專升本高等數(shù)學(xué)公式全集

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案專升本高等數(shù)學(xué)公式（全）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：n等比數(shù)列： 1qq 2q n 11q1q等差數(shù)列： 123( n1)nn2調(diào)和級(jí)數(shù)： 1111 是發(fā)散的23n級(jí)數(shù)審斂法：、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1設(shè)：limn u n ，則1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n時(shí)，不確定12、比值審斂法：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散U n1n時(shí)，不確定1、定義法：3sn u1u 2u n; limsn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù) u1 u2 u3 u4(或 u1 u 2 u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：unun 1如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足，那么級(jí)數(shù)收斂且其和 s

2、u1 ,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rn un 1。lim un 0n絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1u 2u n，其中 un 為任意實(shí)數(shù)；(2) u1u 2u 3u n如果收斂，則肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；( 2)(1)如果發(fā)散，而(1)收斂，則稱為條件收斂級(jí)數(shù)。( 2)(1)調(diào)和級(jí)數(shù)：1發(fā)散，而(1) nn收斂；n級(jí)數(shù)：1收斂；n 2p級(jí)數(shù)：1 時(shí)發(fā)散np時(shí)收斂p 1文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案冪級(jí)數(shù)：x1時(shí)，收斂于11 x x 2x3xn1 xx 1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù) ( 3) a0 a1 xa2 x 2an xn，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全xR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR時(shí)發(fā)散 ，其

3、中 R稱為收斂半徑。xR時(shí)不定10時(shí)， R求收斂半徑的方法：設(shè)an 1，其中 an， an 1是 (3)的系數(shù)，則0時(shí)， Rlimnan時(shí)，R0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：f ( x )f ( x0 )( x x0f ( x0 )( x x0 )2f ( n ) ( x 0 )n)n!( x x0 )2!余項(xiàng)：f ( n 1) ()n 1可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：lim Rn0Rn( x x0 ), f ( x )(n 1)!nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式：f ( x)f (0)f ( 0) xf ( 0) x 2f( n ) ( 0) x n2!n!一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：(1

4、x) m1 m xm( m 1) x 2m( m 1) (m n 1) x n( 1 x 1)x3x 52!x 2 n 1n!sin x x( 1) n 1(x)3!5!(2 n 1)!可降階的高階微分方程類型一： y( n )f ( x)解法（多次積分法）： 令 u y( n 1)duf (x) 多次積分求 f ( x)dx類型二： y ''f (x, y ')dp解法： 令 py 'f ( x, p)一階微分方程dx類型三： y ''f ( y, y ')文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解法： 令 py 'dpdp dyp dpf ( y,

5、p) 類型二dxdy dxdy類型四：y'( )y()p xQ x若 Q(X)等于 0，則通解為 y Cep( x) dx （一階齊次線性）。若不等于0，通解p( x) dxQ ( x)ep ( x) dxc（一階齊次非線性）。y edx一階齊次非線性方程的通解是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與它的一個(gè)特解之和。三、線性微分方程類型一： y ''P( x) y 'Q( x) y0 （二階線性齊次微分方程）解法：找出方程的兩個(gè)任意線性不相關(guān)特解：y1 (x), y2 ( x)則： y(x)c1 y1( x)c2 y2 (x)類型二： y ''P( x) y &

6、#39;Q( x) yf ( x) （二階線性非齊次微分方程）解法：先找出對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解：y3 ( x) c1 y1( x)c2 y2 ( x)再找出非齊次方程的任意特解( )，則： y( x) yp (x) c1 y1(x) c2 y2 (x)yp x類型三： y ''py 'q0 （二階線性常系數(shù)齊次微分方程）解法（特征方程法）：2pq 0pp24q1,22（一）p24q012yc1e 1xc2 e 2 x（二）012y(c1c2 x)e x（三）01i,2iyex (c cos xcsin x)12文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2x(arcs

7、in x)11x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(csc x)csc x ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x2(log a x)1( arcctgx )1x ln a1x2基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分：tgxdxln cos xCdx2xdxtgxCcos2 xsecctgxdxln sin xCdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcsc xdxln csc xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1 arctg x Ccscxctgxdxcsc x Ca22xx

