九年級(jí)數(shù)學(xué)中考典型及競賽訓(xùn)練專題22與圓相關(guān)的比例線段(附答案解析)

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)中考典型及競賽訓(xùn)練專題22與圓相關(guān)的比例線段閱讀與思考比例線段是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)核心問題.我們開始是用平行線截線段成比例進(jìn)行研究的，隨著學(xué)習(xí)的深入、知識(shí)的增加，在平行線法的基礎(chǔ)上，我們 可以利用相似三角形研究證明比例線段，在這兩種最基本的研究與證明比例線段方法的基礎(chǔ)上，在不同的圖形中 又發(fā)展為新的形式.在直角三角形中，以積的形式更明快地表示直角三角形內(nèi)線段間的比例關(guān)系.在圓中，又有相交弦定理、切割線定理及其推論，這些定理用乘積的形式反映了圓內(nèi)的線段的比例關(guān)系.相交弦定理、切割線定理及其推論，它們之間有著密切的聯(lián)系：1 .從定理的形式上看，都涉及兩條相交直線與圓的位置關(guān)系；2 .從定理的

2、證明方法上看，都是先證明一對(duì)三角形相似，再由對(duì)應(yīng)邊成比例而得到等積式.熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.例題與求解【例1】如圖，已知A8是。的直徑，弦CD與A8交于點(diǎn)£,過點(diǎn)4作圓的切線與CD的延長線交于點(diǎn)F.3若AC=8/，點(diǎn)。為EF的中點(diǎn)，則48二.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)法求出8E的長，可考慮用相交弦定理，勾股定理等.例1題圖【例2】如圖，在RtA48C中，ZC=90° , AC=4,8c=3,以8c上一點(diǎn)。為圓心作與AC、48都相切,又。與8c的另一個(gè)交點(diǎn)為D,則線段8。的長為（）D.A. 1件.解題思路：由切割線定理知8好=8。8匚 欲求8D,應(yīng)先求須加

3、強(qiáng)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，充分挖掘隱含條【例3】如圖，AB是半圓的直徑，0是圓心，C是48延長線上一點(diǎn)，8切半圓于。，OEL48于E,已知AE：EB=4 ： 1, CD=2.求 8c 的長.（成都市中考試題）解題思路：由題設(shè)條件“直徑、切線”等關(guān)鍵詞聯(lián)想到相應(yīng)的知識(shí)，尋找解題的突破口.rD ?【例4】如圖，4c為。的直徑且以LAC, 8c是。0的一條弦，直線P8交直線4c于點(diǎn)D,而二歷=§.（1）求證：直線P8是。的切線；（2）求 cos/BCA 的值.（呼和浩特市中考試題）解題思路：對(duì)于（1）,恰當(dāng)連線，為已知條件的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件：對(duì)于（2）,將問題轉(zhuǎn)化為求線段的比值.【例5】如圖，已知48為

4、。的直徑，C為。0上一點(diǎn).延長8c至。，使CD=8C, C£_LAD于E, 8F交。于 F, AF 交 CE 于 P.求證:PE=PC.（太原市競賽試題）解題思路：易證PC為。0切線，貝IJPC2=P.%,只需證明PE2=pf %.證作出常用輔助線, 突破相關(guān)角.A0B【例6】如圖，已知點(diǎn)P是。外一點(diǎn)，PS、P7是。的兩條切線,過點(diǎn)P作。的割線%8,交。0于4 8兩點(diǎn)，與sr交于點(diǎn)c七、T 11,11、求證:正一（而+而）（國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題）解題思路：利用切割線定理，再由三角形相似即可證.能力訓(xùn)練A級(jí)1 .如圖，R4切。于A點(diǎn)，PC交。于8、C兩點(diǎn)，M是8c上一點(diǎn)，且%=6,

5、PB=BM=3, 0M=2,則。O 的半徑為.（青島市中考試題）2 .如圖，已知48C內(nèi)接于。O,且483C,直徑AD交8c于點(diǎn)& F是0E的中點(diǎn).如果8DCF, BC=2小, 貝 IJ CD=.（四川省競賽試題）（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）3.如圖，48切。于點(diǎn)8, AD交。于點(diǎn)C、D, OPLCD于點(diǎn)、P,若48=4cm, 4D=8cm,。的半徑為5cm, 則0P=.（天津市中考試題）4.如圖，已知。的弦A8、CD相交于點(diǎn)P, PA=4, P8=3, PC=6, £4切。0于點(diǎn)4 4E與CD的延長線交 于點(diǎn)E, AE=2yj5,那么PE的長為.（成都市

6、中考試題）5.如圖，在。中，弦48與半徑0C相交于點(diǎn)M,且0M=MC,若AM=15 8M=4,則0C的長為（）A. 26B.&C. 273D. 2啦（遼寧省中考試題）（南京市中考試題）（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）6 .如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的弦A8與小圓相切于點(diǎn)P,大圓的弦8經(jīng)過點(diǎn)P，且CD=13, PD=4,則兩圓 組成的圓環(huán)的面積為（）A. 16B. 36nC. 52nD. 817r（南京市中考試題）7 .如圖，兩圓相交于C、D, AB為公切線，若48=12, CD=9,則MD二（）A. 3B. 373C, 6D. 6、/58 .如圖，。的直徑A8=10, E是08上一點(diǎn)，

