2017年成都市一診考試數(shù)學(xué)試題與答案(理科)

1、理科第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)設(shè)集合UR,Axx2x20,則eUA(A)1U2,(B)1,2(C),1U2,(D)1,2(2)命題“若a b,則a cb c”的否命題是Fi,F2,曲線上一點P滿(A)若ab,則ac<bc(B)若ac<bc,則a.b(C)若acbc,則ab(D)若awb,則ac<bc(3)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結(jié)果為輸入的x為(A)1(B)-1或1(C)1(D)-1922(4)已知雙曲線二二1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為

2、ab足PF2x軸，若FF2I12JPF2I5,則該雙曲線的離心率為(A)至(B)3(Q!2_(D)31225已知為第二象限角，且sin2至，則cossin的值為25(A)7(B)7(C)1(D)155555 .2一6 6)x1x2的展開式中x的系數(shù)為(A)25(B)5(C)15(D)20(7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為(A)136(B)34(C)25(D)18(8)將函數(shù)fxsin2xJ3cos2x圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象上所有點向右平移一個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，則該圖象的一條對稱6

3、軸方程是(A) x (B) x6(0 x 524(D) x3在直三棱柱ABCABG中，平面與棱AB,AC,AC1,AB1分別交于點E,F,G,H,/平面且直線AA/平面，有下列三個命題：四邊形EFGH是平行四邊形；平面BCG Bi ；平面平面BCFE .其中正確的命題有(A)(B) (C)(D)(10)已知A,B是圓O: X22y 4上的兩個動點,uurAB二2uuirOC5 uuu 2 uurOA OB33.若M是uuuruunn線段AB的中點，則OCOM的值為(A)3(B)273(C)2(D)3(11)已知函數(shù)f X是定義在R上的偶函數(shù)，且f1,0 時,3f X X ,則關(guān)于X的萬程f X

4、 |cos x|在5 1-,-上的所有實數(shù)解之和為(A) -7 (B) -6 (Q -3 (D) -1(12)已知曲線C1： y24x 1tx t 0在點M 丁2處的切線與曲線C2: yex 11也相切,433 7士則t In"的值為t(A) 4e2 (B) 8e (C)(D) 8第R卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共(13)若復(fù)數(shù)z -a-1 i4小題，每小題5分，共20分.(其中a R, i為虛數(shù)單位)的虛部為 1,則a的梯形，且當(dāng)實數(shù)t取0,3上的任意值時，直線(14)我國南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖咂提出體積的計算原理(祖的I原理)：“哥勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，

5、“哥”是面積.意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖咂原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個上底為1yt被圖1和圖2所截得的兩線段長始終相等，則圖1的面積為2xy40(15)若實數(shù)x,y滿足約束條件x2y20,則的最小值為xx103(16)已知ABC中，ACJ2,BC旗,ABC的面積為,若線段BA的延長線2上存在點D,使BDC_,則CD.4三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a12,an12an4.(I)證明數(shù)列a

6、n4是等比數(shù)列;(II)求數(shù)列an的前n項和Sn.(18)(本小題滿分12分)某省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制.各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在70,85)內(nèi)，記為B等；分?jǐn)?shù)在60,70)內(nèi)，記為C等；60分以下，記為D等.同時認(rèn)定A,B,C為合格，D為不合格.已知甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在50,100內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的情況，分別抽取50名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，作出乙校的樣本中等級為C,D的所有數(shù)

7、據(jù)的莖葉圖如圖2所示.(I)求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；(II)在選取的樣本中，從甲，乙兩校C等級的學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生進行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(19)(本小題滿分12分)如圖1,正方形ABCDK點E,F分別是ABBC的中點，BD與EF交于點H,G為BD中點,點R在線段BH上，且鄴(0),現(xiàn)將RHAED,CFD,DEF分別沿DE,DF,EF折起，使點AC重合于點B(該點記為P),如圖2所示.(I)若=2,求證：GR平面PEF;(II)是否存在正實數(shù)，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為292?若存在，求出的

8、值；若不存在，請說明理由5(20)(本小題滿分12分)22xy,一已知橢圓1的右焦點為F，記直線l:x5與x軸的交點為E,過點F且54斜率為k的直線li與橢圓交于A,B兩點，點M為線段EF的中點.(I)若直線11的傾斜角為一，求ABM的面積S的值；4(II)過點B作直線BN1于點N,證明：AMN三點共線.(21)(本小題滿分12分)1已知函數(shù)fxxlnx1(a)x2a,aR.2，,，一，.1(I)當(dāng)x0時，求函數(shù)gxfxInx1x的單調(diào)區(qū)間；2(II)當(dāng)aZ時，若存在x>0,使fx0成立，求a的最小值.請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第題計分.(22)(

