(完整版)斷裂力學(xué)復(fù)習(xí)題(實(shí)際)解答(課件)

1、斷裂力學(xué)復(fù)習(xí)題1. 裂紋按幾何特征可分為三類 ，分別是（穿透裂 紋）、（表面裂紋）和（深埋裂紋）。按力學(xué)特征也可 分為三類，分別是（張開型）、（滑開型）和（撕開型）。2. 應(yīng)力強(qiáng)度因子是與（外載性質(zhì)）、（裂紋）及 （裂紋彈性體幾何形狀）等因素有關(guān)的一個量。材料的斷裂韌度則是（應(yīng)力強(qiáng)度因子）的臨界值，是通過（實(shí)驗(yàn)）測定的材料常數(shù)。3確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法有：（解析法），（數(shù) 值法），（實(shí)測法）。4.受二向均勻拉應(yīng)力作用的“無限大”平板， 具有長度為2a的中心貫穿裂紋，求應(yīng)力強(qiáng)度因子 的 表達(dá)式。ix a的裂紋自由面上，a時，隨x a， y【解】將x坐標(biāo)系取在裂紋面上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在 裂紋中心，則上

2、圖所示問題的邊界條件為： 當(dāng)y = 0，x 在y = 0，0, xy 0 ；而在 X可以驗(yàn)證，完全滿足該問題的全部邊界條件的解 析函數(shù)為乙（Z）、z2 a2(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)從裂紋中心移到裂紋右尖端處，則有z = Z +a 或 Z = z a,代入（1）,可得：乙（）于是有：( a):2a)心吧2(a)(2a)2a)215 對圖示“無限大”平板H型裂紋問題，求應(yīng) 力強(qiáng)度因子Ku的表達(dá)式。【解】將x坐標(biāo)系取在裂紋面上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在 裂紋中心，則上圖所示問題的邊界條件為： 當(dāng) y = 0，X f 8時，x y 0, xy ； 在y = 0， x a的裂紋自由面上，y 0, xy 0 ；而在x a時，

3、隨x a， xy 。可以驗(yàn)證，完全滿足該問題的全部邊界條件的解 析函數(shù)為Zna2(1)將坐標(biāo)原點(diǎn)從裂紋中心移到裂紋右尖端處，則有z = Z +a 或 Z = z a，代入（1），可得:Zn ()a)2a)于是有: 八-0 2 二 a6 對圖示“無限大”平板山型裂紋問題，求應(yīng) 力強(qiáng)度因子K川的表達(dá)式?！窘狻繉坐標(biāo)系取在裂紋面上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在裂紋中心，貝y上圖所示問題的邊界條件為: 當(dāng)y = 0，x f 在y = 0 ,0, xy 0 ；而在 x時 x y 0, yz l x a的裂紋自由面上， a 時，隨 x a, yz 。可以驗(yàn)證，完全滿足該問題的全部邊界條件的解析函數(shù)為l z(1)將坐標(biāo)原

4、點(diǎn)從裂紋中心移到裂紋右尖端處，則有z = Z +a 或 Z = z a,代入（1）,可得:于是有：i( a)(2a)lim 20i( a)(2a)lim 20i( a)(2a)7“無限大”平板中，在長度為 2a的中心貫穿 裂紋表面上，距裂紋中點(diǎn)為x= b處各作用一對集中 力P,求應(yīng)力強(qiáng)度因子Ki的表達(dá)式。【解】對圖示裂紋問題，取解析函數(shù)的表達(dá)式為：2p公 a2 b2乙(z)22(1)(z b )、z a可以驗(yàn)證，該解析函數(shù)滿足這個裂紋問題的下述 邊界條件： 在 ZT8處，x 0，y 0, xy 0； 在x| a,除x| b外的裂紋面上，y 0, xy 0 ； 如果切出xy坐標(biāo)系第一象限的薄平板

