完整版常微分方程試題及答案

1、常微分方程模擬試題一、填空題(每題3分,此題共15分)1 . 一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線.2 .二階線性齊次微分方程的兩個解yi(x), y2(x)為方程的根本解組充分必要條件是3 .方程y 2y y 0的根本解組是.4 . 一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間.5 .方程曳/1 y2的常數(shù)解是.dx二、單項選擇題(每題3分,此題共15分)6 .方程* x 3 y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是().(A)上半平面7.方程曳處dx(A)有一個(B) xoy平面1 ()奇解.(B)有兩個(C)下半平面(D)除y軸外的全平面(C)無(D)有無數(shù)個8. f (y)連續(xù)可

2、微是保證方程 曳 dx(A)必要(B)充分f(y)解存在且唯一的()條件.(C)充分必要(D)必要非充分9. 二階線性非齊次微分方程的所有解().(A)構成一個2維線性空間(B)構成一個3維線性空間(C)不能構成一個線性空間(D)構成一個無限維線性空間210. 方程3y3過點(0, 0)有(B ). dx(D)只有三個解(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解三、計算題(每題6分,此題共 30分)求以下方程的通解或通積分：dy11. yln y dx12. 乎.1(y)21dxxxdy513. y xydx22、14. 2xydx (x y )dy 0315. y xy 2( y)四、計

3、算題(每題10分,此題共20分)2 .16 .求萬程y 5y 5x的通解.17 .求以下方程組的通解.dx dt dy dt1sin tx五、證實題(每題10分,此題共20分)18 .設f (x)在0,)上連續(xù),且Jim f(x) 0,求證：方程的一切解y(x),均有l(wèi)im y(x) 0 .xdydxf(x)19.在方程 y px y qxy 0 中,px, qx在恒不為零,那么該方程的任一根本解組的朗斯基行列式川儀是上連續(xù),求證：假設px上的嚴格單調函數(shù).常微分方程模擬試題參考答案一、填空題每題3分,此題共15分1. 22.線性無關或：它們的朗斯基行列式不等于零3. ex, xex4.開5.

4、 y 1二、單項選擇題每題3分,此題共15分6. D7, C 8. B 9. C 10. A三、計算題每題6分,此題共 30分11.解： y 1為常數(shù)解當y 0, y 1時,別離變量取不定積分,得dyyln ydx C通積分為ln y Cex1包含在常數(shù)解中,當c 0時就是常數(shù)解,因此常數(shù)解可以不專門列出.13.解: 5方程兩端同乘以y ,得5 dy 4y ydxz ,貝U 4y 5 dx1 dz z x4 dx,代入上式,得dx這是一階線形微分方程,對應一階線形齊次方程的通解為4xz ce利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為4x 1z Ce x - 4因此原方程通解為4 c 4x1y

5、 Ce x -414.解： 由于畫 2x N,所以原方程是全微分方程. yx取x°, y00, 0,原方程的通積分為xy 2o2xydx0 ydy C計算得15.解:1分3分6分1分3分4分5分6分2分4分6分原方程是克萊洛方程,通解為一 _ 36分y Cx 2C四、計算題(每題10分,此題共20分)16.解： 對應齊次方程的特征方程為0,1分特征根為1齊次方程的通解為0,25,2分ClC2e5x4分由于0是特征根.所以,設非齊次方程的特解為2y1 (x) x( Ax Bx代入原方程,比較系數(shù)確定出C6分1cle一,B , C259分原方程的通解為17.解:特征根為CiC2e5x齊次

6、方程的特征方程為1 22-x x52510 分(1分)2分求得特征向量為13分i因此齊次方程的通解為xC1 y令非齊次方程特解為cost-sintsint C2cost4分xyCMtcost-sintC2sintcost5分C1 t,C2滿足costsin tsin t ccost cttsin t06分解得Ci tcost,C2 t sin t8分積分,得C1(t)ln sint ,C2t9分通解為costy五、證實題C1 -sintC2(每題10分,sin tcost此題共cost ln sin tt sin t-sint ln sint t cost20分10 分18 .證實：取極限limx19 .證實：基行列式在,由于WXo故川仁是,設y yx是方程任一解,滿足 yxoy(x)yoyo,該解的表達式為x f (s)e(s xo)ds xoxo(s xo)x f(s)e dsy(x) limlim -xex x xex xo-、 (s Xo) io,右f(s)e(dsxo=of (x)e(x x°),、(x)e(s xo)lim rr- o,右 f (s)e dsxex xxo設yi (x), y2 (x)是方程的根本解組,那么對任意x (,),)上有定義,且 W(x) o .又由劉維爾公式xp(s) dsW(x) W(