勾股定理應(yīng)用(含解答)

1、勾股定理知識(shí)點(diǎn)擊點(diǎn)擊一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角的平方和等于斜邊的平方.因此，在運(yùn)用勾股定理計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，要注意如下三點(diǎn)：(1)注意勾股定理的使用條件：只對(duì)直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形；(2)注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯(cuò)；(3)注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長(zhǎng).即c2=a2+b2,a2=c2b2,b2=c2a2.點(diǎn)擊二：學(xué)會(huì)用拼圖法驗(yàn)證勾股定理拼圖法驗(yàn)證勾股定理的基本思想是：借助于圖形的面積來(lái)驗(yàn)證，依據(jù)是對(duì)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)、拼接后面積不變的原理.

2、如，利用四個(gè)如圖1所示的直角三角形三角形，拼出如圖2所示的三個(gè)圖形.請(qǐng)讀者證明.(1)(2)(3)(圖1)如上圖示，在圖(1)中，利用圖1邊長(zhǎng)為a,b,c的四個(gè)直角三角形拼成的一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的正方形，則圖2(1)中的小正方形的邊長(zhǎng)為(b-a),面積為(ba)2,四個(gè)直角三1角形的面積為4Xab=2ab.2由圖(1)可知，大正方形的面積=四個(gè)直角三角形的面積+小正方形的的面積，即c2=(ba)2+2ab,則a2+b2=c2問(wèn)題得證.請(qǐng)同學(xué)們自己證明圖(2)、(3).點(diǎn)擊三：在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)將在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為化長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的線段長(zhǎng)問(wèn)題.第一步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長(zhǎng)的平方和等

3、于所畫線段(斜邊)長(zhǎng)的平方，注意一般其中一條線段的長(zhǎng)是整數(shù)；第二步：以數(shù)軸原點(diǎn)為直角三角形斜邊的頂點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；第三步：以數(shù)軸原點(diǎn)圓心，以斜邊長(zhǎng)為半徑畫弧，即可在數(shù)軸上找到表示該無(wú)理數(shù)的點(diǎn).點(diǎn)擊四：直角三角形邊與面積的關(guān)系及應(yīng)用直角三角形有許多屬性，除邊與邊、邊與角、角與角的關(guān)系外，邊與面積也有內(nèi)的聯(lián)系.設(shè)a、b為直角三角形的兩條直角邊，c為斜邊，S為面積，于是有：22_2222_1_(ab)a2abb,abc,2ab4-ab4S,2所以(ab)2c24S.即51(ab)2c2.4也就是說(shuō)，直角三角形的面積等于兩直角邊和的平方與斜邊平方差的四分之一.利用點(diǎn)擊五：熟練掌握勾股定理的各種表達(dá)

4、形式.該公式來(lái)計(jì)算直角三角形的有關(guān)面積、周長(zhǎng)、斜邊上的高等問(wèn)題，顯得十分簡(jiǎn)便如圖2,在RtABC中，C900,/A、/R/C的對(duì)邊分別為a、b、c,貝Uc2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,點(diǎn)擊六：勾股定理的應(yīng)用(1)已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2)已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關(guān)系；(3)用于推導(dǎo)線段平方關(guān)系的問(wèn)題等.(4)用勾股定理，在數(shù)軸上作出表示應(yīng)、於、君的點(diǎn)，即作出長(zhǎng)為五的線段.典例引路類型之一：勾股定理例1:如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)分別是13cm和5cm,那么這個(gè)直角三角形的面積是cm2.解析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一

5、條直角邊的長(zhǎng)，則求得另一直角邊的長(zhǎng)即可.根據(jù)勾股定理公式的變形，可求得.解：由勾股定理，得132 52=144,所以另一條直角邊的長(zhǎng)為12.所以這個(gè)直角三角形的面積是2x12X5=30(cm2).2例2:如圖3(1)，一只螞蟻沿棱長(zhǎng)為a的正方體表面從頂點(diǎn)頂點(diǎn)B,則它走過(guò)的最短路程為()A.73aB.(1V2)aC.3aD.V5a解析：本題顯然與例2屬同種類型，思路相同.但正方體的各棱長(zhǎng)相等，因此只有一種展開圖.解：將正方體側(cè)面展開得，如圖3.由圖知AC=2a,BC=a根據(jù)勾股定理得AB(2a)2a2,5a25a.故選D.類型之二：在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)A ?A爬至IJ圖3A ?圖3C例3:在數(shù)軸上

6、彳出表示而的點(diǎn).解析：根據(jù)在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的方法，需先把尺視為直角三角形斜邊的長(zhǎng)，再確定出兩直角邊的長(zhǎng)度后即可在數(shù)軸上作出.解：以Ji0為斜邊的直角三角形的兩直角邊可以是3和1,所以需在數(shù)軸上找出兩段分別長(zhǎng)為3和1的線段，如圖所示，然后即可確定斜邊長(zhǎng)，再用圓規(guī)在數(shù)軸上作出長(zhǎng)為質(zhì)的線段即可.下面的問(wèn)題是關(guān)于數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)與勾股定理知識(shí)的綜合運(yùn)用OAOAOAOAOAOAOAOA解：V2；/；2;而；V6;2，萬(wàn)；3;這8條線段的長(zhǎng)的例5:閱讀材料，第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽.它的主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的.設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形OAA2是等腰三角形，且OA=AA=AA

