2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版必修1學(xué)案：3.2　指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì) Word版含解析

1、§2指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)知識點(diǎn)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念、性質(zhì)及其運(yùn)算法則 填一填1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)給定正實(shí)數(shù)a，對于任意給定的整數(shù)m，n，存在唯一的正實(shí)數(shù)b，使得bnam，我們把b叫作a的次冪，記作ba.它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(2)整數(shù)指數(shù)冪與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的聯(lián)系與區(qū)別一般地，當(dāng)a>0，為任意實(shí)數(shù)值時，實(shí)數(shù)指數(shù)冪a都有意義2n次方根的性質(zhì)3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則a>0，b>0，m，nr，則(1)am·anamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn.答一答怎樣進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算？提示：(1)在引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念后，指數(shù)概念就實(shí)現(xiàn)了由整數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)展，

2、在進(jìn)行有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算時要注意運(yùn)用整體的觀點(diǎn)，方程的觀點(diǎn)處理問題，或利用已知的公式，換元等簡化運(yùn)算過程(2)有關(guān)指數(shù)冪的常用結(jié)論：1對有理數(shù)指數(shù)冪的四點(diǎn)說明(1)與根式的關(guān)系分?jǐn)?shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫法，且根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以相互轉(zhuǎn)化(2)底數(shù)的取值由分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義知a0，a可能會沒有意義，有意義時可借助定義將底數(shù)化為正數(shù)，再進(jìn)行運(yùn)算(3)運(yùn)算性質(zhì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)形式上與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)完全一樣記憶有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的口訣是：乘相加，除相減，冪相乘(4)指數(shù)冪運(yùn)算的順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的，仍符合以前的四則運(yùn)算順序2對無理數(shù)指數(shù)冪的三點(diǎn)說明

3、(1)我們只討論底數(shù)大于0的無理數(shù)指數(shù)冪(2)0的正無理數(shù)指數(shù)冪為0，負(fù)無理數(shù)指數(shù)冪無意義(3)對于每一個實(shí)數(shù)a，我們都定義了一個實(shí)數(shù)a(a>0)與它對應(yīng)，這樣就可以把有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪.類型一整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 【例1】化簡.【思路探究】化簡這類式子，一般有兩種方法一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化為正整數(shù)指數(shù)；二是運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化為正整數(shù)指數(shù)【解】解法1：原式1.解法2：原式.(以下同解法1)規(guī)律方法 對于這類問題，如果采用解法2把負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)的方法，則式子將變?yōu)榉狈质剑@樣化簡起來比較復(fù)雜所以一般運(yùn)用分式的基本性質(zhì)的方法把負(fù)指數(shù)化為正指數(shù)，即解法1，用這種

4、解法相對簡單一些計算下列各式，并把結(jié)果化為只含正整數(shù)指數(shù)冪的形式(a，b均不等于0)(1)a3b2(2ab1)3；(2)；(3)3(ab0，ab0)解：(1)a3b2(2ab1)3a3b223a3b(1)×38a33b238a6b1；(2)·a32(2)b2(1)(3)ab0；(3)3(ab)3(ab)4(2)3(ab)3(ab)63(ab)9(ab)18.類型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 【例2】計算下列各式：【思路探究】先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，在進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算時可將底數(shù)化成冪的形式，再利用冪的乘方進(jìn)行運(yùn)算；對于零次冪，直接運(yùn)用a01(a0)得出結(jié)論；底數(shù)為帶分?jǐn)?shù)的化成假分?jǐn)?shù)，進(jìn)而將底數(shù)化成

5、冪的形式；底數(shù)為小數(shù)的一般化成分?jǐn)?shù)來運(yùn)算；先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減計算：解：(1)原式41×()425221.(2)原式2188×981.類型三根式的化簡與求值 【例3】求下列各式的值 規(guī)律方法 對于含有根式的式子化簡問題，常把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式；熟練掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)并靈活應(yīng)用類型四指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用 易錯誤區(qū)根式化簡時忽略隱含條件而致誤【例5】化簡·()a b.c(a1)4 d.【錯解】a【正解】b要使原式有意義，則a1>0.·|1a|·(a1)(a1)·(a1)(a1).【錯因分析】忽略了偶次方根中被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，即漏掉處而導(dǎo)致錯誤【防范措施】注意隱含條件的挖掘要關(guān)注條件中有無隱含條件，在出現(xiàn)根式時，要注意是否是偶次方根，被開方數(shù)是否符合要求，如本例中是四次方根，則必須(a1)3>0，即a1>0.使等式(2x)成立的x的取值范圍是2,2解析：(2x)，2x2.一、選擇題12寫成根式形式是(a)a.b.c. d.解析：若b