五種方法法求二面角及限時(shí)練習(xí)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔文案大全五種方法求二面角及練習(xí)題一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱 ，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面， 在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直， 這兩條垂 線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S AM-B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）;在另一半平面 ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）作棱 AM的垂線（如GF）,這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi) 建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1 （2009全國(guó)

2、卷I理）如圖，四棱錐 S ABCD中，底面 ABCD為矩形，SD 底面ABCD, AD 近DC SD 2，點(diǎn) M在側(cè)棱 SC上, ABM =60°（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)（II ）求二面角S AM B的大小。證（I ）略A/1 /CA解（II ）：利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過(guò)點(diǎn)B作BF AM交AM于點(diǎn)F ,則點(diǎn)F為AM的中點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)在平面ASM內(nèi)作GF交AS于G連結(jié) AC ADQA ADS 二 AS-AC,且 M是 SC的中點(diǎn), AMI SC, GF 丄 AM 二 GF/ AS,又 t F 為 AM的中點(diǎn),21 GF是 AMS的中位線，點(diǎn) G是AS的中點(diǎn)。貝UGFB

3、即為所求二面角 SM 近，則 GF ，又 SA AC Ve , AM 2 2/ AM AB 2,ABM60° ABM是等邊三角形， BF V3在 GAB 中，AGABGAB 90° ,BG11cos BFGGF2FB2BG22GF FB3113 2 2 2旦込晁2二面角S46AMB 的大小為 arccos( 16)c練習(xí)1 （2008山東）如圖,ABC 60 , E, F分別是（I）證明：AE1 PD（n）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn),正切值為已知四棱錐BC PC的中點(diǎn).P-ABCD底面ABCD為菱形，PA!平面ABCDPEH與平面PAD所成最大角的區(qū)，求二面角E AF- C的余弦值

4、.2D分析：第面APD使命題獲證，而第 2題，則首先必須在找到最大 角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱 AF上找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)S,和兩邊SE與SC,進(jìn)而計(jì)算二面1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過(guò)證 AE±AD后推出AE丄平角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為 上15）5二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.通常當(dāng)點(diǎn) P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過(guò)二面角 B-FCj-C中半平面PB,便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖 B0射

5、影OP。再解直角三角形求二面(1)證明：直線EE, /平面FCC,;(2)求二面角B-FC, -C的余弦值。證（1） 解（2）BF=BC=CF BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn) O,則OB!CF,又略因?yàn)?AB=4, BC=CD=2,、F是棱 AB的中點(diǎn)，所以因?yàn)橹彼睦庵?ABCD-A, B, C, D,中,CCi丄平面 ABCD所以 CGAiD1CiBiBFC上的一已知點(diǎn) B作另一半平面FCC的垂線，得垂足 O再過(guò)該垂足 O作棱FC的垂線，得垂足 P,連結(jié)起點(diǎn) 與終點(diǎn)得斜線段（斜線PB垂線角的度數(shù)。山東卷理）如圖，在直四棱柱例 2 .（2009ABCD-A B1 C1 D1 中，底面 ABCD

6、為等腰梯形，AB/CD, AB=4,BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分別是棱 AD AA,、AB的中點(diǎn)。Ei、D 汁二WCB丄B0,所以O(shè)BI平面CCF,過(guò)O在平面CCF內(nèi)作OP!CF,垂 足為P,連接BP,則/ OPB為二面角B-FC, -C的一個(gè)平面角，在 BCF為正三角形中，OB J3,在Rt CCF中， OP® CCF, / -OPCCjOF OP 在 Rt OPF 中,BP JOP2 OB2亟 cos OPB OP2BP屯,所7以二面角B-FC1-C的余弦值為¥練習(xí)2 （2008天津）如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB3, A

7、D 2,PA 2,PD 22, PAB 60平面PAB ;PC與AD所成的角的大?。唬ùǎ┣蠖娼?P BD A的大小. 分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問(wèn)題， 證明AD丄平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面 PAB丄平面ABCD 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過(guò)點(diǎn)（I）證明AD（n）求異面直線DBI WJ棱BD的垂線，再作平面ABCD勺垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容,從而可/ 39得本解法。（答案：二面角 P BD A的大小為arctan、曲4三.補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線 的求二面角題目時(shí)， 要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確

8、的交線（稱(chēng)為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例3 （2008湖南）如圖所示，四棱錐 F-ABC啲底面ABC是 邊長(zhǎng)為1的菱形，/ BCD= 60°, E是CD的中點(diǎn)，PA丄底 面 ABCD P心 2.（I）證明：平面 PBEh平面 PAB（n）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角） 分析：本題的平面PAD和平面PBE沒(méi)有明確的交線， 然要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng) AD BE相交于點(diǎn)F,連結(jié)PF.）的大小. 依本法顯 再在完整C圖形中的PF上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之。 解：（n）延長(zhǎng) AD BE相交于點(diǎn)F,連結(jié)PF 過(guò)點(diǎn)A

9、作AH丄PB于 H,由（I）知 平面PBEL平面PAB所以AH!平面PBE 在 Rt ABF中，因?yàn)? BAF= 60°, 所以，AF=2AB=2=AP 在等腰Rt PAF中，取PF的中點(diǎn)G,連接AG 則AGL PF連結(jié)HG由三垂線定理的逆定理得，證略PF丄HG所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）在等腰Rt PAF中,PA 72.在 Rt PAB中,APgAB22/5Jap2 AB2AH 所以，在 Rt AHG, sin AGH AG2/55124105故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是arcsin血5練習(xí)3已知斜三棱柱ABC-A1B1O的

