎn)單變形就可得到： ，； ，；，；正確利用它們具有的這些關(guān)系進(jìn)行“拆角”就能避免求某個(gè)角的三角函數(shù)值而帶來(lái)的麻煩。我們來(lái)看看具體實(shí)例：例1：已知兩角滿足，則。解析：由，得，且 。所以，那么=評(píng)注:通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)所給條件中的角與待求角之間的關(guān)系.巧妙地把拆成與差,再利用差角公式進(jìn)行計(jì)算。例2若，,，則的值等于 .解析：由，則， 又，所以， , 則.故填:.評(píng)注:本題通過(guò)觀察角之間的關(guān)系,把拆成與差的形式,從而避免了求與的三角函數(shù)值,巧妙地得到了的值。第二類：有抽象的角，也有具體的角。有些題目中有具體的角,也有抽象的角.這類問(wèn)題一般也可以根據(jù)具體角和抽象角的關(guān)系進(jìn)行“拆角”.例如:

3、, ,等.例3：已知，sin()= sin則cos=_.解析： ， ，則=.評(píng)注:通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)所給條件中的角與待求角之間的關(guān)系.巧妙地把拆成與差,再利用差角公式進(jìn)行計(jì)算。第三類：有抽象的角，也有具體的角，但不能直接把所求角拆成已知兩個(gè)的角的和差。例4：第四類：倍角公式和半角公式。應(yīng)用這類公式進(jìn)行解題，也是屬于“拆角”。是由角變成其倍角，還是由角變成其半角則需看具體情況。例5：已知，化簡(jiǎn)。解析：=+ =+ =+ 因?yàn)?，所以，所以，所以原? =。評(píng)注:本題是帶根式的化簡(jiǎn)，需要去掉根號(hào)，則根號(hào)里面應(yīng)該出現(xiàn)一個(gè)整體的平方，那么，則需要把根式里面的正玄用二倍角公式變成半角，即可用完全平方公式變成平方項(xiàng)。再根據(jù)角的象限判斷其符號(hào)，最后去掉根號(hào)。 “拆角”體現(xiàn)了整體與局部之間的關(guān)系,是連接題設(shè)條件與待求結(jié)論的紐帶.是三角函數(shù)求值的一種常用方法.其實(shí),在具體的角里我們也利用過(guò)這種方法搭建非特殊角與特殊角之間的關(guān)系.例如,45°=30°+15°；75°=30°+