數(shù)值計算方法試題集及答案2

1、?計算方法?期中復(fù)習(xí)試題一、填空題:31、f(1)=1.0, f(2)=1.2, f (3) =1.3,那么用辛普生(辛卜生)公式計算求得11f(x)dx*用三點(diǎn)式求得、.答案：2.367, 0.252、f(1) = -1, f(2)=2, f(3)=1,那么過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為,拉格朗日插 值多項(xiàng)式為.11L2(x) = c (x -2)(x -3) -2(x-1)(x-3) - (x-1)(x-2)答案：-1,223、近似值x*=0.231關(guān)于真值乂 = 0.229有(2 )位有效數(shù)字；x k ,11 盛麗+由999_.13、用二分法求方程f (x) =x3 +x -1

2、= 0在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為05 ,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5, 0.75 . I4、設(shè)f(x)可微,求方程x= f(x)的牛頓迭代格式是()； yxn - f ( xn )xn 1 = xn -答案1"(Xn).1 1I 15、又t "刈=*3+*+1,差商 f0,1,2,3=(1), f0,1,2,3,4=(0)；6、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；b - a 一一八 n-M7、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時,二分n次后的誤差限為(2)；8、 f(1) = 2, f(2) = 3, f(4)=5.9,那

3、么二次 Newton 插值多項(xiàng)式中 x2系數(shù)為(0.15 );11、12、113 -13 1、一f (x)dx 0 f (x)dx f( 一 一)f ()兩點(diǎn)式高斯型求積公式.()=(022中323),代數(shù)精度為(5);I _為了使計算y =10：1-3- -4- x -1 (x -1)6(x-1)3的乘除法次數(shù)盡量地少,應(yīng)將該表達(dá)式改寫1二10 (3 (4 -6t)t)t, t :x-1 ,為了減少舍入誤差,應(yīng)將表達(dá)式J2001 J1999改寫為214、計算積分1l.5xdx,取4位有效數(shù)字.用梯形公式計算求得的近似值為0.4268 、用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309 ,梯形公式的

4、代數(shù)精度為1 ,辛卜生公式的代數(shù)精度為15、設(shè) f(0) =0, f (1)=16, f (2) =46,那么 l1(x) = l(x) = x(x 2)_, f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 N2(x) =16x 7x(x -1)16、f(x)dx - Akf(xk)求積公式ak=0的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高,具有2n +1)次代數(shù)精度.17、5 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求 1f (x)dx = ( 12).18、19、次.設(shè) f(1)=1, f=2, f (3)=0,用三點(diǎn)式求 f'(1)12.5 ).I I :如果用二分法求方

5、程x3+x-4 = 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù),需對分(10x320、a=(3S(X) =132(x -1) a(x -1) b(x -1) c 1 _ x _3 2是三次樣條函數(shù),那么),b= (321、n,".,1n(X)是以整數(shù)點(diǎn)X0,X1,Xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù),那么% lk(x) = X xklj(xk):k3( 1 ), km(xj ),當(dāng) n ±2時n%,(x4k=0x2 3)1k(x) =).22、區(qū)間a,b1上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b】上具有直到23、 改變函數(shù)f(x)=x+1( x?1 )的形式階的連續(xù)導(dǎo)數(shù).使計算結(jié)果較

6、精確fx T /X24、次.假設(shè)用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根,要求精確到第3位小數(shù),那么需要對分 J025、a=_S(x)=,設(shè).3_, b=_-32x3, 0 <x <1 /3 +ax2 +bx +c,c=_126、假設(shè)用復(fù)化梯形公式計算 個求積節(jié)點(diǎn)._ o1e - 01 X2是3次樣條函數(shù),那么dx 6,要求誤差不超過10 ,利用余項(xiàng)公式估計,至少用477_ _4_ _ - 一2人 假設(shè) f(x)=3x +2x +1,那么差商 f2,4,8,16,32 =選擇題1、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B )A. 2 B. 5 C. 3D. 42、舍入誤差是(A )產(chǎn)

7、生的誤差.A,只取有限位數(shù)B .模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值3、3.141580是冗的有(B )位有效數(shù)字的近似值.A. 6B. 5C. 4D. 74、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C)誤差.A,模型 B.觀測C,截斷D.舍入x5、用1 + 3近似表示%高 所產(chǎn)生的誤差是(D )誤差. ,iI IA.舍入 B.觀測 C.模型 D.截斷6、-324. 7500是舍入得到的近似值,它有(C )位有效數(shù)字.,；7 U； IA. 5B. 6 C. 7D. 87、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,那么拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為(A

