一輪復(fù)習(xí)：橢圓

1、授課主題橢圓教學(xué)目標1 . 了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2 .掌握橢圓的定義（注意定義中的限制條件）、幾何圖形、標準方程和簡單幾何性質(zhì)（范圍、 對稱性、頂點、離心率）.3 .能夠應(yīng)用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓的標準方程，并注意其標準方程有兩種形 式.4 . 了解橢圓的簡單應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容疊曄修構(gòu)1 .橢圓的定義（1）定義：在平面內(nèi)到兩定點B的距離的和等于常數(shù)（大于I&FJ）的點的軌跡（或集合）叫橢圓.這兩定點叫做橢 圓的焦點，兩能點間的距離叫做焦距.（2）集合語言:P=MIMil+W/21=額，且2"之爐仄1，尸匹1=集，其中公心。且

2、小c為常數(shù).注：當為舊碼時，就跡為橢圓：當2a=IFF2l時，枕跡為線段HE；當2”內(nèi)弓時，就跡不存在.2 .橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程22二十 力=1(>>0)22力+亍= l(a>>0)范圍一,一b工«b, 對稱性對稱軸:了軸，軸；對稱中心：原點幾 何 性 質(zhì)焦點F1 ( c,0),F2(c,0)尸(0 9 C),尸2 (0 9。)頂點A ( . 0) 9 A2( ° ) ； 為(0,6),也(0,初A (0,一。)一生(0.4)；73, (-6,0),B2(A.O)軸線段44 , & &分別是橢網(wǎng)的長軸和短軸;K軸長為2a

3、,短軸氏為2。焦距FlF2=2c離心率焦距與長軸長的比：-e(0J)a 9b9c 的關(guān)系c2 =a2 23 .直線與橢圓位置關(guān)系的判斷直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉“得到Ax2+8x+C=0的形式(這里的系數(shù)A 一定不為0),設(shè)其判別式為:(1)&>0= 直線與橢圓相交:(2)4=0=直線與橢圓相切:(3)4v0=直線與橢圓相離.4 .弦長公式(1)若直線 y=kr+b 與橢圓相交于兩點 A(xi, yi), Bxi, ”)，則 1481=>/1+標1%一口1=弋 1 +"'1一)也 2b2(2)焦點弦(過焦點的弦)：最短的焦點弦為通徑長工最長為四.5 .

4、必記結(jié)論(1)設(shè)橢圓三+%=13>岳>0)上任意一點尸(x, y),則當x=0時，IOPI有最小值，P點在短軸端點處：當*=±“時, IOPI有最大值，P點在長軸端點處.(2)已知過焦點Q的弦AB,則的周長為八.題型一橢圓的定義及應(yīng)用9例1、已知橢圓會+弓=1上一點P到橢圓一個焦點F】的距離為3,則P到另一個焦點F?的距離為（） ZJ 1OA. 2B. 3C. 5D. 7方法點撥：應(yīng)用橢圓的定義.答案D解析根據(jù)橢圓的定義IPFil+IPBI=%=10,得【PBI=7,故選D.條件探究若將典例中的條件改為F2分別為左、右焦點，M是PR的中點，且10Ml=3"，求點

5、尸到橢圓左焦點的距離？解 由M為尸為中點，。為中點，易得IPBI=6,再利用橢圓定義易知IPRI=4.例2、（2018漳浦縣校級月考）橢圓?+產(chǎn)=1上的一點尸與兩焦點"，B所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形.（1）求方1拜2的最大值與最小值；Q設(shè)/尸1尸危=仇 求證：Saf產(chǎn)2=tan,方法點撥：（1）利用向量數(shù)量積得到目標函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值；（2）利用余弦定理、面積公式證明.解 設(shè) P（x, y）,，尸i（f, 0）, F2g 0）,3則對 i 福=（一小一x, y） （小一x,一>）=9+23=早22,We0.4, .-.1r2-2G-2J.,.拜i討2的最大值為1,最小值