10、棱長(zhǎng)都是a,側(cè) 棱與底面成600的角，側(cè)面 BCCB1丄底面ABC（1）求證：AG丄BC;（2）求平面ABC1與平面ABC所成的二面角（銳角） 的大小。提示：本題需要補(bǔ)棱，可過(guò) A點(diǎn)作CB的平行線L （答案：所成的二面角為 45°）1s射影四、射影面積法（cosq =）S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積,公式（cos）求出二例 4 . ( 2008北京理）S斜如圖，在三棱錐PAC BC2,ACB90°,AP BPAB,PCAC .（I）求證：PCAB（n）求二面角 BAPC的大?。幻娼堑拇笮?。ABC 中，ABP分析：

11、本題要求二面角 BAP- C的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面 與平面ACP中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（I）證略（n） Q AC BC , AP BP , APC BPC .又 PC AC, PC BC .B又 ACB 90°,即 AC BC，且 AC I PC C，BC 平面PAC .取AP中點(diǎn)E .連結(jié)BE, CE .Q AB BP , BE AP.Q EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影， CE AP. ACE是 ABE在平面 ACP內(nèi)的射影,于是可求得:AB BP AP Jac2 CB2 2屈,BE Jab2 ae2 76,AE

12、 EC近則S射S ACE1 一cos1S ABE2ae?eb面角BAP CS射1罷S原J33S原1 I -AE?CE J2?J22172?762的J31,面角BAP C的大小為arccos3練習(xí)4：如圖5，E為正方體ABCD- AiBiCD 的棱 CC的中點(diǎn)，求平面 ABE和底面AiBCiD所成銳角的余弦值.分析 平面AB E與底面Ai B C D交線即二面角的棱沒(méi)ECi有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來(lái)一定的難度。 考慮到三角形 AB E在平面Ai Bi Ci D上的射影是三角形Ai Bi Ci,從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。2(答案：所求二

13、面角的余弦值為cos 0 =).3五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)所有的立體幾何題都可以用向量法求解， 用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫(xiě)成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例 4: (2009 天津卷理)如圖，在五面體 ABCDEF中, FA 平面 ABCD,AD/BC/FE , AB AD,1EC 的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE= AD(I)(II)求二面角A-CD-E的余弦值。 現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,2求異面直線BF與DE所成的角的大小；證明平面 AMD 平面 C

14、DE以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)AB i,依題意得B i ,0,0 , C i ,0 ,D 0,2,0 , E 0,1,1 , F 0,0,1 ,(I )解:BF1,0,1 , DE0, 1,于是 coSBF,DE)BF?DEBF DE0 0 1 142?422D所以異面直線BF與DE所成的角的大小為600.(II )證明：由AM11_，1，22，CE1,0,1，AD0,2,0，可得 CE?AM 0，CE?AD 0因此,CE AM , CEAD .又 AM ADA, 故 CE 平面 AMD .而CE平面CDE ,所以平面AMD平面CDE.(III )解:設(shè)平面CDE的法向量為(X, y, Z),則u?

15、CE 0,u?DE 0.于是Z0'令 X1,可得 u(1,1,1).Z 0.平面ABC 側(cè)面A,ABB1.又由題設(shè)，平面 ACD的一個(gè)法向量為v(0,0,1).練習(xí)5、(2008湖北)如圖，在直三棱柱 ABC ABG 中,(I)求證：AB BC ;(n)若直線 AC與平面A BC所成的角為面角A BC A的大小為，試判斷與的大小關(guān)系,并予以證明.分析：由已知條件可知：平面ABB A1±平面BCC B1丄平面ABC于是很容易想到以 B點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐 標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫(xiě)成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二 面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求 解。(答案:a口 ac

16、 /arcs in f =，且一»< >=/2，, / 22廠 2vac bva c va總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說(shuō)是三種增添輔助線的一般規(guī)律,后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。1. 如圖，已知在三棱柱 ABC A1B1C1中，三個(gè)側(cè)棱都是矩形，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).AC3,BC4,AB 5, AA14，求證ACBCi；求證AC1P平面CDB1 ;B160°的二面角，求直線BD與平面ABEF求異面直線ACi與BiC所成角的余弦值2.如圖，已知正方形 ABCD和正方形ABEF所在平面成 所成角的正弦值。3.如圖，在棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABC

17、ABiCDi中，求: (1 )面AABB與面ABCD所成角的大?。?2)二面角C-BD C的正切值(3)二面角 B1 BC1 D4.過(guò)正方形ABCD勺頂點(diǎn)A作PAA平面ABCD ,設(shè) PA=AB=a(2)求二面角(1)求二面角B- PC-C-P D-AD的大?。籇5.如圖所示,四棱錐 P- ABCD勺底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，/ BCD= 60°, E是CD的中點(diǎn)，PAI底面 ABCD PA=J3證明：BE丄平面PAB(3)求二面角 A- BE- P的大小PB與面PAC的角6如圖，在底面為直角形的四棱錐ABCD 中，AD/BC, ABC90 ,PA平面 ABCD PA 3, AD2,AB 2 力,bc=6(1)求證：BD平面PAC;R