9、本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為 (一)的直線l的參數(shù)方程為2x 1 t cos y tsin(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是cos24sin0.(I)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(n)已知點P(1,0),點M的極坐標(biāo)為(1,一)，直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A,B2兩點，設(shè)線段AB的中點為Q求PQ的值.(23)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)fxx13x,x>1.(I)求不等式fxW6的解集;(n)若fx的最小值為n,正數(shù)a,b滿足2naba2b,

10、求2ab的最小值.文科第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.(1)設(shè)集合UR,Ax|x1x20,則eA(A),1U2,(B)1,2(C),1U2,(D)1,2命題“若ab,則acbc”的逆命題是(C)若 a(A)若ab,則ac<bc(b)若ac<bc,則a.bcbc,則ab(D)若a.b,則ac<bc22(3)雙曲線xy1的離心率為453,5,n0,那么(A)4(B)(C)<5_(D)I(4)已知為銳角，且sin-,則cos5(A)(B)(C)(D)一(5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖

11、，如果輸出的結(jié)果為5555輸入的x為(A)1(B)-1或1(C)-1(D)19(6)已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x1234ym3.24.87.5若y關(guān)于x的線性回歸方程為?2.1x1.25,則m的值為(A) 1(B) 0.85(C) 0.7(D) 0.5(7)定義在R上的奇函數(shù)f x滿足f x 3f x ,當(dāng) 0,3 時，f x2x3,則(A)1(B)1(C)125(D)8888(8)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的所有棱中，最長的棱的長度為(A)/4T(B)34(C)5(D)3.2(9)將函數(shù)fxsin2xJ3cos2x的圖象上的所有點向右平移一個

12、單位長度，得到函數(shù)6gx的圖象，則該圖象的一個對稱中心是(A)(一，0)(B)(，0)(C)(一,0)(D)二,034122(10)在直三棱柱ABCABC中，平面與棱AB,AC,ACi,AB分別交于點E,F,G,H,且AA/平面，有下列三個命題：四邊形EFGH是平行四邊形；平面/平面BCCiBi；平面平面BCFE.其中正確的命題有(A)(B)(C)(D)右口22uuuuiuir5uuu2uur(11)已知A,B是圓O:xy4上的兩個動點，AB=2,OC-OAOB,若點M33uuuruuur是AB的中點，則OCOM的值為(A)3(B)2M(C)2(D)3(12)已知曲線G： y2 tx y0,t

13、 0在點M4-,2處的切線與曲線 tC2： y也相切，則t的值為2e(A)4e2(B)4e(C)J(D)44第R卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.(13)復(fù)數(shù)z-2(i為虛數(shù)單位)的虛部為-1i(14)我國南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖附I提出體積的計算原理(祖的I原理)：“哥勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“哥”是面積.意思是，如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖的I原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個矩形，且當(dāng)實數(shù)t取0,4上的任意值時，直線yt被圖1和圖2所截得的

14、線段長始終相等，則圖1的面積為.2xy4(15)若實數(shù)x,y滿足約束條件0,則3xy的最大值為(16)已知ABC中，ACJ2,BCABC的面積為,若線段BA的延長線2上存在點D,使BDC_,則CD4三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分12分)某省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級制.各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在70,85)內(nèi)，記為B等；分?jǐn)?shù)在60,70)內(nèi)，記為C等；60分以下，記為D等.同時認(rèn)定A,B,C為合格，D為不合格.已知甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在50,100內(nèi)，

15、為了比較兩校學(xué)生的情況，分別抽取50名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，作出乙校的樣本中等級為C,D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.(I)求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；'-(II)在乙校的樣本中，從成績等級為C,D的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)當(dāng)5t生進行調(diào)研，求抽出的2名學(xué)生中至少有一名學(xué)生成績等級為D的概率.:,(18)(本小題滿分12分)圖2在等比數(shù)列an中，348al，且a1，a21,a3成等差數(shù)列(I)求數(shù)列an的通項公式；(II)求數(shù)列an4的前n項

16、和Sn.(19)(本小題滿分12分)如圖1,正方形ABCDK點E,F分別是ABBC的中點，BD與EF交于點H,點G,R分別在線段DHHB上，且DG里，將AED,CFD,BEF分別沿DE,DF,EF折起，GHRH使點AB,C重合于點P,如圖2所示.(I)求證：GR平面PEF;(II)若正方形ABCD勺邊長為4,求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑.圉1圉22x已知橢圓一5(20)(本小題滿分12分)2y,一1的右焦點為F，記直線l:x5與x軸的交點為E,過點F且4斜率為k的直線li與橢圓交于A,B兩點，點M為線段EF的中點.(I)若直線li的傾斜角為一，求AB的值；4(II)設(shè)直線AM交直線l于點N,

17、證明：直線BNl.(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)fXxlnx(1k)xk,kR.(I)若k1,求fx的單調(diào)區(qū)間;(II)當(dāng)x1時，求使不等式fx0恒成立的最大整數(shù)k的值.請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第題計分.(22)(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為 (一)的直線l的參數(shù)方程為2x 1 t cos y tsin(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是cos24sin0.(I)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(n)已知點P(1,0),點M的極坐標(biāo)