6、為-2.（2）證明：由橢圓的定義可知IIPFiI + IPBII=2“，IFiF2I=2c,設(shè) NFiPF2=6,在4 尸7尸2 中，由余弦定理可得：FxF=PFx+PF-2PFPFos0= （IFF,I+IPF2l）2-2IPFil-IPF2K1 +cos）,2b1可得 4c2=4a2-2IPF1I.IPF2K1 +cos）=>IPFll- IPF2I=ttZ*1 十 cos。sing。0即有 EPF,的面積 S=gHRI-IPE,lsinNF/F,=/,-=Z>2tan?=tai. 21 +cosd22方法技巧橢圓定義的應(yīng)用技巧，1 .橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判定平面

7、內(nèi)動點與兩.；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率等.2 .通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點三角形的周長，?飛【沖關(guān)針對訓(xùn)練】已知A（-；, 0）, 8是圓（“一；）2+）2=4（"為圓心）上一動點，線段AB的垂直平分線交3尸于點P,則動點P的軌跡方程為.5答案 x2+|y2=l解析 如圖，由題意知IB4I=IPBI, IPR+厲尸1=2.所以I必l+IPFI=2且I以I+IPFNAFI,即動點尸的軌跡是以A, F 為焦點的橢圓，=1, c=g, 所以動點尸的軌跡方程為r+$2=1. 題型二橢圓的標準方程及應(yīng)用例3、（2018湖南岳陽模擬）在平面直角

8、坐標系X。）、中，橢圓C的中心為坐標原點，F(xiàn)l、B為它的兩個焦點，離心率為 事，過K的直線/交橢圓。于A，B兩點,且的周長為16,那么橢圓。的方程為.方法點撥：在未明確焦點的具體位置時，應(yīng)分情況討論.答案黜=1蜷+%1解析 由橢圓的定義及AABFz的周長知=16,則”=4,又?=¥，所以。=乎“=2播，所以分="2。2=16 8=8.當焦點在x軸上時，橢圓C的方程為卷+1=1；當焦點在y軸上時，橢圓C的方程為用+=1.綜上可知， 橢圓C的方程為蚤+5=1或5+。=1. 1O © O 1O r- v-例4、（2017江西模擬）橢圓二+=l（g>0）, R, F

9、2為橢圓的左、右焦點，且焦距為24，。為坐標原點，點P為 橢圓上一點,IOPI=坐“，且IPRL IF1F2I,爐現(xiàn)成等比數(shù)列,求橢圓的方程.方法點撥：用待定系數(shù)法，根據(jù)已知列出方程組.解設(shè) P(x, y),則 10尸|2=/+爐=?,由橢圓定義,IP產(chǎn)ll+lP尸2l=2a, IP尸/+ 21尸川JP尸2I + IP尸2P=4,又門尸61, IF1F2L IPF?I成等比數(shù)列,：.PFi PF2=IFiF2I2=4c2, PFI2+IPF2I2+8c2=4屏,:.(x+c)2+y2+(xc):+>2+&)=4</，整理得 x2+y2+5c2=2a2,即+5/=22,整理得

10、U=ocr8'又2=2小，小， 工/=8,反=5.所求橢圓的方程為5+=1. O J方法技巧求橢圓標準方程的步驟1 .判斷橢圓焦點位置.2 .設(shè)出橢圓方程.3 .根據(jù)已知條件，建立方程（組）求待定系數(shù)，注意的應(yīng)用.4 .根據(jù)焦點寫出橢圓方程.見典例12提醒：當橢圓焦點位置不明確時，可設(shè)為十=1（心0,>0,響?），也可設(shè)為兒2+吩=15>0,8>0,且A/B）.可 簡記為“先定型，再定量【沖關(guān)針對訓(xùn)練】已知橢圓的左、右焦點分別為田，尸2.尸為橢圓上的一點，尸P與y軸相交于M。，；），且M為尸人的中點，5”死=坐求橢圓的方程.解設(shè) P（xU, yo） A/為尸產(chǎn)i的中點

11、,。為FiB的中點.Axo=c, yo=.軸， PQF2是NPBFi=90。的直角三角形，由題意得，f 1c2 41，i=4,< 12 1_史解件份=i.2 2c，2- 2 1a2=b2+c29所求橢圓的方程為9+產(chǎn)=1.題型三橢圓的幾何性質(zhì)例5、Fi, B是橢圓，+£=1（a>/>0）的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使NAPF2=90。，則橢圓的離心率的取值范 圍是.（He? - />2）方法點撥：由NQPF2=90。，求出需=一乙后,利用需£0, di求解.答案怦，1）解析 設(shè)尸（X0,和）為橢圓上一點，則凈得=1.拜 1=（ C刈，一50）9

