高一數(shù)學(xué)必修四2.5平面向量應(yīng)用舉例

1、2. 5.1平面幾何中的向量方法利用向量解決平面幾何問題舉例例1.求證：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于相鄰兩5?證明:AD = bAD2= b2 =bAC2=a+b2 =(： + 厲2D5=1" 方卩=(a 方)Ca +2a-b+b向量關(guān)系幾何化2 2向量運(yùn)算關(guān)系化b+bI AC I2 +TdS l2= l(a +T) = 2(7AD2)所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于相鄰兩邊的平方和的兩倍.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:(1) 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表 示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題 焦化為由量問題；(2) 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系,

2、如距離、夾角等問題;(3) 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。簡述：幾何問題向量化> 向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化例2如圖,ABCD點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BK BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn),你能發(fā)現(xiàn)A& RT、TC之間的關(guān)系嗎?利用向量 解決平面幾何問題舉例D FCAB簡述：幾何問題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化例2.如圖，在口4BCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、 DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于點(diǎn)乩T兩點(diǎn). 你能發(fā)現(xiàn)A乩RT、TC之間的關(guān)系嗎？ 解：由圖可猜想：AR=RT=TC.證明如下：？££l&AB=a,Ab=b,則由 ARIIAC

3、 , b /M ER/EB , A ER = yEB =y(a-byeR. z由向量基本定理得 _l_y =兀=丿=亍X 33 2 一23同理可證：TC = -AC.3于是RT = -AC3故猜想：AR=RT=TC成立.D F CA a B2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例探究（一）:向量在力學(xué)中的應(yīng)用思考1：如圖，用兩條成120。角的等長 的繩子懸掛一個(gè)重量是10N的燈具，根據(jù) 力的平衡理論，每根繩子的拉力與燈具 的重力具有什么關(guān)系？每根繩子的拉力 是多少？f1+f2+g=o 思考2：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，或在單 杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)， 兩只豐臂的夾角大小與廟宛力氣的大小 有什么關(guān)

4、系？|fJ = |F2I=ion|C10N夾角越大越費(fèi)力.思考3：假設(shè)兩只手臂的拉力大小相等, 夾角為6 ，那么IF、|G|.f0之間的 關(guān)系如何？./"、2 c os20 e0° , 180° ) |G上述關(guān)系表明，若重力G定，則拉力的大小是關(guān)于 夾角°的函數(shù)并且拉力大小和夾角大小成正比例關(guān)系.探究（二）：向量在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用思考1:如圖，一條河的兩岸平行，一艘 船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中 的速度|vj =10km/h,水流速度|v2 = 2km/h,如果船垂直向?qū)Π恶側(cè)?，乘么?的實(shí)際速度v的大小是多少？>V| + V2=JVl+V2

5、VJ丿=J104S/ hA思考2：如果船沿與上游河岸成60°方向 行駛，那么船的實(shí)際速度v的大小是多少：思考3：船應(yīng)沿什么方向行駛，才能使航程最短?|vj = 10km/h|v2| = 2km/h與上游河岸的夾角為78. 73° 思考4：如果河的寬度d=500m,那么船 行駛到對(duì)岸至少要幾分鐘？所以 t =x 60 q 3.1(min).I vl a/96卜向量法解決幾何問題”的兩個(gè)角度:Ii非坐標(biāo)角度和坐標(biāo)角度例3.如圖，正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量證明:(1) PA=EFBEPA±EF&知ii應(yīng)用1、已知：AD. B

6、E、CF是ABC的三條中 線；求證：AD. BE、CF交于_點(diǎn).2、已知 &BC的三個(gè)頂點(diǎn)4(x1, yl), 8(x2, y2), C(x3, y3),則重心G的坐標(biāo)為3、用向量法證明：三角形三條高線交于一 點(diǎn).BDC$知ii應(yīng)用1、已知：AD. BE、CF是AABC的三條中線; 求證：AD. BE、CF交于一點(diǎn).證明：如圖AD、BE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DE.易知 GDEAGAB, de= 所以，BG=BE.CG=CB+BG =CB+2lBE 一 一 L =CB+(-CA-CB) = l_(cS+C4)3*知識(shí)應(yīng)用1、已知：AD. BE、CF是2XABC的三條中線; 求證：AD>

7、BE、CF交于一點(diǎn).用2、已知ZkABC的三個(gè)頂點(diǎn)Ag 力），B（x2,丿2）， C（x3,旳），則重心G的坐標(biāo)為（心+?“，力+挈必） 解：設(shè)原點(diǎn)為O,貝IIOG=OA- AG =OA+ AD=5A + i（AB+AC）=OA + -（ OB-OA+OC-OA）OA+OB+OC3三角形四心的向量表示1-13、用向量法證明：三角形三條高線交于一點(diǎn).證明：設(shè)H是高線BE、CF的交點(diǎn)， 且®AB=a, AC=bf AH=h, 則BH=h-at CH=h-b, BCb-a. 因?yàn)辂悂A疋乙肓丄簸 所以（h a ） b= （h b ） a =0. 化簡得示（7產(chǎn)）=0 入方丄嵐. 所以，三角形

8、三條高線交于一點(diǎn).介AHD CD(1) 若o是AABC所在平面上一點(diǎn), 則點(diǎn)O是AABC的夕卜心;(2)若G是/XABC所在平面上一點(diǎn)，且滿G4+GB+GC=0, 則點(diǎn)G是ABC的重心;三角形四心的向量表示（3）已知O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A. B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足前=芮+2aS | At + llA&l Lltl 丿則點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的（疋0, +）, 內(nèi)心；（4）點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn), 滿足苗 OB=OB OC=OC OA, 則點(diǎn)O是AABC的垂心.例1、已知0是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足qpOA+2(AB+AC