5、，在x軸所在的截面上，內(nèi)力的總和應(yīng)該等于劈開力p,即t ydx = P (其中，t是薄平板的厚度)。a將坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋右尖端后，新坐標(biāo)為 z a，代入(1)式得：Z ( )2p( a) a2 b2zi ()(a) b J (2a)于是有：Ki吧、2 （篤訂二a）lim 2 2 P(2 叮22p2 a2I I 0 (a)2 b2、2a 、 (a2 b2)8.在“無限大”平板的裂紋表面上，從 x a到x a和從x aUx a的這兩部分裂紋面 上，受均勻分布的張力 P作用，試求裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng) 度因子心的表達(dá)式（不講）【解】取微分段dx，其上作用的張力為dp=pdx, 利用距裂紋中點(diǎn)為x= 士 b處

6、各作用一對集中力 p時應(yīng)dK|2 pdx a(a2 x2)于是有：令 x a sinK|a 2 pdx a已(a2 x2),貝y a2 x2 a cos , dx(1)a cos d，代入力強(qiáng)度因子的結(jié)果可得，這個微分段上的張力在裂紋 尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為(1)式可得Kiasin2N.sin(a)acos dai()aa cos2p.sin 1 色aa2p cos9在“無限大”平板的裂紋表面上，從x a到x a 的這兩部分裂紋面上，受均勻分布的張力 p作用，試 求裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子 Ki的表達(dá)式。【解】取微分段dx，其上作用的張力為dp=pdx, 利用利用距裂紋中點(diǎn)為 x= b處各作用一對

7、集中力 p 時應(yīng)力強(qiáng)度因子的結(jié)果可得，這個微分段上的張力在裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為于是有：令 x asindK|K|2 pdx a/ , 22?(a x )a 2 pdx ao , (a2 x2)x2 a cos ,dx a cos d(1)，代入(1)式可得Ki 2sin asin(a)a acos dA acos(一)a10 試用迭加原理求如圖所示裂紋問題的裂尖應(yīng) 力強(qiáng)度因子Ki的表達(dá)式。.inmtrWTCT r*-r-jmndrcr(a)(b)a4 diinniT 11 T(7【解】該受力圖可以看成是圖（a）和圖（b）兩 種受力情況的線性迭加。而圖（b）構(gòu)件的受力與裂紋表面平行，因此它

8、所對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子Ki =0，因此，原圖構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子與圖（a）的應(yīng)力強(qiáng)度因子相等。前面已經(jīng)求得圖（a）的應(yīng)力強(qiáng)度因子為 a，因此，原圖構(gòu)件的應(yīng)力強(qiáng)度因子為Kia11.中心具有穿透裂紋的厚板條（平面應(yīng)變情 況）,遠(yuǎn)端承受均勻拉伸作用，板的寬度為200mm ,裂紋長度為80mm，板的材料為鋁合金，其K|C=38MN / m3/2，計(jì)算此板條的臨界載荷?！窘狻窟@是一個中心具有貫穿裂紋的有限寬板條拉伸問題，其應(yīng)力強(qiáng)度因子為K | 蔦式中的a為幾何形狀因子，經(jīng)查表得WatgV a W式中的a為裂紋半長度，W為板寬裂紋處于臨界狀態(tài)時所作用的應(yīng)力就是構(gòu)件的C，將C代入K|的表達(dá)式，并K| K|caW

9、K|c臨界載荷，設(shè)其為 令得于是有K|c38CW aa tg 飛 aW0.2tg0.040.22997(MNm 2)這就是說，在所給條件下，當(dāng)板的拉伸應(yīng)力達(dá)到 99.7MNm 2時，裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展。12.某種合金鋼在不同回火溫度下，測得性能如 下：275?；鼗饡r，S 1780MN/m2,K|C 52MN /m3/2；600 回火時， S 1500MN/m 2,Kq 100MN /m3/2。設(shè)應(yīng)力強(qiáng)度因子為 K| 1.1a，且工作應(yīng)力為0.5 s。試求兩種溫度下構(gòu)件的容限裂紋尺寸a,并確定選用哪種材料較好?！窘狻慨?dāng)K| Kic時，對應(yīng)的裂紋尺寸 a就是容 限裂紋尺寸，記為aC。此時有11a K