12、兩2=（c刈，光），若NHPF2=90。，則對I討2=需+訪一。2=0.又由尸產(chǎn)尸。,IPF1I=IPQ,知 10al=也儼尸11,因此，4i-2IPFiI=a/2IPFiI.1尸入1=2(2皿)“，從而IPBI=2"一IPQI=2"2(2W)“=2(Wl)”.由PFi±PF2,知1尸為|2+伊月|2=爐尸#=(2。2,因此6=:業(yè)筆:儼匡=叱2-虛產(chǎn)+(也一 1尸=，9-6碑=加一小.題型四 直線與橢圓的綜合問題角度1利用直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的標準方程及性質(zhì)例6、(2014全國卷II)設(shè)片，F(xiàn)?分別是橢圓C：5+%=13歷0)的左、右焦點，M是。上一點且

13、MF?與x軸垂直.直 線與。的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為求。的離心率；(2)若直線MN在)，軸上的截距為2,且IMM=5舊NL求“，b.方法點撥：本題(2)用代入法列出方程，用方程組法求解.解(1)根據(jù) c=d“2乂及題設(shè)知 M(c, ), 2Jy2=3ac.將="2一/代入2抉= 3ac,解得£=:或£=一2(舍去).故C的離心率為1 a 2 a2由題意，得原點。為FE的中點，同/2y軸，所以直線MF與)，軸的交點0(0.2)是線段的中點，故合4,即分=44.由得 IDai=2IFM設(shè)N3，),由題意知y0,32( C¥i) = C,X=

14、C.則 明212戶=2,i j【1 代入C的方程，得益+5=1.將及二層代入得豈2黑+±=1.解得 4=7, =4a = 28,故 4=7, =2巾.角度2利用直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線及弦的問題x2 p2、月例7、(2014.全國卷I)已知點A(0, -2),橢圓E：7+*=1(歷0)的離心率為與，尸是橢圓E的右焦點，直線AE 的斜率為¥，。為坐標原點.(1)求E的方程：(2)設(shè)過點A的動直線/與E相交于尸，Q兩點.當AOP。的面積最大時，求/的方程.方法點撥：直線與橢圓構(gòu)成方程組，用設(shè)而不求的方法求弦長，再求AOP。的面積.解 設(shè)F(gO),由條件知，彳=¥

15、，得。=審. VJ又7=當，所以"=2, 乂=“2一/=1.故E的方程為9+)2= L(2)當)_!_%軸時不合題意,故設(shè)/： y=kx-2,尸,yi),。(a”).X2將、=履一2代入彳+產(chǎn)=1得(1+4M116息+12=0.)口n , 3 , 8k±2,4依一3當=16(4好-3)>0,即后9時，xi,2= -Tyf: 44火-十1從而伊0二嚴1m_知=4現(xiàn)壽三又點。到直線PQ的距離J=-7=, 7k-+1i 4J4N3所以 OPQ的面積北”。=撲面0=嗑可一. 4/4設(shè)，4A23=f,則 >0, Sa 0P(?=b+4=因為r+%4,當且僅當f=2,即k=

16、岑時等號成立，且滿足>0,所以，當aOP。的面積最大時，/的方程為3，=察-2或)，=一察一2.方法技巧 直線與橢圓相交時有關(guān)弦問題的處理方法1 .合理消元，消元時可以選擇消去y,也可以消去x.見角度1典例.2 .利用弦長公式、點到直線的距離公式等將所求量表示出來.3 .構(gòu)造基本不等式或利用函數(shù)知識求最值.見角度2典例.4 .涉及弦中點的問題常用“點差法”解決.【沖關(guān)針對訓(xùn)練】(2015陜西高考)已知橢圓E：，+£=1(0>0)的半焦距為c,原點。到經(jīng)過兩點(c,0), (0,的直 線的距離為乙求橢圓E的離心率;10(2)如圖，A8是圓M： (x+2)2+(v1尸=5的一

