解直角三角形

1、、銳角三角函數(shù)的定義根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí),一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解,嚴(yán)格根據(jù)三角函數(shù)的定義求解,有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.、特殊角的三角函數(shù)值asinacosatana3012旦2變345叵2紅2160近212、解直角三角形1 .在直角三角形中,除直角外,一共有五個(gè)元素,即三條邊和兩個(gè)銳角,由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形.2 .解直角三角形的常用關(guān)系：在RtAABC中,/C=90,那么：(1)三邊關(guān)系：a2+b2=c2;解直角三角形正弦:sinA=2A的對(duì)邊=J斜邊c斜邊b;正切：tanA=c鄰邊在RtAABC中,/C=90,AB=c,(2)兩銳角

2、關(guān)系：/A+/B=90;aba(3)邊與角關(guān)系：sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=;ccb(4)sin2A+cos2A=1.3.科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：斜邊求直邊,正弦、余弦很方便；直邊求直邊,理所當(dāng)然用正切；兩邊求一邊,勾股定理最方便；兩邊求一角,函數(shù)關(guān)系要記牢；銳角求銳角,互余關(guān)系不能少；直邊求斜邊,用除還需正余弦.四、解直角三角形的應(yīng)用1.仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做仰角.俯角：在視線與水平線所成的角中,視線在水平線下方的角叫做俯角.2 .坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),記作i=-

3、.l坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作a,i=tana.坡度越大,a角越大,坡面越陡.3 .方向角(或方位角)指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角叫做方向角.北北偏東 30 度西南方向南偏東50度O北偏西度4 .解直角三角形中“雙直角三角形的根本模型:解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊,解題時(shí),往往通過(guò)這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊,或通過(guò)公共邊相等,列方程求解.5 .解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ),根據(jù)題意畫出圖形,建立數(shù)學(xué)模型；(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;(3)選擇適宜的邊角關(guān)

4、系式,使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義,從而得到問題的解.考向一求三角函數(shù)的值(1)分清直角三角形中的斜邊與直角邊.(2)正確地表示出直角三角形的三邊長(zhǎng),常設(shè)某條直角邊長(zhǎng)為k(有時(shí)也可設(shè)為1),在求三角函數(shù)值的過(guò)程中約去k.(3)正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長(zhǎng).(4)應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義,求出三角函數(shù)值.典例12sin45的值為A.-B.石C.22D.12【答案】C【解析】把sin45=代入原式彳導(dǎo):原式=2X=72應(yīng)選C.221.如圖,在ABC中,/C=90.假設(shè)AB=3,BC=2,貝UsinA的值為磐合式25c2,、5B,C.335D.叵2考向二利用特殊角的

5、三角函數(shù)值求值銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān),只與銳角的大小有關(guān)典例2/A為銳角,且sinA=Y3,那么/A等于2A.15B.30C.45D.60【答案】D【解析】sinA=U3,A=60.應(yīng)選D.22,a是銳角,sina=cos60,那么a等于A.30B.45C.60D,不能確定考向三解直角三角形的應(yīng)用解此類題的一般方法：1構(gòu)造直角三角形；2理清直角三角形的邊角關(guān)系;數(shù)值解答問題.利用特殊角的三角函典例3某山的山頂B處有一個(gè)觀光塔,該山的山坡面與水平面的夾角/BDC30,山高BC為100米,點(diǎn)E距山腳D處150米,在點(diǎn)E處測(cè)得觀光塔頂端A的仰角為60,那么觀光塔AB的高度是A.50米C

6、.125米【答案】A【解析】如圖,作EFLAC于F,EGLDC于G,在RtADEG中,EG=1DE=752, .BF=BC-CF=BC-CE=100-75=25,EF=BFBF=2543tanBEFtan30 ./AEF=60,/A=30,EF_25_3 -AF=tanA33=75,3.AB=AF-BF=50米,故觀光塔AB的高度為50米,應(yīng)選A.3.如圖,某湖心島上有一亭子A,在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹B,在這個(gè)湖心島的湖邊C處測(cè)得亭子A在北偏西45方向上,測(cè)得樹B在北偏東36方向上,又測(cè)得B、C之間的距離等于200米,求A、B之間的距離償果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：亞1.414414,

7、 ,sin360.588,cos360.809,tan360.727,cot361.376B.100米D.150米1 .如圖,在ABC中,假設(shè)/C=90,那么aA.sinA=一cabC.cosA=D.cosA=baC90,B53,假設(shè)BCm,那么AB的長(zhǎng)為2.計(jì)算J2sin451-cos602的值為B.i、3C.D.A.mcos53B.mcos53C.msin53D.mtan533.在RtAABC中,B.bsinA=一c14 .在RtABC中,/C=90,ACAB,那么cosA等于3B5 .菱形ABCD的對(duì)角線AC=10cm,BD=6cm,那么tan一為2-5C734D.12、2A.3C.27

