01加群、環(huán)的定義

1、第三章 環(huán)與域(Rings and Fields)概述：本意主要討論兩種根本代數(shù)系統(tǒng)一一環(huán)與域.和上章一樣,在這一意我們只討論環(huán)與域的假設(shè)十最根本的性質(zhì)及一些根本理論,并且介紹幾種特別的環(huán) 與域,使得我們一方面對(duì)于中學(xué)代數(shù)有更活楚、 更深入的了解,另一方面為了今后 進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研討獲得必要的根底.第一節(jié)環(huán)的定義根本概念：環(huán)的定義及根本性質(zhì)、單位元、零因子、整環(huán)、無(wú)零因子環(huán)、除環(huán)、域.重點(diǎn)、難點(diǎn)：環(huán)的定義、幾種最常見(jiàn)的環(huán)之間的關(guān)系.一、加群定義3.1.1設(shè)G是一個(gè)交換群,假設(shè)將群 G的代數(shù)運(yùn)算叫做加法,那么稱(chēng) G為了一個(gè)加群, 此時(shí)G的代數(shù)運(yùn)算記為了“ + .注1 加群G中的單位元稱(chēng)為了零元,

2、記為了0;G中元素a的逆元稱(chēng)為了a的負(fù)元(簡(jiǎn)稱(chēng)負(fù)a),記為了一a.注2 加群G中的其他一些符號(hào)及運(yùn)算定律的記法也隨之發(fā)生改變(具體見(jiàn)教材 P80-82).注3設(shè)S加群G的一個(gè)非空子集,那么S為了G 一個(gè)子群a b S, a S, a,b S a b S, a,b S、環(huán)的定義v 一根本概念環(huán)就是一個(gè)帶有兩種代數(shù)運(yùn)算并滿(mǎn)足一些運(yùn)算性質(zhì)的非空集合.具體如下定義3.1.2設(shè)R是一個(gè)非空集合,R帶有兩種代數(shù)運(yùn)算：加法(記為了“ + )和乘法(記為了假設(shè)(1) R對(duì)于加法是一個(gè)加群；(2) R對(duì)于乘法構(gòu)成一個(gè)幺半群；(3) 加法和乘法滿(mǎn)足左、右安排律：(a b)ca(b c)acbcabac, a,b,

3、c那么稱(chēng)R是一個(gè)結(jié)合環(huán),簡(jiǎn)稱(chēng)R是一個(gè)環(huán),記做(R,+, - , 0)是一個(gè)環(huán).注 環(huán)中的運(yùn)算順序?yàn)榱耍河欣ㄌ?hào)先算括號(hào),無(wú)括號(hào)的先算乘法后算加法.例1 R = （0 ,山,& , S.加法和乘法由以下兩個(gè)表給定：+0ab eX0abc00ab c00000aa.Ic ba000CibbQ ab0ai?rba 0c0abc那么R對(duì)于上述兩種運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán).證（1） R是一個(gè)加群：.封閉, 結(jié)合律, 零元, 負(fù)元, 交換律.（2）R是一個(gè)乘法半群：封閉,結(jié)合律.（3）滿(mǎn)足左、右安排律.例2容易驗(yàn)證：（1）全體整數(shù)關(guān)于數(shù)的普通加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱(chēng)為了整數(shù)環(huán),記為了（,0,1）或簡(jiǎn)記為了C.

4、 （2）全體有理數(shù)（實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)）關(guān)于數(shù)的普通加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱(chēng)為了有理數(shù)域,記為了（,0,1） （ （ , , ,0,1）、（ , , ,0,1）或簡(jiǎn)記為了.（？、 £）.例3 數(shù)域F上的n階方陣的全體關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱(chēng)為了 F上的n 階方陣環(huán),記為了Mn（F）.例4 R = （所有模酩的剩余類(lèi),規(guī)定運(yùn)算為了 小四皿"&"可以證明R關(guān)于上述運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱(chēng)之為了模氏的剩余類(lèi)環(huán),記為了ii/n ,或.n.v二 初等性質(zhì)（P81-84中的（1 ） （14 ）條,略）值得一提的是：在一般的環(huán)中,（ab）n未必等于anbn,即二項(xiàng)式定理未必

