《1.1.3導數(shù)的幾何意義》同步練習1

1、導數(shù)的幾何意義同步練習基礎(chǔ)鞏固訓練一、選擇題(每小題3分，共18分)1. (2014 衡水高二檢測)若曲線y=f(x)在點(X。，f(xo)處的切線方程為2x+y+1=0，則( )A. fz ( xo)> 0B. f' (Xo)=OC. f' ( xo)< 0D.f' (X。)不存在【解題指南】曲線在點 x=xo處的導數(shù)，即為切線的斜率.【解析】選C.切線的方程為2x+y+1=0，即y=-2x-1，斜率為-2，故曲線在x=x。處的導數(shù) 為-2，即 f' (x0)=- 2<0.2. 設(shè)曲線y=x2在點P處的切線斜率為3,則點P的坐標為()B.(-

2、 3, 9)A.( 3, 9)【解題指南】設(shè)出點P的坐標，求出導函數(shù)，利用曲線在切點處的導數(shù)值是切線的斜率 列出方程求出點P.【解析】選C.設(shè)P(x, y),根據(jù)定義，可求得其導數(shù)y' =2x,令2x=3,得x=，所以P ',故選C.3. 曲線y=4x- x3在點(-1, -3)處的切線方程是()A. y=7x+4B.y=7x+2C. y=x-4D. y=x- 2【解析】選D.=1+3A x- ( X)2,所以切線斜率k=1,Ax切線方程為y=x-2，故選D.4. ( 2014 銀川高二檢測)若曲線f( x)= x2的一條切線I與直線x+4y-8=0垂直，則I的方程為( )A.

3、 4x- y-4=0B. x+4y- 5=0C. 4x- y+3=0D. x+4y+3=0【解析】選A.根據(jù)定義可求導數(shù)f' (x)=2x，則2x=4, x=2 ；切點(2, 4)，切線斜率k=4, 所以I的方程為4x-y-4=0，故選A.【誤區(qū)警示】此題易把切線的斜率和垂線的斜率混淆而造成錯誤5. 曲線y=x3在點(1, 1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為( )4SS4A.B. C. 一D.3939【解析】選C.根據(jù)定義可求得y' =3x2, y' |x=i=3，切線方程為3x-y-2=0,與x軸的交點 坐標為八.廠：，與x=2的交點坐標為（2, 4

4、），圍成三角形面積為=X： 二：i X 4*.6. （ 2014 廣州高二檢測）在函數(shù)y=x3-9x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于,且橫、縱坐標都為整數(shù)的點的個數(shù)是（）A. 0B. 1C.2D. 3【解析】選A.根據(jù)導數(shù)定義求得，y' =3x2-9,2 10令0w y' <1 得3< x2<,顯然滿足該不等式的整數(shù) x 不存在，r因此在函數(shù)y=x3-9x的圖象上，滿足在該點處的切線的傾斜角小于，且橫、縱坐標都4為整數(shù)的點的個數(shù)是 0.故選A.、填空題（每小題4分，共12分）17. （ 2014 無錫高二檢測）已知曲線y= -1上兩點A當 x=1時，割

5、線AB的斜率為,B _ ,k丄求解.Ax【解題指南】本題考查直線斜率的求法，根據(jù)割線的斜率11 2-(2+Ax)2+Ak 2 2(2+Ax)2 (2+Ax).AV 一M所以一=瑚一Ax Ax2(2Av 1 即 k=_即k濁w所以當 x=1時， 1k=-¥F=_.答案：-8. 拋物線y=f（x）=2x2-x在（1 , 1）點處的切線斜率為 【解析】因為 一一一-=3+2 A x,令A(yù)x趨于0，則3+2 A x趨于3.所以切線的斜率k=3.Ax答案：39. 已知曲線y=f(x)=2x2+1在點M處的瞬時變化率為-4,則點M的坐標為【解析】當A xt0時，-=2 A x+4x°t

6、 4xo,由 4xo=-4，得 xo=-1,所以點M的坐標是(-1, 3).答案：(-1, 3)三、解答題(每小題10分，共20分)10. (2014 安順高二檢測)已知拋物線y=f(x)=x2+3與直線y=2x+2相交，求它們交點處的 切線方程【解析】由方程組? = *嚴得x2-2x+1=0,y = 2x+ 2f解得x=1, y=4,所以交點坐標為(1 , 4),又十心7g = A x+2Ax當A x趨于0時A x+2趨于2.所以在點(1, 4)處的切線斜率k=2.所以切線方程為y-4=2(x-1)，即y=2x+2.【變式訓練】已知曲線y=f(x)=x+一 上一點 A'，用斜率定義求