8、 ).A.£. 5 B. 0. 5 C. 2 D. -28、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C ).A. 3 B. 4C. 5 D. 29、( D )的3位有效數(shù)字是0.236X 102.(A) 0.0023549 乂 103 (B) 2354.82 X 10 2(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 110、用簡單迭彳t法求方程f(x)=0的實(shí)根,把方程f(x)=0表示成x=?(x),那么f(x)=0的根是(B )(A) y= ?(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B) y=x與y=?(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D) y=x與y= ?(x)的交點(diǎn)1

9、1、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C ).(A) f(x,x0,x1,x2,項(xiàng)趣僅x2)(x xn 1)(x xn),Rn(x) =f(x) -Pn(x)=(B)f (n 1)()(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,xn)(x3)(x x1)(xx2)(xxn 1)(x xn),f(n 1)()Rn(x) =f(x) Pn(x)( L h 1(x)(D) (n 1)!12、用牛頓切線法解方程f(x)=0 ,選初始值x0滿足(A),那么它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根.13、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根,

10、把方程改寫成以下形式,并建立相應(yīng)的迭 代公式,迭代公式不收斂的是(A ).2 x(A),迭代公式：xk.=TX-1xk -1x(B)二1+,迭代公式：xk書=1+ xxk3 (C)x二1+ x2,迭代公式：xk. = (1 + x2)1/33 x(D)-12x,=x2,迭代公式：x«=1十一上一xk xk 1bnf (x)dx ： (b - a尸 Ci f (xi) 14、在牛頓-柯特斯求積公式："T中,當(dāng)系數(shù)C (n)Ci是負(fù)值時,公式的穩(wěn)x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是(0(1)二次;(2)三次;(3)四次

11、;(4)五次定性不能保證,所以實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)()時的牛頓-柯特斯求積公式不使用.(1) n >8,(2) n>7,(3) n >10,(4) n >6,23、有以下數(shù)表15、取 百之1.732計算x=( W-1)4,以下方法中哪種最好?16(A) 28-16 6；(B) (4-2出)2 .(C) (4 + 2出)2 ；16(D)(向+1)4 o26、(A)6, 6;3 x S( x) =3l2(x 7) +a(x-2) + b 2M x <4是三次樣條函數(shù),那么0 -x -2a,b的值為(11.522.533.5-10.52.55.08.011.5(C)8, 6;

12、(B)6, 8;(C) 3；(B)4；16、由以下數(shù)表進(jìn)行 Newton 插值,所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是(b(D)8, 8.(D) 2.(A) 5;17、形如f (x)dx A1 f (x1) A2 f (x2) A3 f (x3)a1223的圖斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為(A) 9;18、計算(B)7;(C) 5；值的Newton迭代格式為(D) 3._ k . _2_ k . _3_% 1 - 2% ; (D) “ 1 - 3 xk o19、用二分法求方程x3+4x2 -10 = 0在區(qū)間1,2內(nèi)的實(shí)根,要求誤差限為" 10-3,那么對分次數(shù)至少為A10;)(B)

13、12 ;(C)8;(D)9okli(k) =(20、設(shè)1,是以xk =kk =0,1,川為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù),那么33、5個節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式,(A)5;(B)4;(C)6;21、A6, 6;35、方程x3S(x)=32( x -1)3 a(x -2) b(B)6, 8;x3 -2x 5 =0在 x(C) i;至少具有(D)3o0 _x _2D 1.次代數(shù)精度2M x M4是三次樣條函數(shù),那么a,b的值為(C)8, 6;(D)8, 8.=2附近有根,以下迭代格式中在x0 = 2不收斂的是2x3 +5(D)xk 1 = 23xk -2 o012341243-5(C)1;(B

14、)2 ;確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為(D)3ox xk 書=,2 +3(A) xk 由=牌 xk +5; (B)x xk ;(C) xk xkxk5；22、由以下數(shù)據(jù)(A) 4;23、5個節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為(A)8;(B)9;(C)10;(D)11o三、是非題認(rèn)為正確的在后面的括弧中打,否那么打?1、觀察值xi,yii =0,1,2,m,用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式PnX時,PnX的次數(shù)n可以任意取.2X2、用1- 2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差.3、(x -Xo)(X -X2)(% - x0)(x1 - x2)表示在節(jié)點(diǎn)X1的二次拉格朗日插值基函數(shù).?4、牛頓插值多項(xiàng)

15、式的優(yōu)點(diǎn)是在計算時,高一級的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果.5、矩陣A=四、計算題:3-21135具有嚴(yán)格對角占優(yōu).1、求A、B使求積公式1 _11f(x)dx ; Af(-1)f(1) Bf (-)f (-)22的代數(shù)精度盡量圖,并求其代21數(shù)精度；利用此公式求I = ' 7c*x(保存四位小數(shù)).2答案：f(x)=1,x,x是精確成立,即2A +2B =2121a2A+-B=-a,B=9I 23得 9911811求積公式為Lf(x)dx = 9f(-1) + f(1)1+9f(-2)+ f(2)2134一當(dāng)f(x) = x時,公式顯然精確成立；當(dāng)f(x)=x時,左=5 ,右=3.