17、條直徑，若橢圓E經(jīng)過A, B兩點,求橢圓石的方程.解(1)過點(gO), (0, b)的直線方程為一+cy-bc=O,則原點。到該直線的距離”=由/=%,得a=2b=2業(yè)2-0,解得離心率、坐(2)由(1)知，橢圓E的方程為r+4)2=4接.依題意，圓心M(-2,l)是線段的中點，且1481=皿.易知，A8與x軸不垂直，設(shè)其方程為y=A(x+2)+l,代入得 (1 +4/)爐+8k(2k +1 +4(2k +1 -4抉=0.設(shè)A(X, .vD，3(x2,力)，,8k(2Z+1)4(24+1)24/則勺+必=一下百彳，1+4/,一 8W2女+1)S xi+x2=-4,得一，+46 ”=-4,從而

18、 xiX2=82/?2.于是 1451=11+(3必一也|=乎，(X1+X2)24xiM=Y 10(抉一2).由從8=，而，得寸1。(*2)=回解得尻=3.故橢圓上的方程為蔣+9=1. 14 JE真題模擬反曉1.(2017.浙江高考)橢圓方+£=1的離心率是()C-1答案BD.|解析橢圓方程為"+9=1,.“=3,。=五二層=回7=6”?=坐.故選8.2. (2017河北衡水中學(xué)二調(diào))設(shè)橢圓器+冬=1的左、右焦點分別為a,點尸在橢圓上，且滿足對討2=9,則1尸611尸外1的值為()A. 8B. 10C. 12D. 15答案DN（X2, yz）, P（X3 tV3）, Q（X

19、4, .V4）：lyi 一川=2碑/n2+1 m2+2-=（+ 2）y2 2 = 0力，3 + ）4 = 0,二 HQ =M1+戶及3一叫=2/222解析 由橢圓方程為+臺=1,可得c2=4,所以爐內(nèi)1=2<,=4,而吊尸拜2一拜I，所以I用J=l屏2一兩山兩 Io 1Z邊同時平方，# IF1?2l2 = IP?112 - 2P?1 - P?2 + IP?2l2,所以1可|2 + 1拜2|2 = 1用2|2 + 24討2=16+18 = 34,根據(jù)橢圓定 義得PFl+IPBI=2a=8,所以 34+2IP尸山PBI=64,所以I/WIP尸d=15.故選 D.*>3 .（2018 武

20、漢調(diào)研）已知直線MN過橢圓5+V=l的右焦點凡 與橢圓交于M. N兩點.直線P0過原點。且與直線 MN平行，直線尸。與橢圓交于P,。兩點，則篇=.答案2小解析 解法一：由題意知，直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MM x=l.v+l,則直線PQ： x=少設(shè)M3, 6），x=my+1,加 2+2"""=一"2=（?2+2）2 + 力、- l=0=,+y2 =1p+1 JPQ2_ 6N 而+2,叭 IMN1-272.解法二：取特殊位置，當直線MN垂直于x軸時，易得時乂1=亍=也，PQI=2=2,則肅=2，i4 . （2015安徽高考）設(shè)橢圓E的方程為點+=1（“&

21、gt;>0）,點。為坐標原點，點A的坐標為3,0）,點8的坐標為（0, 加，點M在線段AB上，滿足IBM=2IM4I,直線OM的斜率為需（1）求E的離心率e；7（2）設(shè)點C的坐標為（0, 一與，N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線A8的對稱點的縱坐標為”求E的方程. 乙解由題設(shè)條件知，點M的坐標為傣，狗，又koM=*,從而/=甯，進而得=下，。='“2一按=2仇 c 2/5故5 由題設(shè)條件和的計算結(jié)果可得，直線AB的方程為啟+方=1,點A,的坐標為停仇一品.設(shè)點N關(guān)于直線A3的對稱點S的坐標為（即，習(xí)，則線段NS的中點T的坐標為件b+莖 一%+?.又點T在直線A8上，且人心s =1.