7、：(1)點A處切線的斜率.(2)點A處的切線方程.【解題指南】求曲線在A處切線的斜率kA,即求-Ax【解析】(1) A y=f( 2+Ax)- f( 2)=2+ A x+- ( / I2+Ax 2/-Ax=+ A x,2f2+Ax)心-門Y = l irlimAx0Ax0 AxL2Ax2+6k)=.L 2(2+k) J 4s a(2)切線方程為y-= (x-2),2 4即 3x-4y+4=0.11. ( 2014 貴陽高二檢測)證明：過曲線xy=1上的任何一點P(xo, yo)(Xo>O)的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是一個常數(shù).【解題指南】先求函數(shù) y=的導數(shù)，表示出過P(x0,

8、y。)的切線方程，再求切線的截距,從而表示出面積.【證明】由xy=1,根據(jù)導數(shù)定義可得,得 y=,八.,S= X X 2xo=2是一個常數(shù).2則f' (XA)與f' (XB)的大小關(guān)系是(XB)A. f' (XA)>fB.f' (Xa)< f'(XB)C. f' (XA)=f'(xb)D.不能確定【解析】選B.分別作出A, B兩點處的切線，由圖可知2.( 2o14 荊州高二檢測 xo的值為()1A.-e)已知曲線f(x)= Inx在點(xo,B. 1C. ekB>kA，即 f' (XB)> f '

9、(XA).f(X0)處的切線經(jīng)過點(0, -1)，則D. 10所以k=-；.過點P(xo, yo)的切線方程為y-yo=-p(x-xo),2令x=o得 y=，令 y=o得x=2xo,所以過P(xo, yo)的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積能力提升訓練、選擇題(每小題4分，共16分)1.( 2014 天津高二檢測)已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,1【解析】選B.依題意得，題中的切線方程是y-lnxo= (x-xo)；又該切線經(jīng)過點(o, -1),于是有-1-1nxo= (- xo)，由此得 InXo=O, xo=1，選 B.3. ( 2o14 天津高二檢測)設(shè)f(x)為可導函數(shù)，且滿足,7則過

10、曲線y=f(x)上點(1, f(1)處的切線斜率為()A. 2B.- 1C. 1D. - 2【解析】選D. -' =-'XrD2x2 KrOK=f | =-1?f'=-2.4. 設(shè)P為曲線C： y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為 則點P橫坐標的取值范圍為()A療B卜1, 0C. 0，1D.右+8)【解題指南】根據(jù)傾斜角的取值范圍可以得到曲線C在點P處斜率的取值范圍，進而得到點P橫坐標的取值范圍【解析】選D.設(shè)點P的橫坐標為X。，因為y=x2+2x+3,由定義可求其導數(shù)y' IL二心=2xo+2，利用導數(shù)的幾何意義得 2xo+2=ta

11、na(a為點P處切線的傾斜角)，又因為a ，|，所以1W 2xo+2,所以xo 一宀) .故選D.二、填空題(每小題5分，共10分)35. 曲線f(x)= x +x-2在P點處的切線平行于直線 y=4x-1，則P點的坐標為 【解析】因為f(x)=x3+x-2,設(shè)xp=xo,所以 y=3 . - x+3x0 ( x) 2+( x)3+ x,所以Ax=3療+1+3心 x)+( x)2,所以 f'(x)=3冷+ 1，又 k=4,所以3卅+1=4,卅=1.所以xo=± 1,故 P ( 1, 0)或(-1, -4).答案：(1, 0)或(-1, -4)【變式訓練】已知f(x)=x3,則

12、曲線y=f( x)在x=2處的切線斜率為 .【解析】設(shè) P(2, 8) , Q ( 2+A x, (2+A x) 3)，則割線 PQ的斜率為 kpQ= 一 _ =12+6 A x+(A x)2,當 A xt 0時，kPQT 12,所以曲線y=f(x)在x=2處的切線斜率為12.答案：126. (2014 泰安高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為1，貝U血竺士.【解析】因為f(x)在X=1處切線斜率為1 ,所以 f' (1)=1,- =-*72 心0X1 ,1=f (1)=.22答案：'2三、解答題(每小題12分，共24分)27. 已知拋物線y=ax +bx+c過點(1

13、,1)，且在(2, -1)處的切線的斜率為1，求拋物線解析式.【解析】因為y=ax2+bx+c分別過(1, 1)點和(2, -1)點，所以a+b+c=1，4a+2b+c=-1一一Ay-m=2ax+b,故由導數(shù)的幾何意義得：y' |x=2=4a+b=1 ,由可得，a=3, b=-11, c=9.故拋物線解析式為y=3x2- 11x+9.8.已知直線x+2y-4=0與拋物線y2=2x相交于A, B兩點，0是坐標原點，試在拋物線的曲 線AOB上求一點卩，使厶ABP的面積最大.【解題指南】求出與直線 x+2y- 4=0平行的切線，對應(yīng)切點即為所求點P.【解析】由y2=2x及直線x+2y- 4=0的位置關(guān)系