18、為(1-),直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于a,B，2兩點，設(shè)線段AB的中點為Q求PQ的值.(23)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)fxx1(i)求不等式fxW6的解集；(n)若fx的最小值為n,正數(shù)a,b滿足2naba2b,求2ab的最小值.參考答案理科一、選擇題1.B;2,D;3.D4.B;5.B;6.C;7.B;8.D;9.C;10.A;11.A;12.D.二、填空題13.214.915.316.322三、解答題17. (I)Qa12,a142Qan12an4,a0142a82(%4)an14A24分an4an4是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.5分(II)由(I)可知a

19、n42n,an2n47分當(dāng)n1時，a120,Si1ali2；8分當(dāng)n2時，an0,Snaa?Lan9分2(224)L(2n4)2(22L2n)4(n1)4(12")1，c24(n1)24n211分12又Qn1時，上式也滿足，n1nN,Sn2n14n212分18. (I)由題意可知，10x0.012100.056100.018100.010101,x0.0042分甲學(xué)校的合格率為110x0.963分而乙學(xué)校的合格率為1-20.964分50甲、乙兩校的合格率均為96%5分(II)樣本中甲校C等級的學(xué)生人數(shù)為0.01210506人6分而乙校C等級的學(xué)生人數(shù)為4人，隨機抽取3人中，甲校學(xué)生人

20、數(shù)X的可能取值為0,1,2,37分P(X 0)C3C030P(X1)c6c42C1010，P(X 2)c：c4C130C31P(X 3)會 a 611分12分X的分布列為X0123P13031012163119數(shù)學(xué)期望EX12-3191026519. (I)由題意可知，PE,PF,PD三條直線兩兩垂直1分PD平面PEF,2分在圖1中，QEF/AC,H為EF的中點，又QG為BD的中點，DG2GH分所以在圖2中，Q-BRRHc DG 2,且 2,GH1,0),0)7分p在PDH中，GR/DP5分GR平面PEF6分(II)由題意，分別以PF,PE,PD為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Pxyz,設(shè)PD

21、4,則P(0,0,0),F(2,0,0),E(0,2,0),D(0,0,4),H(1,1,0)PRuuuuuirQ,PRPH，R(RH11uuu2RF=(2,0)(,-1111uuuuuur又因為EF(2,2,0),DE(0,2,4),設(shè)平面DEF的一個法向量為m(x,y,z),uuurEFm2x則uurDEm2y2y0，取m(2,2,1),4z0Q直線FR與平面DEFW成角的正弦值為2.2,5uurcosm,RFuurmRFtuu4-|m|RF|3(2)2(1)22.22.211分92+1877(舍)3故存在正實數(shù)1-,使得直線FR與平面DEFW成角的正弦值為32.2512分20.(I)由題

22、意F(1,0),E(5,0),M(3,0)，設(shè)A(xi,y。B(x2,y2),Q直線1i的傾斜角為一,41,1i方程為yx代入橢圓方程可得,9y28yy1y289,y1y2所以SVABM1|fm|y1y21J(yy2)24y1y2(II)設(shè)直線(9)24168元-.6分99l1的方程為yk(x1),代入橢圓方程得：(45k2)x210k2x5k2200,則Xix210k22_5k202,Xix2245k245k2Q直線BNl于點NN(5,V2),y13x1kMN而y2(3Xi)2(yi)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k(5k24205k210k245k25)0,

23、11分7分12分kAMkMN,故A,M,N二點共線.21.(I)由g(x)(x1)ln(x1)(1a)x2a(x0),得g(x)ln(x1)2a.當(dāng)2a0,即a2時，g(x)0對x(0,)恒成立，此時，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)，無單調(diào)遞減區(qū)間2分當(dāng)2a0即a2時，由g(x)0,得xea21,由g(x)0,得0xea21,a2a2此時，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e1),單調(diào)遞增區(qū)間為(e1,).3分綜上所述，當(dāng)a2時，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)，無減區(qū)間；a2當(dāng)a2時，g(x)的單倜遞減區(qū)間為(0,e1),單調(diào)遞增區(qū)間為/a2(e1,)4分1(H)由f(x)0,得(x1)axln(x1)-x2,21xln(x1)x2當(dāng)x0時，上式等價于a2,5分(x1)1xln(x1)-x2令h(x)2(x0)，x1據(jù)題意，存在x0,使f(x)0成立，只需ah(x)min6分ln(x 1) x，""(x 1)22x11ln(x1)-(x1)xln(x1)-x2 h (x)xI22(x1)2一3又令u(x)ln(x1)x3,顯然u(x)在0,)上單調(diào)遞增，231而u(0)0,u(1)ln20,2 2存在x0(0,1),使u(x(o)0,