9、) 則P點(diǎn)的軌跡一定通過AABC的(C)A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥：由OP = OA+2(A5+AQ得出 AP=A(AB+AC)由平行四邊形法則和共線定理可得AP定 經(jīng)過 ABC的重心。變式1、已知P是平面上一定點(diǎn)，a5b5c是平面上不 共線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)0滿足 1/一一PO = -PA + PB +3V則0點(diǎn)一定是AABC的（C）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥:由心護(hù)+略得出 3POPA + PB + PCPO -PA + PO -PB + PO - PC = 6Ad+5d+CO=0故0是4 ABC的重心。變式2、已知0是平面上一定點(diǎn)，A5B5C是平面上不 共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP = O

10、A+A()(2 e0, + oo)ABAC=；1；AB sinB AC sinC則P點(diǎn)的軌跡一定通過AABC的（） A外心B內(nèi)心C重心D垂心OP = OA + A(+>ABsinBACABAC)(2e0, + oo)sinC點(diǎn)撥：在ZkABC中，由正弦定理有 UsinB二花sinC令/二 AB smB = AC sin C一 2 > 一> (XOP = OA + -(AB + AC) -e0, + oo) t11)=> AP=-(Zb+AC)由平行四邊形法則和共線定理可得AP定經(jīng)過 ABC的重心。C例2、已知0是平面上一定點(diǎn)，A5B5C是平面上不共 線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

11、足0P =+ 2(AC+>ABcosBACAB)(2e0, + oo)cosC則P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的（） A外心B內(nèi)心C重心D垂心ABACAB cosB)(2g0, + oo)cosC點(diǎn)撥：取BC的中點(diǎn)D,貝!|血=OB±°CAB)(2g0, + oo)cosC由已知條件可得DP = A(AB cosB又因?yàn)锽C DP = AB BC AC BCABcos BAC cos C)= (-|bc|+|bc|)= o2 一 AC +所以煢丄麗所以DP是BC的垂直平分線，所以P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過 ABC的外心。A外心的向量表示結(jié)論1： 0是三角形的外心o 網(wǎng)=|ob|

12、= oc、2 2 2或 04 =OB =OC+ -ABcosBACACAB結(jié)論2：_AABC平面一定點(diǎn)0,動(dòng)點(diǎn)P滿足)(2e0, + oo) cosCP點(diǎn)軌跡經(jīng)過ZkABC的外心例3、已知0是平面上一定點(diǎn)，A5B5C是平面上不共 線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP = OA + 2(ABABcosB+雪J)(go,+s)AOcosC則P點(diǎn)的軌跡一定通過 ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心0P = 0A7(ABAC+ABcosB)(2 g0, + oo) cosCI一I)(2e0, + oo)Ad cosC點(diǎn)撥：由已知等式可知喬"（一+ AC ABcosB即 BC AP = A(一,) =

13、2(-BC + BC) = 0AB cosB AC cosC在等式的兩邊同時(shí)乘以BC:+ :=> AP ± BC故點(diǎn)P的軌跡一定通過ZiABC的垂心。D變式3、已知0是平面上一點(diǎn)，A,B,C是平面上不共 線的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)。滿足頁亦二亦荒二荒頁貝！10點(diǎn)一定是ZkABC的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心點(diǎn)撥：刃麗二麗況OAOB-OBOC( OA-OCyOBQCAOBO同理可得CBA.OAAB1OCCA1OB垂心的向量表示結(jié)論1： 0是AABC的垂心的充要條件是OA OB = OB OC = 0C OA結(jié)論2、動(dòng)點(diǎn)P滿足OP = OA + A(ABAbIcosB4CAC cosC)(2

14、 E 0, + °O)P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過AAB C的垂心例4、已知0是平面上一點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)空I,咗是AABC的A, B, C所對(duì)的三邊）點(diǎn)0滿足 aOk + bOB + cOC 二 6+ c OA+AC = 0同理可得(Q + b + c)05 = (b + cBC(a + /? + c)OC - ybCA + cCB貝！|0點(diǎn)一定是ZkABC的內(nèi)心則0點(diǎn)一定是AABC的(B )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 點(diǎn)撥：由已知條件可得 aOA + bOA+AB(o + b + c)OA = -bAB + cACAB AC BC=O.)-=0可知ZBAC的平分線垂AC|

15、k r 1+AB點(diǎn)撥：從（AB ACAB ACX 1)=AB AC 2例5、已知非零向量AB AC滿足（=廿尸k kAB AC, 1， r且（AB AC= =）石,則 AABC 為（D）A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形D等邊三角形直對(duì)邊BC,故 ABC為等腰三角形；從（=二1可知cosA=,所以=60° ,2故 ABC為等邊三角形。例6、已知o是平面上一點(diǎn),a、b、c是平面上不共線 的三個(gè)點(diǎn),點(diǎn)0滿足(_AABAB= OB(_. _, ABA _ BCB_K= ocCACAACcb=0則0點(diǎn)一定是AABC的（B）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心則0點(diǎn)一定是AABC的內(nèi)心例7、已知0為AABCfs在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足:OA2 +BC2=OB2 +CA l2=l OC2 + AB 2.問：0是厶ABC的心。證：設(shè)OA = a,OB = b,OC = c,貝V:荒=7 乙馮=方一乙而=5方.由題設(shè):OA2 +BC F=l OB2 +CA2=OC2 +AB2.化簡：+(74)2二產(chǎn)+仗一刁二冷©匚)2 > > 得：cb = ac = ba 從而 AB OC = (b-a)-c* * *=b c a c = 0，同理:嵐丄前，鬲丄前.C 垂丿止丄宛1用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:(1) 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題