10、IC，于是得：1 KicaC 11當(dāng) 275 回火時，15220.0009m0.9mm，aC11 0.5 1780當(dāng) 600 回火時，210010.00466m4.66mm。aC1.1 0.5 1500從強(qiáng)度指標(biāo)看這種合金鋼275回火溫度略優(yōu)于600回火溫度，但從斷裂韌性指標(biāo)來看，600?；鼗饻囟缺?75?；鼗饻囟群玫枚唷Ｊ聦?shí)上， 構(gòu)件中 0.9mm的裂紋是難以避免的，因此從全面考慮，應(yīng)選 600的回火溫度。13 要設(shè)計(jì)一個高強(qiáng)度材料的壓力容器，設(shè)計(jì)許 用應(yīng)力o=1400MN/ m2，采用的無損探傷設(shè)備只能發(fā) 現(xiàn)大于1mm深度的裂紋。因此可以假定容器內(nèi)壁焊縫熱影響區(qū)沿母線方向(這是最不利的位置

11、和最不利 方向)存在深度a = 1mm ,長度c=2a的表面淺裂紋。 現(xiàn)有A、B兩種材料，其屈服極限S分別為 2100MN/ m2和1700MN/ m2 ;其焊縫熱影響區(qū)的平面 應(yīng)變斷裂韌度 KIC分別為46.5 MN / m3/2和77.4 MN / m3/2。全面考慮，應(yīng)選擇哪一種材料？【解】從靜強(qiáng)度分析:材料A的強(qiáng)度儲備為材料B的強(qiáng)度儲備為 兩種材料均滿足強(qiáng)度要求， 材料。nA(S)A21001.51400nB(S)B17001.221400但A材料強(qiáng)度儲備高于B從斷裂力學(xué)的觀點(diǎn)分析：所給的問題可以理想化為半“無限大”體具有表面半橢圓形裂紋受均勻拉伸 應(yīng)力作用的情況，其應(yīng)力強(qiáng)度因子可寫為

12、KI、蔦式中的a為幾何形狀因子，查表可得1.12丄，考E(k)慮到裂尖處由于高度的應(yīng)力集中引起的小塑性區(qū)，a可修正為112 Q式中Q2E(k)20.2122,k 12，E(k)為第二類完整橢圓積分?？刹楸淼玫?。取許用應(yīng)力a作為容器的工作應(yīng)力，也就是取= d=1400MN/ m2，則1_ 2 2 _QAE(k)2 0.2121.32(s)a12 2QbE(k)1.2630.212 -(S)B1400.00011.321.2 0 a (Ki)a1.12(Ki)b1.12 a1.12 1400 0.0011.26376.7MN /m2 (Kic)b75MN /m2 (Kq)a由此可見，本問題中選擇B

13、材料比選擇A材料優(yōu) 越，它既滿足強(qiáng)度要求，又有合適的抗斷裂能力。如 果此時僅按傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思想而不從斷裂力學(xué)的觀點(diǎn)分 析，選用A種材料，必然會導(dǎo)致容器低應(yīng)力脆斷。14 .簡述用有限單元法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方 法。(1)位移法為:有限元位移法計(jì)算裂尖 K因子無限大平板上的I型裂紋的裂尖處的位移分量u Kl . r COS-1 2sin2-2G 222v Kl r sin-1 2cos2-2G ； 2220時，應(yīng)有：其中， (33Ki r u2G : 2)/(1 )4(1)平面應(yīng)力 平面應(yīng)變(1)G是材料的剪切彈性模量。用有限元法可以得出裂紋尖端區(qū)域 0線上r 不同的一些結(jié)點(diǎn)的位移值 U，將各點(diǎn)的r和

14、U值分別 代入(1)式，就可得到這些結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的不同的應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，稱為各結(jié)點(diǎn)的表觀應(yīng)力強(qiáng)度因子。即:Ki2Gu 2=r將各點(diǎn)的K|作為縱坐標(biāo)，將各點(diǎn)的r作為橫坐標(biāo)， 把這些點(diǎn)畫在直角坐標(biāo)系中，然后用最小二乘法擬 合，繪出最佳直線，然后將這條直線外推到r=0處，與縱坐標(biāo)軸相交所得的截距 M ,就是裂紋尖端的K值。(b)應(yīng)力法y軸的應(yīng)“無限大”平板的I型裂紋裂尖處沿 力為K彳 3v cos 1 sin siny 72 r 222(1)0線上r在 0線上各點(diǎn)沿v軸的應(yīng)力為v用有限元法可以得出裂紋尖端區(qū)域不同的一些結(jié)點(diǎn)的y，將各點(diǎn)的r和y值分別代入(1)式，得到這些結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的表觀應(yīng)力強(qiáng)度因子為：K