5、成立.三、一些特別的環(huán)v一 交換環(huán)定義3.1.3假設(shè)環(huán)R的乘法滿(mǎn)足交換律,即愚=ba , a,b R,那么稱(chēng)R是一個(gè)交換環(huán).例如,C、.、?、£、如都是交換環(huán),而 Mn（F ）那么不是交換環(huán).注1 在交換環(huán)中,二項(xiàng)式定理成立,即（ab）n anbn , n為了正整數(shù).二 含幺環(huán)R是一個(gè)有單位元的環(huán),其中乘定義3.1.4假設(shè)R的乘法半群是一個(gè)乘法幺半群,那么稱(chēng) 法單位元古通常記為了1,此時(shí)環(huán)R通常也稱(chēng)為了含幺環(huán).例如,C、.、?、£都是含幺環(huán),單位元就是數(shù)1, Cn、Mn(F )也是含幺環(huán),單位元分別是1和n階單位矩陣En.這也說(shuō)明含幺環(huán)中的單位元1并非就是普通整數(shù)1.注1

6、并非所有的環(huán)都是含幺環(huán).如下例.例5 2 C = (所有偶數(shù), R對(duì)于數(shù)的普通加法和乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)環(huán).但R沒(méi)有單位元.注2假設(shè)R是有單位元的非零環(huán),那么R中的零元與單位元一定不相等. 注意,零環(huán)R 0也是一個(gè)含幺環(huán).故約定在今后的討論中,含幺環(huán)總是指非零環(huán).注3含幺環(huán)中的單位元總是惟一存在的.注4在含幺環(huán)R中,規(guī)定 a0 1, a R .定義3.1.5 一個(gè)有單位元環(huán)的一個(gè)元 占叫做元食的一個(gè)逆元,假設(shè)死=如=1 ,此時(shí)也 稱(chēng)a是一個(gè)可逆元.注1 假設(shè)b是a的一個(gè)逆元,那么 a也是b的一個(gè)逆元.注2逆元未必存在,如非零環(huán)中的零元.但逆元假設(shè)存在,那么必是惟一存在的.n汪3右a可逆,那么a (

7、a ) , n C.注4還有左逆、右逆的概念(見(jiàn)第二章)v三無(wú)零因子環(huán)問(wèn)：在一般的環(huán)中,兩個(gè)非零元素之積是否仍舊非零,即ab 0能否推出a 0或b 0 ?這個(gè)問(wèn)題的答復(fù)是否認(rèn)的,如環(huán)0n ,n是個(gè)合數(shù).定義3.1.6假設(shè)是在一個(gè)環(huán)里a 0,b 0,但 ab 0,那么稱(chēng)就是這個(gè)環(huán)的一個(gè) 左零因子,石是一個(gè)右零因子.假設(shè)a既是一個(gè)左零因子,又是一個(gè)右 零因子,那么稱(chēng)a是一個(gè)零因子.注1在交換環(huán)中,左零因子、右零因子、零因子的概念是統(tǒng)一的.aa, b O b注2在非交換環(huán)中,左零因子與右左零因子的概念是不統(tǒng)一的.如特別矩陣環(huán)0 R0注3乘法可逆兀一定不是左、右零因子.無(wú)零因子環(huán)定義3.1.7不含左、

8、右零因子的環(huán)稱(chēng)為了例如,C、.、?、£都是無(wú)零因子環(huán),而 Cn(n是合數(shù))、Mn(F)不是無(wú)零因子環(huán).注1可以證明：R是無(wú)零因子環(huán)"a,b R,ab 0 a 0或b 0" R中非零元素之積仍非零.證a( 0)R, b, cR .假定R是無(wú)零因子環(huán)abaca(b c)0bc 0 bbaca(b c)a0bc 0 b定理3.1.1環(huán)R是無(wú)零因子環(huán)R的乘法滿(mǎn)足左、右消去律c；故R中的乘法滿(mǎn)足左、右消去律反過(guò)來(lái),假定R中的乘法滿(mǎn)足左消去律ab 0,那么aba0即R無(wú)零因子.由上面的證明可以得知有推論3.1.2環(huán)R的乘法滿(mǎn)足左消去律R是無(wú)零因子環(huán)R的乘法滿(mǎn)足右消去律.v四整