16、所以代數(shù)精度為32、13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項(xiàng)式p3(x),并求f (2)的近似值(保存四位小數(shù)).L (x) _2(x二3)(x二4)(x二5) . 6(x/(x二4)(x二5)答案：3(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-105、-2-101242135求f (x)的二次擬合曲線P2(x),并求f '(0)的近似值答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111一 334254816102001510034P 3415

17、a0 10a2 =15,10al =3正規(guī)方程組為110a0 +34a2 = 416、sinx區(qū)間0.4, 0.8的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小并求該近似值.答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點(diǎn),使誤差盡量小,即應(yīng)使悶3(x)1盡量小,最靠近插值點(diǎn)的三個節(jié)點(diǎn)滿足上述要求.即取節(jié)點(diǎn)O.5.6,.7)I . ；, -最好,實(shí)際計算結(jié)果%,I > J>_ 1L _ _sin0.6389使0.596274,且7、構(gòu)造求解方程ex+10x2=0的根的迭代格式x

18、n書=*(xn),n=012,討論其收斂性,并將4根求出來,|xn由xn1<10 .答案：解：令 f (x) =ex+10x2, f(0) = 2<0, f(1)=10+e>0.且f'(x)=ex+10 AO對VxW(-巴+g),故f(x) = O在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程f(x) = O變形為那么當(dāng)xW(0,1)時:y(x)i=x e10故迭代格式收斂.取x0 =0.5,計算結(jié)果列表如下:n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525

19、 9500.090 525 0086且滿足 |x7x61M 0.000 000 95 <10 所以 x 之 0.090 52500810、以下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)1Ix X 解：當(dāng)0Vx<1時,f "(x) =ex,那么f "(x) -e,且e dX有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字,只須誤差R1(n)(f)M； 10-4守卜密"只要即可,解得 J-I III I 111 I;所以 n =68 ,因此至少需將0,1 68等份.-J r.'Y.

20、-¥ ,一一 » *12、取節(jié)點(diǎn)X0=0,X1 =0.5,X2 =1,求函數(shù)f x=e在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式 巳x,并估計誤P2(x) = e-0 (x二0.5)(x二 11 J5 _(x-0)(x二 1)一解：(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)f (x) =e, f (x) = e：M3 = max | f (x)|=1又x.0,1f1|R2(x)|=|e -P,(x) |<|x(x-0.5)(x-1)|故截斷誤差3!x14、給定方程 f (x) =(x -1)e 一1=01)分析該方程存在幾個根； 、 112)用迭代法求出這些根,精確到5

21、位有效數(shù)字；3說明所用的迭代格式是收斂的X解：1將方程x-1e -1=01改寫為(2), , 、/,/、一X. .* 三,"、作函數(shù)f1x=xT, f2x=e的圖形略知2有唯一根X1,2x2)將萬程(2)改寫為xJ+e-構(gòu)造迭代格式xk 1 =1 ' e'kx° =1.5(k =°,1,2,)計算結(jié)果列表如下:k12345678946xk1.223131.294311.274°9)1.27969 1.27812 1.2785)6 1.27844 1.27847 1.2783)邛(x) =1 +e ,%x) = -e.當(dāng) xw1,2時,平(

22、x)Eg(2)苫(1)u1,2,且所以迭代格式xk書=<p(xk) (k = °2)對任意X.,1,21均收斂.15、用牛頓(切線)法求、3的近似值,解：石是f(x) =x2 -3 = °的正根,x2 -3xn 1 = xn2 xn取x°=1.7,計算三次,保存五位小數(shù).f '(x)=2x,牛頓迭代公式為, 丁、-d 1 Ix 3xn.1 = n(n =°,1,2；),即22.取x°=1.7,列表如下:1231.732351.732°51.732°516、f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4,