7、弦CD過點(diǎn)&且8E=2, DE=26 則弦心距OF為（）A. 1B啦C巾D. 73（包頭市中考試題）（第8題圖）（第9題圖）（第10題圖）9 .如圖，已知在A48C中，ZC=90° , 8E是角平分線，DE工BE交AB于D, 00是80E的外接圓.<1）求證：4：是。的切線：（2）若八。=6, AE=6&,求 DE 的長.（南京市中考試題）10 .如圖，R4切。0于4 割線P8c交。0于8、C兩點(diǎn)，。為PC的中點(diǎn)，連結(jié)A。并延長交。于E，己 知：BE2=DE EA.求證：（1） PA=PD； （2） ZBPAD DE.（天津市中考試題）11 .如圖，48C是直角

8、三角形，點(diǎn)。在斜邊8c上，8D=4DC.已知。0過點(diǎn)C且與4c相交于F,與48相切 于AB的中點(diǎn)G.求證：AD±BF.（第11題圖）B（第12題圖）12 .如圖，已知48是。的直徑，4c切。于點(diǎn)A連結(jié)CO并延長交。于點(diǎn)D、E,連結(jié)8。并延長 交邊AC于點(diǎn)F.（1）求證：AD AC=DC - EA；（2）若AC=A8 為正整數(shù)），求tanNCDF的值.（太原市競賽試題）B級(jí)1 .如圖，兩個(gè)同心圓，點(diǎn)A在大圓上，4XY為小圓的割線，若A¥4Y=8.則圓環(huán)的面積為（）A. 4nB. 8ttC. 12nD. 16ti（咸陽市中考試題）2 .如圖，P為圓外一點(diǎn)，心切圓于人PA=8,直

9、線PCB交圓于C、8,且PC=4, AO«L8C于。，448c=。， sin。ZACB= P .連結(jié)八8、AC,則金”的值等于（）C. 2D. 4（黑龍江省中考試題）（第2題圖）（第3題圖）（第1題圖）3.如圖，正方形A8CD內(nèi)接于。0, 長為（）£為。的中點(diǎn)，直線8E交。于點(diǎn)F,若。的半徑為啦，則81的R五D.2675T-4、底54 .如圖，己知。的半徑為12,銳角4BC內(nèi)接于。0, BDLAC于點(diǎn)。，0ML4B于點(diǎn)M,則sinNCBD的 值等于（）A. 0M的長 B. 20M的長C. CD的長D. 2 CD的長（武漢市中考試題）（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）（重慶

10、市中考試題）5 .如圖，PC為。0的切線，C為切點(diǎn)，P48是過0點(diǎn)的割線，CDL48于。.若tanPC=10cm,求A8CD 的而積.（北京市海淀區(qū)中考試題）6 .如圖，已知CF為。的直徑，C8為。0的弦，C8的延長線與過F的。O的切線交于點(diǎn)P. （1）若NP=45° , PF=10,求。半徑的長：（2）若E為8c上一點(diǎn)，且滿足P£2=p8 pc,連結(jié)FE并延長交。于點(diǎn)A求證：點(diǎn)4是眾的中點(diǎn).（濟(jì)南市中考試題）7 .已知 AC、 48 是00 的弦,AB>AC.（1）如圖1，能否在A8上確定一點(diǎn)E,使4C2=ae48?為什么？（2）如圖2,在條件（1）的結(jié)論下延長EC

11、到P，連結(jié)P8,如果P8=P£,試判斷P8與。0的位置關(guān)系并說 明理由：（3）在條件（2）的情況下，如果£是PD的中點(diǎn)，那么C是PE的中點(diǎn)嗎？為什么？（第8題圖）（第7題圖）PB pq8 .如圖，P為。0外一點(diǎn)，力與。0切于4 P8c是。0的割線，4D«LP0于。，求證：而萬萬 DU CU（嗎川省競賽試題）9 .如圖，正方形。麗的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，且8邊和陽邊所在的直線的解析式分別為：yf和片-3k + Uq、E分別為邊0C和48的中點(diǎn)，P為04邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)0不重合），連接。E和CP,其交 33點(diǎn)為Q.（1）求證：點(diǎn)Q為C0P的外心：（2）求正方形0A8c

12、的邊長；（3）當(dāng)。Q與48相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（河北省中考試題）（第9題圖）（第10題圖）（第11題圖）10 .如圖，已知8c是半圓。的直徑，。是4c的中點(diǎn)，四邊形488的對(duì)角線47、8。交于點(diǎn)£（1）求證：4C BC=2BD CD；（2）若AE=3, CD=26求弦48和直徑8c的長.（天津市競賽試題）11 .如圖，力是。0的切線，切點(diǎn)為人P8c是。的割線，ADA.OP,垂足為證明：AD2=BD CD.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題）專題22與圓相關(guān)的比例線段8V弓FA2=FD-FC (845) 右=石例 1 設(shè) CE=4k ,則 DA=DF=3kAF=AC= ，由，即=3A 10欠