9、環(huán)定義3.1.8 一個(gè)有單位元的無(wú)零因子的交換環(huán)叫做一個(gè)整環(huán).例如,C、.、?、£都是整環(huán),而2C、0n (n是合數(shù))、Mn(F)不是整環(huán).五 除環(huán)、域例6艮只包含一個(gè)元蒞,加法和乘法是:那么R是一個(gè)有單位元環(huán),單位元 a有一個(gè)逆元,就是 a本身.此時(shí)R就是零環(huán)._° 1 -11例7.、?、£中任怠一個(gè)非苓數(shù) a都有一個(gè)逆兀 一,且a 一 a 1 -一般的,我們有如下的概念.定義3.1.9 一個(gè)環(huán)R叫做一個(gè) 除環(huán)(或體、斜域),假設(shè)(1) R中至少包含一個(gè)不等于零的元(即R中至少有兩個(gè)元素);(2) R有單位元；(3) R的每一個(gè)不等于零的元有一個(gè)逆元.交換的除環(huán)

10、叫做域.例如,.、?、£都是域.容易證明,除環(huán)具有下面的性質(zhì).命題3.1.3 （1）除環(huán)是無(wú)零因子環(huán).設(shè)R是一個(gè)非零環(huán),記R* a R| a_ _ _ . *0) R 0,那么R是除環(huán) R對(duì)于R的乘法構(gòu)成一個(gè)群,稱(chēng)之為了除環(huán)R的乘法群.（3）在除環(huán)R中,a( 0) R,b R,方程ax b和ya b都有惟一解.注1 在除環(huán)R中,a( 0) R,b R,a 1b與ba 1未必相等.假設(shè) R是域,那么a 1b ba 1 ,統(tǒng)一記為了b ,稱(chēng)為了b除以a的商,易知商具有與普通數(shù)相似的一些性質(zhì)（具 a體見(jiàn)教材P91）.例8設(shè)H a° ai a2 j a3k | a°, a

11、,a2, a3 ?）是實(shí)數(shù)域？上的四維向量空間,1,i,j,k為了其一組基,規(guī)定基元素之間的乘法為了:222(1) i j k 1 ；(2 ) ij k, jk i, ki j .將其線(xiàn)性擴(kuò)張為了 H中的元素之間的乘法.那么 H關(guān)于向量的加法和上面定義的乘法構(gòu)成一個(gè) 除環(huán),稱(chēng)之為了（Hamilton）四元數(shù)除環(huán)或四元數(shù)體.證只需證明H對(duì)于H的乘法構(gòu)成一個(gè)群,為了此只需證明H中的每個(gè)非零元均可逆:事實(shí)上,設(shè)02a0 a1i a2 ja3k H ,貝Ua°2a2a2a. i可逆,從而H為了除環(huán).注1 H還有其他的定義方式,如定義為了復(fù)數(shù)域上的二維向量空間（見(jiàn)教材P92）或復(fù)數(shù)域上的二階方

12、陣環(huán)M 2 （£）的子環(huán)（見(jiàn) N.Jacobson « Basic Algebra I>）.注2 愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家 W.R.Hamilton花了十年時(shí)間給出了 H的乘法.關(guān)于擴(kuò)大數(shù)系的探 索鉆研開(kāi)辟了代數(shù)鉆研中的一個(gè)方向一有限維代數(shù)（有興趣的讀者可以查閱相關(guān)資料）.利用滿(mǎn)足滿(mǎn)足左、右消去律的有限半群是群可知 定理3.1.4一個(gè)至少含有兩個(gè)元素的無(wú)零因子的有限環(huán)是除環(huán).推論3.1.5有限整環(huán)是除環(huán).模p的剩余類(lèi)環(huán)0 p為了域p為了素?cái)?shù).證（）：易知p 0,1 .假設(shè)p為了合數(shù),那么 p ab,a,b 1 .丁是a 0,b 0,但ab p 0,即0p中有零因子,此與Cp為了域矛盾,故p為了素?cái)?shù).p |a或p |b,即有a 0或即 0 p為了域.(E)<含幺環(huán))交換環(huán) I無(wú)零因子環(huán)除環(huán)域():設(shè)p為了素?cái)?shù).假設(shè)a b 0 ,那么p |ab ,從而b 0,故0p為了一個(gè)無(wú)零因子環(huán),于是 0p是一個(gè)有限整環(huán),附注1環(huán)的定義示圖(凡+0)是Abel加群左右安排芾_(&,)是乘法半群*n幺半群r 一廠(chǎng) 1 Abel 辱0 (R) I 半群> 半群 >"群 >k Abel群附注2本節(jié)中介紹的幾種最常見(jiàn)的環(huán)之間有如下的關(guān)系圖：其中,例