22、從而有答案B解析 由題意知“=3, /尸木，c=2,設(shè)線段PR的中點為則有0M尸&，?！保?，,尸尸工廠總， .IPF,=?= |.又 IP人 I+IPBI=24=6,1 3pr I C Q C PF=2xiPFt= *= 3xT=T3, 敵止 B.4. （2017全國卷HI）已知橢圓C捻+*=1（">">°）的左、右頂點分別為，A2,且以線段AA為直徑的圓與直線加-紗+26=0相切，則C的離心率為（）A普D.C迎c. 3答案A解析 由題意知以黃自2為直徑的圓的圓心為（0.0）,半徑為 又直線bxay+2ah=0與圓相切，圓心到直線的距禽”=

23、2abyja2+b2.b_l_.,丁干，c yla2b2=VH5=正點2=,故選A.m的等比中對1,5.已知橢圓,+方=l（o>b>0）與雙曲線可一%=1（/”>0,心0）有相同的焦點（一c,0）和（c,0）,若c是“, 然是為小與/的等差中項，則橢圓的離心率為（）A亞B這D.；20 2心答案C解析 因為橢圓，+$=1（“>>0）與雙曲線東一3=1（>0, >0）有相.同的焦點（一c,0）和（c,0）,所以c2=“2= m2+n2.因為C是小W的等比中項，層是為2與/的等差中項，所以c2=w2?2 = 2而+。2,所以加2=捻，/=捻+12c4 I。c

24、2 1C 1所以黃+3=/，化為%=：，所以e=：=去故選C.6. （2017荔灣區(qū)期末）某宇宙飛船運行的軌道是以地球中心為一焦點的橢圓，測得近地點距地面，“千米，遠地點距地 而千米，地球半徑為一千米，則該飛船運行軌道的短軸長為（）A. 24（? + r）（+r）千米B日（】+ r）（+用）千米C. 千米D. 1千米答案A解析某宇宙飛船的運行軌道是以地球的中心B為一個焦點的橢圓, 設(shè)長半軸長為“，短半軸長為仇 半焦距為c,則近地點A距地心為ac.遠地點B距地心為a+c.，ac= + r, a+c=+r,=mn + (m+n )r + r = (m+r)(n + r).，b="+/）（

25、 + /）,短軸長為2=24" +）（+/）千米,故選A.7. （2017九江期末）如圖，F(xiàn)i，2分別是橢圓%+%=13歷0）的兩個焦點，A和B是以。為圓心，以IORI為半徑的 圓與該橢圓左半部分的兩個交點，且是等邊三角形，則該橢圓的高心率為（）A.WB.；D.學(xué)答案C解析連接AR,:FiF?是圓 O 的直徑，A ZFiAF2=90o,即 QAL4B， 又BAB是等邊三角形，F(xiàn)FUAB,A ZAF2Fi=jzAF2B=3009因此，在 RtARAFz 中,IFiF2I=2c, IFiAI=1|FiF2I=c, IF2AI=IFiF2l=y/3c.c.根據(jù)橢圓的定義，得2"=

26、內(nèi)用+尸訊1=（1+5）c,解得=以滬橢圓的離心率為-=?=巾一1 .故選C.8.（2018.鄭州質(zhì)檢）橢圓方+=1的左焦點為凡 直線與橢圓相交于點M, N,當?shù)闹荛L最大時，aFMN 的面積是（）A坐B竿D.羋答案c解析 設(shè)橢圓的右焦點為E,由橢圓的定義知 的周長為L=IMNI + LM" + IN” = IA/Nl+（2小一IMEl）+（2小 -I/VE1）.因為IMEI+WElNlMM,所以IMNIIMEI INElwO,當直線 MN 過點 E 時取等號，所以 L=4/ + IMM IMEI 一 WEI4s 即直線.*=過橢圓的右焦點£時，EMN的周長最大，此時Saew

27、n=；xIMMxIEFI=；xx2=3,故 選C.9.如圖所示，內(nèi)外兩個橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC, BD,設(shè)內(nèi)層橢圓方程為了1（“>>0）,若直線AC與8。的斜率之積為一（，則橢圓的離心率為（）A.|B當c-2D4答案C解析 設(shè)外層橢圓方程為總存=1（">>0, >1），則切線AC的方程為>，=為（工一用），切線50的方程為y9y=k(xma).=bt+7，貝4 由彳 消去得(32+/6)/2?a3ka+Rj%a22=o Xbx)2+(ay)2=a2b1,b2 1因為=（2/后）2_4b+涼后）（加“_值為=0,整理&#