8、2D.D.3.36.如圖是邊長(zhǎng)為1sin/BAC為7 .在RtAABC中,B./C=90,B. 4.8,10C.5D.10103sinA=5C.4.6D.4的小正方形組成的網(wǎng)格圖,其中點(diǎn)A,B,C均為格點(diǎn),那么假設(shè)AB=10,那么斜邊上的高等于8.如圖,在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,那么tan/ABC的值為AB的坡度是A.80mB.80mmC.40mD.40/3m9.如圖,某水庫(kù)堤壩橫截面迎水坡40m,那么迎水坡面的是12i12.如圖,在RtABC中,/C=90,BC=12,tanA=一,貝UsinB=一一113 .在4曲中,AB=275,小石,tan/B=2,

9、那么BC的長(zhǎng)度為14 .相鄰的兩根電線桿AB與CD高度相同,且相距BC50m.小王為測(cè)量電線桿的高度,在兩根電線桿之間某一處E架起測(cè)角儀,如下圖,分別測(cè)得兩根電線桿頂端的仰角為45、23,測(cè)角儀EF高1.5m,那么電線桿的高度約為m.精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin230.39,B一一A.2海里B. 2sin55海里C. 2cos55海里D.2tan55海里AB的坡度為1：2.4,AB長(zhǎng)為3.9米,A.1.732米10.如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東55方向,距離燈塔為2海里的點(diǎn)A處.如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置B處,海輪航彳T的距離AB長(zhǎng)是11.釣魚是一項(xiàng)特別鍛煉心性的運(yùn)動(dòng),如圖

10、,小南在江邊垂釣,河堤釣竿AC與水平線的夾角是60,其長(zhǎng)為4.5米,假設(shè)釣竿AC與釣魚線CD的夾角也是60,那么浮漂D與河堤下端B之間的距離約為參考數(shù)據(jù)：731732cos230.92,tan230.43115 .：如圖,在菱形ABCD中,AEXBC,垂足為E,對(duì)角線BD=8,tan/CBD=.2(1)求邊AB的長(zhǎng)；(2)求cos/BAE的值.16 .如圖是小強(qiáng)洗漱時(shí)的側(cè)面示意圖,洗漱臺(tái)(矩形ABCD)靠墻擺放,高AD=80cm,寬AB=48cm,小強(qiáng)的身高為166cm,其中下半身FG=100cm,洗漱時(shí)下半身與地面成80角(/FGK=80)身體前傾成125角(/EFG=125)腳與洗漱臺(tái)的距

11、離GC=15cm(點(diǎn)D,C,G,K在同一直線上).(1)此時(shí)小強(qiáng)的頭部點(diǎn)E與地面DK的距離是多少？(2)小強(qiáng)希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點(diǎn).的正上方,他應(yīng)向前或后退多少？(sin800.9Os80=Q.1T/2=1.41結(jié)果精確到0.1cm)1.2021以津2sin60的值等于A.1B.,2C.,3D.212.2021?懷化/“為銳角,且sina=,那么/產(chǎn)2A.30B.45C.60D,903.2021宜昌如圖,在5M的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,那BC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,那么sin/BAC的值為4.2021?廣州如圖,有一斜坡AB,坡頂B離地面的高度BC為30m

12、,斜坡的傾斜角是/BAC,假設(shè)D.12m2021陰州如圖,小亮為了測(cè)量校園里教學(xué)樓AB的高度,將測(cè)角儀CD豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為18萬(wàn)m的地面上,假設(shè)測(cè)角儀的高度為1.5m,測(cè)得教學(xué)樓的頂部A處的仰角為30,那么教學(xué)樓的高度是.,30站在A處看路燈頂端.的仰角為35.,再往前走3米站在C處,看路燈頂端.的仰角為65.,那么路燈頂端.到地面的距離約為(sin35=0.6,cos35=0.8,tan35=0.7,sin65=0.9,cos650.4,tan65=2.1)C.4.7米2021杭州如圖,一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊OCLOB,點(diǎn)A,B,C,D,O在同一平面內(nèi)AB=a,AD=b,

13、/BCO=x,那么點(diǎn)A到OC的距離等號(hào)A.asinx+bsinxD.acosx+bsinxC.30m5.6.A.55.5mC.19.5mD.18m7.C.asinx+bcosx2021?廣西小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中測(cè)量路燈的高度.如圖,她的目高AB為1.5米,她先B.acosx+bcosx2021?甘肅在ABC中,/C=90,tanA=2/3,貝JcosB=32021?杭州在直角三角形ABC中,假設(shè)2AB=AC,那么cosC=.2021?天津如圖,海面上一艘船由西向東航行,在A處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為31.,再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處,測(cè)得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45.,

14、根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù),計(jì)算這座燈塔的高度CD結(jié)果取整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60.,.434、長(zhǎng).sin53一,cos53一,tan53一5538.9.10.2021?深圳如下圖,某施工隊(duì)要測(cè)量隧道長(zhǎng)度BC,AD=600米,ADXBC,施工隊(duì)站在點(diǎn)D處看向B,測(cè)得仰角為45.,再由D走到E處測(cè)量,DE/AC,ED=500米,測(cè)得仰角為53.,求隧道BC月D2021?河南數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像塑像中高者的高度.如下圖,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34,再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處,測(cè)得塑像頂部D的仰角為60.,求炎帝塑像DE的高度.精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin34=0.56,cos34=0.83,tan34=0.67,J3=1.732021