7、=AA4=AA=1,請(qǐng)你先把圖中其它8條線段的長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)，填在下面的表格中，然后再計(jì)算這8條線段的長(zhǎng)的乘積.乘積是7270例6:2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊為a,較長(zhǎng)直角邊為b,那么ab2的值為()(A)13(B)19(C)25(D)169解析：由勾股定理，結(jié)合題意得a2+b2=13./|二、由題意，得(b-a)2=1./-/由，得a2+b2-2ab=1./把代入，得13-2ab=12ab=12.(a

8、+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.因此，選C.說(shuō)明：2002年8月20日28日，我國(guó)在首都北京成功舉辦了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì).這是在發(fā)展中國(guó)家舉行的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，也是多年來(lái)在我國(guó)舉行的最重要的一次國(guó)際會(huì)議.它標(biāo)志著我國(guó)數(shù)學(xué)已度過(guò)了六百多年的低谷，進(jìn)入了數(shù)學(xué)大國(guó)的行列，并向著新世紀(jì)成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)邁開了步伐.這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)如下圖所示：它取材于我國(guó)三國(guó)時(shí)期（公元3世紀(jì)）趙爽所著的勾股圓方圖注.類型之四：勾股定理的應(yīng)用（一）求邊長(zhǎng)例1:已知：如圖，在ABC中，/AC樂(lè)90o,AB=5cm,BO3cm,CD!AB于D,求CD的長(zhǎng).（二）求面積例2:（1）觀察圖形思考并回答問(wèn)題（圖中

9、每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）觀察圖11.正方形A中含有個(gè)小方格,即A的面積是個(gè)單位面積;正方形B中含有個(gè)小方格,即B的面積是個(gè)單位面積;正方形C中含有個(gè)小方格，即C的面積是個(gè)單位面積.在圖12中，正方形A,B,C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少?你能發(fā)現(xiàn)圖11中三個(gè)正方形A,B,C的面積之間有什么關(guān)系嗎？圖12中的呢?（2）做一做:觀察圖13、圖14,并填寫下表:A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）圖17圖1-4三個(gè)正方形A,B,C的面積之間有什么關(guān)系？（3）議一議：你能用三角形的邊長(zhǎng)表示正方形的面積嗎？你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？分別以5厘米

10、、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎?解析：注意到圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積，通過(guò)觀察圖形不能得到答案:99991818;A中含4個(gè)，B中含4個(gè)，C中含8個(gè)，面積分別為4,4,8;A與B的面積之和等于C,圖12中也是A與B的面積之和等于C.（2）答案：A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位胤積）圖1-3一16P一25-圖1-44913答案：:'.（3）答案：設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)分別為a,b,c（如圖）則及4=/,，=乩與三一.其中2b為直角邊，已為斜邊）成立.（三）作線段例3作長(zhǎng)為五、后、”號(hào)的線段.解析：作法：1.作

11、直角邊長(zhǎng)為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角三角形ACB（如圖）；2.以斜邊AB為一直角邊，作另一直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形ABB;3 .順次這樣作下去，最后作到直角三角形 是無(wú)、后、西、后.證明：根據(jù)勾股定理，在 RQACB中，AB2 =AC2 +5C3=2. AB>0ABB,這時(shí)斜邊AR AB、AB、AB的長(zhǎng)度就.AB=/2.其他同理可證.點(diǎn)評(píng)由勾股定理，直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于短，直角邊長(zhǎng)為總、1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)就是后.類似地也可作出后；將上圖無(wú)限地向兩個(gè)方向畫下去就可得到“勾股樹”，請(qǐng)你試試看.（四）證明平方關(guān)系例4:已知：如圖，在ABC中，EC90,AD是BC邊上的中線

12、，DEAB于E,求證：AC2AE2BE2.解析：根據(jù)勾股定理，在RtACD中，AC2AD2CD2,在RtADE中，AD2AE2DE2,在RtBDE中，DE2BD2BE2,.AC2AE2DE2CD2AE2BD2BE2CD2又;BDCD,;AC2AE2BE2.點(diǎn)評(píng)證明線段的平方差或和，常常要考慮到運(yùn)用勾股定理；若無(wú)直角三角形，則可通過(guò)作垂線的方法，構(gòu)成直角三角形，以便為運(yùn)用勾股定理創(chuàng)造必要的條件.（五）實(shí)際應(yīng)用例5:臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30o方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.(1)該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由(2)若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少?(3)該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)?解析(1)由點(diǎn)A作ADIBC于D,則AD就為城市A距臺(tái)風(fēng)中心的最短距離在RtzXABD中，/B=30o,AB=220,1.AD=1AB=110.2由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺(tái)風(fēng)(124)20=160(千米)時(shí)，將會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響.故該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響.(2)由題意知，當(dāng)A點(diǎn)