28、39;得奸y=k2x+mh9由J消去 y,得(/ + a2kl)x2 + 2a2mbkzx + a2m2b2 a2b2 = 0,因為 Ai = (2a2mhk2)2 4x( +Xbx)-+(ay)2=a-bja2k2)(a2nrb2a2b2)=0,整理，得好=7,(、- 1).413 1a? b? 3、公所以好的=/.因為%攵2= a，所以不=不 /=7=一群-=不 所以e=2，故選C.10. （2018永康市模擬）設(shè)橢圓C：. ra-b2=1（“>>0）和圓/+丁=，若橢圓C上存在點P,使得過點尸引圓。的兩條切線，切點分別為A, B,滿足NAPB=60。，則橢圓的離心率e的取值范

29、圍是（）A. 0<小虛Cr-<e<Dr<e<答案D解析 由橢圓C：京=1（”>”>。）焦點在x軸上，連接04, OB, 0P,依題意，O, P, A, 8四點共圓， NAPB=60。，ZAPO= NBPO=30。,在直角三角形OAP中，NAOP=60。，cosNAOP=jj=4，IOPI=,=2仇2 ：.b<OP<ti.：.2歸i, ：.4b2<(r9 由 a2=b2-hc29 即 4(a2c2)<<r9 c2 3 A 3u2<4c2,即戶J， ；e白亭,又0<e<l,.橢圓。的離心率的取值范圍是盅<

30、;1.故選D.二、填空題11. (2017.湖南東部六校聯(lián)考)設(shè)尸，。分別是圓+()，- 1戶=3和橢網(wǎng)?+)，= 1上的點，則尸，。兩點間的最大距離 是.答案舉解析 依據(jù)圓的性質(zhì)可知，尸，Q兩點間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加上圓的半徑小, 設(shè)Q(x, y),則圓心(0,1)到橢圓上點的距離為=52+(y 1產(chǎn)=#3爐2y+5 =、/ 3(y+J+竽,V /. 當>=一;時，取最大值手，所以P,。兩點間的最大距離為dma+W=¥.12. (2018廣州二測)已知中心在坐標原點的橢圓。的右焦點為R1Q),點e關(guān)于直線y=%的對稱點在橢圓。上，則 橢圓。的方程

31、為.答案¥+¥=i0+y_l 1+x(3-2-：=2x-,x=5fv_0 i解得j 4由于橢圓的兩個焦點升廠1,1廠亍為(一1,0), (10),所以 2/=1)+0+(|+1+0 =又 C=l,所以/=“2c2=W1=,所以橢圓。的方程為卷+9=1,即,+竽=1.5 513.(2018江西五市聯(lián)考)已知橢圓5+3=13>岳>0)，4,8為橢圓上的兩點,線段43的垂直平分線交工軸于點加(耳。)， 則橢圓的離心率e的取值范圍是.答案償，1)解析設(shè) A（xi，yi）, 3（x2, ）?2），1#電Ql卯+）彳=（也一朗+N 則V今+g=l,當知，所以尚（X】X2）=

32、 " 2b （G A-2）, JcC所以元f=片+立又一（04，一（02飛，Xi止m所以一%心1+不<2",則.卷二方<2",即，<之,所以又k'<l，所以坐<e<l. / v?h14. （2016.江蘇高考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓7+方=1（心>0）的右焦點，直線尸產(chǎn)橢圓交于8,C兩點，且NBFC=90。，則該橢圓的離心率是答案當解析由已知條件易得 4一半,3,增U，3, F（c,0）， .肝=（+冬，5 ms由N8FC=90。，可得游#=0,所以（c曰J（c+孚，+（_=0, C2"

33、尸+%2=0,即 4c23a2+（2一2）=0,亦即 3c2=2屏,所以則乏=挈三、解答題15. （2018安徽合肥三校聯(lián)考）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為坐，且橢圓經(jīng)過圓C：儲+產(chǎn)一以+ 乙20y=0的圓心C.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線/過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線/的方程.解（1）圓C方程化為2）2+3+也戶=6,圓心C（2, -<2）,半徑/一必. ， >設(shè)橢圓的方程為於+=13>>0）,則所以1“2=8,./=4.所以所求的橢圓方程是1+9=1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點分別是Q(2.0), 2(2,0), IF2CI= ,(22)