15、|yVTT與位移法類似，將有限元法算得的0線上各點(diǎn)的K|作為縱坐標(biāo)，將各點(diǎn)的r作為橫坐標(biāo)，把這些點(diǎn) 畫在直角坐標(biāo)系中，然后用最小二乘法擬合，繪出最 佳直線，然后將這條直線外推到r=0處，與縱坐標(biāo)軸相交所得的截距 M，就是裂尖的K值。15.簡述用光彈性法測應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法 對于I型裂紋，在裂尖附近處的應(yīng)力分量為xyKi彳COS 12 r 2Ki彳= cos 12 r 2Ki.3 sin sin 2 2.3 sin sin2 23 cossin cos2 r 222由材力中的應(yīng)力圓知識可得（-）2（ xy）221 2max-2而由平面應(yīng)力光學(xué)定律可得：nf1 2 h其中 n光彈性模型上被測點(diǎn)處的

16、等差線條紋級數(shù); f光彈性材料的材料條紋值（ h光彈性試件的厚度（m）。以上各式聯(lián)立得：maxN/m.條);Ki、2 r sinnfh(1)Ki r曲線型裂紋等差線條紋圖通過平面光彈性實(shí)驗(yàn)可以得到等差線條紋圖，由該圖可測得任意一個點(diǎn)，例如 i點(diǎn)對應(yīng)的極坐標(biāo)ri和j 及其條紋級次口，而f和h均可由實(shí)驗(yàn)測得，將nj、j和j 代入（ 1）式，可得該點(diǎn)對應(yīng)的表觀應(yīng)力強(qiáng)度因子 Ki， 沿某一固定角度 9測出一系列點(diǎn)的r和ni，分別代入（1）式，就可以得到一系列 Ki，將這一系列實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)畫在 Kir 座標(biāo)系中， 然后用回歸法擬合出最佳 Ki r曲線，再外推至r = 0處，就可得到Ki。即lim KI K

17、Ir016線彈性斷裂力學(xué)的斷裂判據(jù)與材料力學(xué)的強(qiáng) 度條件有何異同 ?答：線彈性斷裂力學(xué)的斷裂判據(jù)為：Ki KiC （i = I、U、皿）其中， Ki 叫 i 型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。它們反映 了 i 型裂紋尖端應(yīng)力場的強(qiáng)弱程度。是 與外載性質(zhì)、 裂紋及裂紋彈性體幾何形狀 等因素有關(guān)的一個量。而 KiC 是 Ki 的臨界值，稱為材料的斷裂韌度，是 材料常數(shù) ， 通過實(shí)驗(yàn)測定 。材料力學(xué)的強(qiáng)度條件為：s其中，c叫工作應(yīng)力。它反映了構(gòu)件某點(diǎn)應(yīng)力場 的強(qiáng)弱程度。是 與外載大小、方向、作用點(diǎn)及構(gòu)件幾 何形狀 等因素有關(guān)的一個量。而s是6的臨界值，稱為材料的屈服極限，是 料常數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)測定 。兩者的相同之

18、處是：(1) 形式類似 。都是以某量達(dá)到臨界值的形式 表述的；且該量都與外載性質(zhì)及彈性體幾何形狀有 關(guān)。而臨界值都是材料常數(shù)。(2) 臨界值KiC和s都通過實(shí)驗(yàn)測定。 兩者的差別是： 材料力學(xué)的強(qiáng)度條件是在材料為無缺陷的均勻 連續(xù)體的前提下得到的， 它沒有考慮構(gòu)件中存在的各 種缺陷，因此，按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)的構(gòu)件在許多情況下 并不安全。而 線彈性斷裂力學(xué)的斷裂判據(jù)則考慮了構(gòu)件中 的缺陷造成的應(yīng)力集中，是從裂紋的平衡、擴(kuò)展和失 穩(wěn)規(guī)律出發(fā)得到的， 因此，按斷裂判據(jù)設(shè)計(jì)的構(gòu)件更 符合實(shí)際情況。17. Ki和Kic有何不同？答：Ki叫I型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。它們反映了 I型裂紋尖端應(yīng)力場的強(qiáng)弱程度。是與

