胡不歸問題歸納

1、中考數(shù)學壓軸熱點問題“胡不歸模型近幾年中考題中，常出現(xiàn)帶系數(shù)的兩線段和的最值問題，這類問題基本都要用到 “阿氏圓”和“胡不歸”模型.下面著重講解“胡不歸模型”的應用.【背景】從前，有一個小伙子在外地當學徒， 當他獲悉在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后， 便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A-B （如圖1所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當 他氣喘吁吁地趕到父親眼前時，老人剛剛咽了氣，小伙子不覺失聲痛哭， 鄰舍勸慰小伙子時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸？胡不歸？這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子要提前到

2、家是否有可能呢？倘有可能，他應該選擇條怎樣的路線呢？這就是風靡千年的“胡不歸問題”.由于在驛道和沙礫地的行走速度不一樣，那么，小伙子有沒有可能先在驛道上走一程后，再走沙礫地，雖然多走了路，但反而總用時更短呢？如果存在這種可能，那么要在驛道上行走多遠才最省時？設在沙礫地行駛速度為V1,在驛道行駛速度為V2,顯然Vi V V2.不妨假設從C處進入砂礫地.設總共用時為t,則 t= BC+jAC= （BC+&AC）.因為 V1V2 V1V2Vi , V2是確定的，所以只要 （BC+工 AC）最小，用時就最少.問題就轉(zhuǎn)化為求（BC+AC）的V2V2最小值.我們可以作出一條以 C為端點的線段，使其

3、等于 "AC.并且與線段CB位于AM的兩側(cè)， V2然后，根據(jù)兩點之間線段最短， 不難找到最小值點.怎么作呢？由三角函數(shù)的定義，過A點，在AM的另一側(cè)以A為頂點，以AM為一邊作/ MANh a , sin “=*.然后，作CH AN,則V2CE=v1AC.最后，當點 R C、E在一條直線上時，BC+C系小，即（BC+. AC）的值最小，即v2v2用時最小.1E例1.如圖，AC是圓。的直徑，AC=4,弧BA=120 ,點D是弦AB上的一個動點，那么OD+ BD解；,3d的度數(shù)為數(shù)03匚二 601匚是直密，蛇二90、，N/=301柞8KRCA、DEUiJCE, 口城_L8K于M連接03.3

4、KjjAC, "DBE=4AC = 3 1在中，£>E=BDt:.OD-BD-OD+DEf2根據(jù)垂線段最短可知.當席E與必重合時,。0+：£口的值最小，最小值為OM- JvZ£XO=ZJ5O=30°f"DRM=601在正港OEM中rNORM=60=.，OAf 二口8.5600=二;口劣+OD的最小值為,M方法總結(jié)：“胡不歸”問題中涉及到三個點。其中有兩個定點，一個動點，且動點是在直 線上運動.解答模式：應用:如圖， ABC在平面直角坐標系中，AB=AC A(0,2 J2 ) , C(1 , 0), D為射線 AO上一點，一動點P

5、從A出發(fā)，運動路徑為 Z DfC,點P在AD上的運動速度是在 CD 上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標應為 .解:假設尸在，。的速度為3匕 在UD的速度為1%AD CD 1總時間,二介+T=7(竽十卻力.要使f最小，就要寫+CD最小因為43二過點分彳乍/您/于;交£>乂于D.易證乂C0,.AC_AD所1k而AD二九 所以r-二DHr因為力FC是等腰三角形，所以£口二。所以要飛一FC。最小，就是蓼最小，就要瓦 口、左三點共袋就行了.因為凸/。625。，所以架二段Uff UU即半二焉,所以=空,11/ u4所以點。的坐標應為M的.中考壓軸題實戰(zhàn)練習：如圖，已知拋

6、物線 y=k(x+2)(x-4)(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交于 A, B兩8點，與y軸交于點 C經(jīng)過點B的直線y=- -x+b與拋物線的另一交點為 D.(1)若點D的橫坐標為-5 ,求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若在第一象限的拋物線上有點P,使得以A, B, P為頂點的三角形與 ABC!目似，求k的值；在(1)條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接 AF, 一動點M從點A出發(fā)，沿 線段AF以每秒1個單位的速度運動到 F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到 D后停 止.當點F的坐標是多少時，點 M在整個運動過程中用時最少？“胡不歸模型”練習題：1 .等邊三角形ABC

7、的邊長為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中 BC邊在x 軸上，BC邊的高OA在Y軸上.一只電子蟲從 A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC至U達C點，已知電子蟲在 Y軸上運動的速度是在 GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程菁優(yōu)網(wǎng)的時間最短，則點 G的坐標為x軸于D, C兩點，連接2 .如圖，拋物線y=1 x2+mx+n與直線y=-x+3交于A, B兩點，交 22AC BC,已知 A (0, 3) , C (3, 0) (I )求拋物線的解析式和 tan / BAC的值;(n )在(I )條件下：(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接 PA,過點P作PQ! PA交y軸于點Q,問：是否存

8、在 點P使得以A, P, Q為頂點的三角形與 ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.(2)設E為線段AC上一點(不含端點)，連接 DE, 一動點M從點D出發(fā)，沿線段 DE以每秒一個單位速度運動到 E點，再沿線段EA以每秒J2個單位的速度運動到 A后停止，當點E的坐標是多少時，點 M在整個運動中用時最少?3.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點 A(-1 , 0) , B(0,-/3),C (2, 0),其對稱軸與 x軸交于點D(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；(2)若P為y軸上的一個動點，連接 PD則3PB+PD勺最小值為

9、;2(3)M (x, t)為拋物線對稱軸上一動點若平面內(nèi)存在點 N使得以A, B, M, N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有一個;連接MA MB若/ AMM小于60° ,求t的取值范圍.T4沖4.如圖所示，已知拋物線y=a (x+3) ( x-1 ) (a w 0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C,經(jīng)過點A的直線y=-J3 x+b與拋物線的另一個交點為D.(1)若點D的橫坐標為2,求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A、B、P為頂點的三角形與 ABC相似，求點P的坐標；在的條件下，設點E是線段AD上的一點(不含端點)，連接BE 一動點Q從點B出i-發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點 E,再沿線段ED以每秒至3個單位的速度35.【問題探究】 如圖，點E是正 ABC高AD上的一定點，請在 AB上找一點F,使EF=1 AE并說明理 2由；（2）如圖，點 M是邊長為2的正 ABC高AD上的一動點，求 1AM+MC1最小值； 2【問題解決】如圖，A B兩地相距600km, AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路.點B到AC的最短距離為360km.今計劃在鐵路線 AC上修一個中轉(zhuǎn)站 M再在BM間修一條筆直的公 路.如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍.那么，為使