8、aaa xdxaCdx1xaCln ax2a2ln2axashxdxchxCa2dxx21 ln axCchxdxshxC2aaxdxx2arcsin xCdxa2ln( xx2a 2 )Ca2ax 222n1 I nI nsin nxdxcosnxdx200nx2a2dxxx2a2a 2ln( xx2a2)C22x2a 2 dxxx2a2a 2 ln xx 2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：文檔exe x雙曲正弦 : shx2exe x雙曲余弦 : chx2雙曲正切 : thxshxexe xchxexe xarshxln( xx2

9、）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x·和差角公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintg ()tgtg1 tgtgctg()ctgctg1ctgctg實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案lim sin x1x 0xlim (1 1 ) xe 2.7182818284 59045.x x·和差化積公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2 coscos22coscos2sinsin22文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案·倍角公式：sin 22 sincoscos22cos2112 sin 2cos2sin 2

10、sin33sin4 sin3ctg 2ctg 21cos34cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccosxarctgxarcctgx22中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理： f (b)f (a) f ( )(b a)柯西中值定理： f

11、 (b)f (a)f ( )F (b)F ( a)F ( )當(dāng)F( x)時(shí)，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。x：空間解析幾何和向量代數(shù)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案空間 2點(diǎn)的距離： dM1M 2( x2x1) 2( y2y1 )2( z2z1 )2向量在軸上的投影： Pr j u ABABcos ,是 AB與 u軸的夾角。Pr ju (a1a2 ) Pr ja1Pr j a2a bab cosaxbxa ybyazbz ,是一個(gè)數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbxaybyazbzax2a y2az 2bx2by2bz 2ijkca baxayaz , cab sin.例：線速度： vwr .bx

12、bybzaxayaz向量的混合積： abc(ab)cbxbybzabc cos , 為銳角時(shí)，cxcycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離： d空間直線的方程： x x0y y0z z0mnp二次曲面：Ax0By0Cz0DA2B2C2xx0mtt,其中 s m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y2z21a2b2c2、拋物面： x2y

13、2（同號(hào)）22qz,p, q2 p3、雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面： x2y2z21a2b2c2雙葉雙曲面： x2y2z2（馬鞍面）a2b2c 21多元函數(shù)微分法及應(yīng)用文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x, y)xf y (x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x, y)zzuzxuxv當(dāng) uu( x, y)， vv( x, y)時(shí)，duuudvvvdxdydxdyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù) F ( x, y)0，dyFx ，d 2

14、ydxFydx 2隱函數(shù) F ( x, y, z)0， zFx ，zxFzyvx(Fx)(Fx )dyxFyyFydxFyFz微分法在幾何上的應(yīng)用：x(t )處的切線方程：x x0y y0z z0空間曲線y(t )在點(diǎn)M (x0, y0, z0 )(t0 )(t0 )z(t)(t 0 )在點(diǎn) M 處的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yF ( x, y, z)0若空間曲線方程為：,則切向量 T G( x, y, z)0y0 )FyGy(t 0 )( zz0 )FzFzFxFxG z , GzG x , Gx0FyG y 曲面 F ( x, y, z)0上一點(diǎn) M ( x0 ,

15、y0 , z0 )，則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量： n2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程： Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 )：Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0x x0y y0z z0Fx ( x0 , y0 , z0 )F y ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )方向?qū)?shù)與梯度：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)為： f

16、ffp( x, y)llcossinxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)的梯度：gradf ( x, y)fifp( x, y)xjy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中ecosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf ( x, y)在l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y 0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y 0 ) CB2AC時(shí)， A0 , ( x0 , y0 )為極大值00

17、, ( x0 , y0 )為極小值則： B2AAC0時(shí)，無(wú)極值B 2AC0時(shí) ,不確定柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：曲線積分：第一類曲線積分（對(duì)弧 長(zhǎng)的曲線積分）：設(shè)f (x, y)在L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t) ,(t),則：y(t)f (x, y)dsf (t ), (t)2 (t )2 (t )dt()xt特殊情況：(t )Ly文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）：設(shè) L 的參數(shù)方程為x( t ) ，則：y( t )P ( x , y ) dxQ ( x , y ) dy P ( t ),( t )( t ) Q ( t ),( t )(t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系： PdxQdy( P cosQ cos) ds，其中和分別為L(zhǎng)LL 上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。格林公式：(QP ) dxdyPdxQdy 格林公式：(QP ) dxdyPdxDxyLDxyL當(dāng) Py , Qx ，即：QPD 的面積：A1x