34、2+(0+6)2=也=水.B在圓。內(nèi)，故過B沒有圓C的切線，所以直線/過焦點 設(shè)/的方程為)=k(x+2),即五一y+2k=0,點C(2, 0)到直線/的距離為2k一小二2kl, y i+K“y12k+啦+26 由4皿得用=木化簡，得5k2+4碑上一2=0,解得k=*或k= 一娘.故/的方程為-5y+26=0或g+y+2建=0.16. (2018陜西咸陽模擬)在平面直角坐標系xO)，中，已知橢圓C：，+卓=13>/>0)過點戶(21)，且離心率e=坐.(1)求橢圓。的方程；(2)直線/的斜率為;，直線/與橢圓C交于A, B兩點.求用B面積的最大值.(、2 z12方 3解(1)；”=

35、7=-=, .屏=4分.又橢圓C：a+方=1(a>/»°)過點尸(2,1)，41二十六=1.，/=8, 3=2.cr b-故所求橢圓方程為5+9=1. o L(y=舛十 ?，I，整理得 x2+2?x+2?24=0."+A1，VJ=4w2-8;n2+16>0,解得尿l<2.Ax)4-a'2=-2?n xiX2=2m24.則L4BI= yj 14-|x yj(ai + a?)24xxi = >5(4zrr).點P到直線/的距離,/=m2mSa 用8=1 21 wI r-f>71r r+4m2=2 X 忑"xq 5(4-/

36、r)=yJm-(4nr)<5=2而且僅當，=2,即小=±7時取得最大值.B面積的最大值為2.17. （2018蘭州模擬）已知橢圓。的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A,左焦點為Q（20）,點3（2,艱） 在橢圓C上，直線 >=心（原0）與橢圓。交于P，。兩點，直線AP, AQ分別與y軸交于點M, N.（1）求橢圓。的方程：（2）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由.解（1）設(shè)橢圓。的方程為5+%=13>>0），二橢圓的左焦點為 Fi（2,0）, .* a2b2=4. ,點B（2,的在橢圓C上，.*+親=1,解得爐=8

37、,解=4,橢圓C的方程為+9=1.（2）依題意點A的坐標為（一2建,0）,設(shè)P（x°,泗）（不妨設(shè).處>0）,則。（一如一和）,由,y=kx,得刖=2yf22yf2k，直線AP的方程為丁=占1+2艱）, 1+、1+2公直線AQ的方程為v=三4+2爪）， 141+2上.21k2事k | 2）2（l+W），- 1+VT+2P 1-VT+2P| 身即+產(chǎn)+平），=4,K設(shè)MN的中點為七，則點七的坐標為（0, 一?），則以MN為直徑的圓的方程為+。,+坐>=2”2,令 y=0 得 x=2 或 x= 2,即以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點R（2,0）,尸式2.0）.18. （2018,湖

38、南十校聯(lián)考）如圖，設(shè)點A, 8的坐標分別為（一/，0）,（小，0）,直線AP, 8P相交于點P,且它們的7 斜率之積為一半求點P的軌跡方程：設(shè)點P的軌跡為C,點M, N是軌跡C上不同于A, 8的兩點，且滿足APOM, BP/ON,求證： MON的 面積為定值.v v 2/-解 設(shè)點P的坐標為(x, y),由題意得，.小心護=入+小入二小=一+/5), 化簡得，點P的軌跡方程為5+亨=1(華邛).(2)證明：由題意知，M, N是橢圓。上不同于A, 8的兩點，且從產(chǎn)OM, BPON,則直線AP, 8P的斜率必 存在且不為0.2因為 A尸OM, BPON,所以 k°wkoN=k"

39、,kBP=gr2 v2設(shè)直線MN的方程為x=?y+f,代入橢圓方程三=1,得(3+22)，2+4心+2產(chǎn)-6=0,J 乙設(shè)M, N的坐標分別為On, yi),(X2, ”)，則戶，2是方程的兩根,所以"+”=一號，21一6 )戲=年Q又 kokoN=nv? 2產(chǎn)-6 加2)，1”心" +”)+- 3尸一6?”2尸62所以=一?即2產(chǎn)=2而+3.又 Sa MON11 IfhJ 24 產(chǎn)+48"+72=和墳一力1=1-3+2，/所以第*宰=坐, 即MON的面積為定值坐方法與技巧1 .求橢圓的標準方程時，應(yīng)從“定形”定式”“定量”三個方面去思考.“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標 軸為對稱軸的情況