23、求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)及f (1, 5)的近似值,取五位小 數(shù).L(x)-2 (x-1)(x-2)3 (x1)(x-2)4 (x1)(x-1)解：2(-1-1)(-1-2)(11)(1-2)(21)(2-1)117、n=3,用復(fù)合梯形公式求Ie dx的近似值(取四位小數(shù)),并求誤差估計.-3e°2(e13e23)e1: 17342f(x)=e ,f“(x)=e , °WxWl 時,|f"(x)|£e解:至少有兩位有效數(shù)字.19253°3819.°32.349.°73.3,22°、(8分)用最小二乘法求形如y

24、=a+bx的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù):中=span1,x2解方程組A AC二ATy其中ATA =433913391 3529603-at _； 173.6 1 y - l7998Q71C 09255577解得：0.0501025 所以 a =0.9255577, b = 0.0501025Idx21、時,試用余項(xiàng)估計其(15分)用n =8的旻化梯形公式(或旻化 Simpson公式)計算0誤差.用n =8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson公式)計算出該積分的近似值.解:RTf|=-th2f"(")J12 e012 821768= 0.0013023322、(15分)方程x -

25、x-1 =0在x=1.5附近有根,把方程寫成三種不同的等價形式(1) x = Jx + 13 -Tx=1+1xn書=11 + ：對應(yīng)迭代格式xn41=dxn+1； (2) xx對應(yīng)迭代格式" ； (3) x = x3 - 1對應(yīng)迭代3 ' ' '' '格式xn+=xn -10判斷迭代格式在x0 =1.5的收斂性,選一種收斂格式計算x = 1.5附近的根,精確 到小數(shù)點(diǎn)后第三位.21_平(x) = (x +1) 3邛n _ 01ali解：(1)3 ,中.切-0.18<1 ,故收斂；1：(x) 12 1(2)1 x,"("

26、卜勤入1,故收斂；6(x)=3x2,竹.3.5r1,故發(fā)散.選擇(1): x°=1.5, x1 =1.3572, x2 =1.3309, x3 =1.3259,刈=1.3249,x5 =1.32476x6 =1.3247225、數(shù)值積分公式形如1A, B, C, D使公式代數(shù)精度盡量高；并估計誤差.I xf (x)dx 牝 S(x) = Af (0)+ Bf (1)+ Cf (0)+ Df '(1)試確定參數(shù)1設(shè) f(x)wc40,1,推導(dǎo)余項(xiàng)公式 R(x) = 0xf(x)dx-S(x), :一_A 3 07 01c 12 3A , B , B , D = -解：將f(x)

27、=1,x,x ,x分布代入公式得：20213020$3)=枕)-構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)滿足1H；(為)=f'(為)i = Q1其中x.=°,x =11f(4)( ) 22那么有：0xH3(x)dx = S(x), f(x)-H3(x)=rx (x-1)27、(10分)數(shù)值積分公式為：hh2,.o (X) Xq()()'()-(),試確定積分公式中的參數(shù)九,使其代數(shù)精確度盡量高,并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)解：fx =1顯然精確成立;f(x)f(x)f(x)h h h2xdx0 h h 1 -1©22；h 2h3h 22h31x dx0 - h h

28、 0 -2h-2 h= 032212 ;u, 4,/h 3 h h 3122x dx0 h h 0 - 3h 04212;h 4 ,h5h 4,1,23rh5x dx0 h h 0 4h =052126 f(x) = x 時,2=x時,3=x時,4=x時,所以,其代數(shù)精確度為3.28、8分求daa >0的迭代公式為：證實(shí)：對一切k=1,2,Xk之后 且序列般是單調(diào)遞減的. |從而迭代過程收斂.xk 1 = xk,一 -2 xk= a k = 0,1,2證實(shí)：2xk2,xk故對一切 k=1,2,Xk >4ao=1 1.J 1 1 =1;又Xk 2xk2所以Xi M xk ,即序列是單

29、調(diào)遞減有下界,從而迭代過程收斂.29、9分?jǐn)?shù)值求積公式 是多少30 f (x)dx -f(1)f(2)是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度x - 2x - 1p(x)=f(1)f(2)解：是.由于f(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為1-22-133p(x)dx = f f (2)°2! L '.其代數(shù)精度為1.30、6分寫出求方程4乂 = 8取+1在區(qū)間.川 的根的收斂的迭代公式,并證實(shí)其收斂性.1 1口 1 = xn1 COS xn 1(6 分)4, n=0,1,2,11/ x sin x - - ： 1404對任意的初值x.= 0,1,迭代公式都收斂.31、12分以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn),用插值法計算V布的近似值,并利用余項(xiàng)估計誤差 用Newton插值方法：差分表：10012110110.04761900.0434783-0.000094113614412J15 ： 10+0.0476190(115-100)-0.00009