13、得，而 CEDE 12k2AE=羽上320=8,又 BE= ' =16,故.例 2 C 例 3 1 提示：設(shè) EB=x,則3 =CBCA DE2 =AE-EB DE2E(? =DCZ Z|4 + (r+y)2 =4 ,4E=4x,設(shè) C8=y,則由，得 4=1"+5入)，,例4(1)PE2 =PA-PF聯(lián)結(jié)08, OP,可證明ZkBOCs布石，有,又；OC為4BO的中位線，J.OC/AD,貝lj CE_LOC,知CE為。的切線,PC2 =PAPF PE2 = PC2，有，即 PE=PC.（例5題圖）（例6題圖）例6解法一：如圖尸作PH _L ST于，則是ST的中點(diǎn)，由勾股定理

14、得PC1 = PH2 + CH2 = PS2 - SH2 4- CH2 = P52 - SH2 + CH2 = P52 - (5H- CH)(SH CH) = P-SC-CT 一 一，又由切割線定理和相交弦定理，有PC2 =PA-PB-AC -CB = PA-PB- (PC - PA)(PB - PC) =2PAPB (P4 + PB)PC+ PC2PC =加PP LPA+PB unPC,解法二：如圖2,聯(lián)結(jié)PO交S7于O,則PO_LSr聯(lián)結(jié)SO,作。E_LPB于E,則EPA+PB= JPCPE= PDP52 =PA-PB為 AB 的中點(diǎn)，于是.C, E, O,。四點(diǎn)共圓，.:RNPDsRmO

15、PS、：.PC.竿3屆盧卷+9,即.,x/22 后 “.一s tIt CE- BE = AE-EDA 級(jí) 1.2. 提示：BDEACFE, DE=EF, OF=FE=ED,設(shè)。/=x,則 OA=OD=3x. AE=5x.由(VI)2 =x - 5乜父一 1CD = Jc" + de2 二AB =W二1 2得,. 3. 4cm 4.4 5.0 6.B 7.A 8.C 9.(1)略,AAEDA些二些存L 荏一命5、幾CLABE, = ,設(shè) DE= ,DE2 + BE2 =BD1BE=2x,而V% V*幾=2遍解得，yV。，。以，V。八A 10. (1)略(2)PA2 =PB PJPA =

16、 PD,PD= DC,(PB + BD)2 =PE 2(尸B +BD)可得 PB=BD= 2 PD ,：.PB=PD= 2 DC ,:.干E,則AC=E, AGQE.由切割線定理得2BP1 =BD-CD. 2BP2 =AD /E又: BD CD=AD DE,：. 1 L作 DE1AC4G2 =AF-AC= AF .豺EDE2 =AF .豺E SDE2 =AF-AEABED = AF-AE 4，故，即r：AB=5DE,：.，于是又NBAF=ZAED=9009 :.XBAFsXAED,于是又N4BANE4O.VZEAD+ZDAB=90° , AZABF+ZDAB=90" ,故

17、AD_LBE.An fa12. 如圖，連接 AD, AE. VZDAC=ZDAE, A AADC>AEAC=> - - = => AD > AC = DC > £4.(2)VZCDF=DC ACZ 1= Z 2= Z DEA , ，tanNCDF二tanNDEA=3,由(D知生=生，故tan N CDF= .由圓的切割線定理知 AEAE ACACAC2 = DC EC,而 EC = ED+DC,則 AC? = OC(。+ ,又 AC=nAB, ED = AB,代入上式得 n2A8? = OC(DC + A8),即DC2+ABDC-n2AB2=0 ,故 D

18、cJd丁 .顯然，上式只能取加號(hào)，于是nAB 2nnr tanZCDF =AC（第12題圖）1. B 2. B 3. C 4. A 5.提示：山=任=?=生.設(shè)ad=x，則 CD DB 2 BCDA1CD=2x, DB=4x, AB=5x,由PACs/pcB 得，=_,，PA=5,又 PC? =PAPB ,即 10?=5(5 + 5x),解PC CB 27-CDDB = 36. 2得：x=3, AAD=3. CD=6, DB=12, SJ，6 .略.連接 FB,證明 PF=PE, ZBFA=ZAFC.7 . 能.連接BC,作NACE=NB , CE交AB于E.(2) PB與OO相切.C是PE的中點(diǎn).pr PO PO8 .連接OA、OB、OC,貝1m2=2。20 =所2。，于是，B、C、O、D四點(diǎn)共圓，有PCDs/ipoB,則= =一 CD OB OC，又由POCs/PBD得當(dāng)，由®得黑=:.OC BDBD CDo9 . 略 (2) A (4,3), OA=5.(3)P(3,-).410 .延長