微積分期末復(fù)習(xí)題

1、掌握等價(jià)(高階，低階，同階)無(wú)窮小的概念和判別1. xtO時(shí)，與sin2x等價(jià)的無(wú)窮小量是 <A . In(1 x) B.2tan x 2C. 2(1-cos x)3D.ex -12. 若 xt 0 時(shí)，2s in xsi n2xL|xk，貝U k=。A. 1 B . 2 C . 3 D . 43. 當(dāng)xt0時(shí)，與x等價(jià)的無(wú)窮小量是 。A. xsinxB.x2 sin x C. tan ： x D. 2x4. 當(dāng)xt 0時(shí)，P =x2+sin2x與口 =x的關(guān)系是。A.:與是同階但不等價(jià)無(wú)窮小量B .:與是等價(jià)的無(wú)窮小量C.:是比較高階的無(wú)窮小量D .:是比較低價(jià)的無(wú)窮小量5. 當(dāng)xt

2、0時(shí)，2ln(1+TX)仮是x的 窮小量。求極限的一般方法：(1) 利用極限的四則運(yùn)算法則(注意前提條件)(2) 利用無(wú)窮小的運(yùn)算法則(無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無(wú)窮小);利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的 關(guān)系；1計(jì)竺=1血1 "I =e(3) 利用兩個(gè)重要極限；x ：0 x , xx2利用等價(jià)無(wú)窮小代換；(當(dāng)x > 0時(shí)，1-cosx: , V -1: : x2x|_s in x_ arcs in xLta nx : arcta nx: In 1 x : ex-1)(注意什么時(shí)候能等價(jià)無(wú)窮小代換)0旳f "(5)洛比達(dá)法則(-，且lim .廣義存在)0血g求未定式,0的極限0閃

3、求幕指函數(shù)uv的極限的方法：(1)若為1 :型，可利用第二個(gè)重要極限或者求lim(u-1)v = a，則v alim u =e(2)通用的方法：恒等變形v v lnu u e掌握l(shuí)im 凹的計(jì)算(關(guān)鍵看分子分母的最高次幕和最高次幕前的系數(shù))F q(x)6.設(shè)函數(shù)f(x)I-：!x - 3,=a x,x 一 3，已知lim f (x)存在，則x <3x 37.設(shè)函數(shù)f (x)，則 lim3f(x)。(若改 f(x)=呢)xA.-1B.C.D.不存在8.x2 2x -ax2 -1=2,A .等于2 B .等于3C .可取任意整數(shù)D .不能判斷9.求極限1 1x sin - 一 sin x 、

4、 x x10.求極限lirxm x1» (或形式為女吋汽)11.求極限lirx-sin3x -5xy-i，0 ln(1 5力12.求極限lirxr 11 1 x -1 ln x1求極限求極限lim :一：inxt x2(ex 1)I11lim I x sin 一 一一 sin x x_：, x x13.14.求極限四濘(方法：根式有理化,變量替換，羅比達(dá)法則)15.16.設(shè)X時(shí)，無(wú)窮小量kx = 017. 函數(shù)f (x)=彳|n(1 +x)，若在x = 0處連續(xù)，常數(shù)k =。x = 0 .sinx18. 設(shè) f(x)=!arCtan' X。，在 x=o 處連續(xù)，則 A=.A

5、x蘭0 119. 設(shè)f (x) = F 當(dāng)x式0時(shí)，則為f (x)的間斷點(diǎn)。、0 當(dāng)x=0時(shí) 討論函數(shù)f(x)二ex當(dāng)x>0時(shí)在此點(diǎn)的左右連續(xù)性。0 當(dāng)xE0時(shí)x2 x20. 函數(shù)f (x)=2，點(diǎn)x = -1是f (x)的間斷點(diǎn)；點(diǎn)x = 0是f (x)間斷點(diǎn)，點(diǎn)x = 1是|x|(x -1)f (x)的間斷點(diǎn)。221. 函數(shù)f(x)= 的可去間斷點(diǎn)為 ，要使函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，則需補(bǔ)充定義 f(1) =。x -1初等函數(shù)在定義區(qū)間上都是連續(xù)的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f x在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，貝(1) f x在a,b上有界；f x在a,b上取到最大值和最小值(最值定理);(3)若f

6、(a) f (b) : 0，則存在(a,b)，使得f( ) =0 (零點(diǎn)定理)。(可證明方程有根)第二三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(也包含簡(jiǎn)單的抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(由外到內(nèi)，逐層求導(dǎo))隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(方程兩邊分別對(duì)變量x求導(dǎo)，整理得y，注意碰到y(tǒng)的時(shí)候把y看作x的函數(shù))(注意：y"中可能含有y，若求y"x±0怎么代值)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(針對(duì)于幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和多個(gè)因式連乘，除，開(kāi)方這樣的函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(做法：先取對(duì)數(shù)，再按照隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)做)dy參數(shù)方程決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)業(yè)二乎dx dxdt會(huì)求函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)可微的充要條件和微分的求法dy二y dx特殊函數(shù)的高

7、階導(dǎo)數(shù)第二章11.求y = arctan -的導(dǎo)數(shù)與微分。x2.求由方程ex xy e =0所確定的隱函數(shù)y = f（x）的導(dǎo)數(shù)和微分及dydxx = 1，dyoX =13.求由方程exy =x y e2所確定的隱函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)黑。4.求函數(shù)y =(2x1)3鳥(niǎo)爲(wèi)的導(dǎo)數(shù)。（幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法與此題的方法相同）5.已知xcost，求dy和dy y =bs intdx dx6.設(shè) y®x3，求 影。7.設(shè) y =e3f(x)，求 y =8.設(shè)f可微，求函數(shù)y = f（ex）的微分。若改y = f (sin x)ef (x)呢三個(gè)中值定理的條件，結(jié)論及其應(yīng)用，的求法（羅爾定理可證明

8、方程有根，注意與零點(diǎn)定理的區(qū) 別）（三個(gè)中值定理都可以證明中值問(wèn)題，從結(jié)果逆推，把含所有項(xiàng)都挪到等號(hào)的左邊，再觀察）三早會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凹凸區(qū)間和拐點(diǎn) 會(huì)求函數(shù)的漸近線(xiàn)（特別是分式函數(shù)的） 第1. 設(shè)y =x2 -2x-3在區(qū)間-1,3上滿(mǎn)足羅爾中值定理，則滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的 題目換為滿(mǎn)足拉格朗日定理）2. p63 T5求函數(shù)。（類(lèi)似可把3.（類(lèi)似可把題目換為滿(mǎn)足拉格朗日定理的是，不滿(mǎn)足羅爾定理的是） y=2x'-3x2的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，拐點(diǎn)，極值點(diǎn)，極值。4.函數(shù)yx二土的垂直漸近線(xiàn)為，共有條漸近線(xiàn)。5.的斜漸近線(xiàn)為，共有條漸近線(xiàn)。第四章不定積分原函數(shù)和不定積分的概念函數(shù)先

9、積分后求導(dǎo)（微分）和先求導(dǎo)（微分）后積分（關(guān)鍵是知道原函數(shù)與不定積分的概念） 不定積分的性質(zhì)：加法和數(shù)乘換元積分法（第一換元法：被積函數(shù)為 fc:（x）r ：（x），第二換元法：被積函數(shù)帶根號(hào)，或是分母次數(shù)高于分子次數(shù)的有理函數(shù))分部積分法(反對(duì)幕指三，前面的為 u，后面的是v，公式udv = uv vdu)1. P92 T4FF2 (Jdf(x)=(Jf(x)dx) =3. 若 J f(x)dx = xex+C，則 f(x)=。若改為f (x dx = xex + C 呢' 1 + x4. 若函數(shù)sin 2x+f(x)的導(dǎo)函數(shù)是F(x)，則(F(x)dx =。5. 已知 f(x)=s

10、in2x，則 Jf(x)dx=。26. 求積分 xex dx和 xexdx7. 求積分 sin xcosxdx 和 cos xdx8. 求積分In xdx第五章微分方程初步解，通解和特解的概念一階線(xiàn)性微分方程的求解(可變量分離的-分離變量再積分，齊次微分方程-換元變?yōu)榭煞蛛x變 量的微分方程，一階線(xiàn)性微分方程yP(x)y二Q(x)的通解公式為"叫皿.Q(x)e ""Jx C)(通解和特解)1. 下列哪個(gè)是方程y,:2x的通解2 2 2A. y=2x c B. y = x 2 C. y=x c D. y = x12. 求微分方程y'd的特解，滿(mǎn)足y(1)=1。

11、x +xy3. 求微分方程y'ZyM的通解。x x4. 求微分方程xy丄y(1 ln y - ln x)的通解。5. 求微分方程x/ = 5y x4的通解。證明題1. 證明方程cosx-xsinx= 0在(0,)內(nèi)必有實(shí)根。22. 證明：方程x3 -3x2 6x -0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的實(shí)根。3. 設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0) = f(1)=0，證明：至少存在一點(diǎn)(0,1)，使得4. 證明：arcs in x arccosx , x：=(_1,1)25. 證明：當(dāng) x 0 時(shí)，x .In (1 x)。3x2 lim xt：x 2x1 、ax3 x2 x b cx2 dx 1，求a，b，C，d函數(shù)的連續(xù)：若lim f x二f X。，貝U稱(chēng)函數(shù)f (x)在