19、外載性質(zhì)、裂 紋及裂紋彈性體幾何形狀等因素有關(guān)的一個量。而K I c是Ki的臨界值，稱為材料的斷裂韌度， 是材料常數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)測定。相應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子斷裂判據(jù)為：KI KIc其物理意義是：當(dāng)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子V材料的斷裂韌度時，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，裂紋不擴(kuò)展；當(dāng)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子材料的斷裂韌度時，裂 紋失穩(wěn)擴(kuò)展，直至斷裂；當(dāng)裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子=材料的斷裂韌度時，裂 紋處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。18 高強(qiáng)度鋁合金厚板，中心具有長度為80mm的穿透裂紋，板的寬度為200mm，在垂直于裂紋方向 受到均勻拉伸作用。當(dāng)裂紋發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展時，施加的 拉伸應(yīng)力f=100MN /m2，試計(jì)算：(1) 材料的斷裂韌性值？

20、(2) 當(dāng)板為“無限大”時，斷裂失效應(yīng)力為多 少？(3) 當(dāng)板的寬度為120mm時，斷裂失效應(yīng)力又 為多少？【解】(1 )這是一個中心具有貫穿裂紋的有限寬 板條拉伸問題，其應(yīng)力強(qiáng)度因子為k I、ca式中的a為幾何形狀因子，經(jīng)查表得W atgN a W式中的a為裂紋半長度，W為板寬。 令 f，代入Ki的表達(dá)式，得Kica、Wtg a a W10002tg40 a 200381mn / m3/2。(2)當(dāng)板為“無限大”時，斷裂失效應(yīng)力為KicF38.12120mm時，斷裂失效應(yīng)力為:38.12836(MN/m 2)I40012 tg I 1201075(MN/m 2) .314 0.04(3) 當(dāng)

21、板的寬度為Kica,Wtg aV a W19 .高硅的鎳鉻鉬鋼，回火溫度與材料的屈服極 限s和斷裂韌度KIC的關(guān)系如下表。設(shè)構(gòu)件存在表面 半橢圓裂紋，深度 a=2mm，裂紋的深長比旦=0.25，2c構(gòu)件在垂直于裂紋平面的遠(yuǎn)方受拉應(yīng)力 =1100MN/m 2作用，取安全系數(shù)n=1.2，試選擇回火 溫度?！窘狻繌撵o強(qiáng)度分析:回火溫度C275500600屈服極限 sMN/m 2178013901500斷裂韌度KICMN /m3/2506496回火溫度為275C時的強(qiáng)度儲備為:(S)275Cn275C1780 1.6 ,1100回火溫度為500C時的強(qiáng)度儲備為:(s)500C1390n500C1.26

22、， 1100回火溫度為600C時的強(qiáng)度儲備為:(s)600C 1500n600C -1.36 1100三種回火溫度均滿足強(qiáng)度要求，但 275 C時的強(qiáng) 度儲備高于其它兩種溫度。從斷裂力學(xué)的觀點(diǎn)分析：所給的問題可以理想化 為半“無限大”體具有表面半橢圓形裂紋受均勻拉伸 應(yīng)力作用的情況，其應(yīng)力強(qiáng)度因子可寫為K| 口式中的a為幾何形狀因子，查表可得1.12丄,考E(k)慮到裂尖處由于高度的應(yīng)力集中引起的小塑性區(qū)， 可修正為式中 Q E(k)20.212()2, kS二類完整橢圓積分?？刹楸淼玫?。2，則1.21111(a)22 , E(k)為第 c.Q275，C取 d= M=1100MN/ m12E(

23、k)Q500CE(k)E(k)0.212( )2(S)275C0.212()2(S)500C0.212()2(S)600C1.21111.21111100 20.212()217801100 20.212()213900.212(-)2 1500、1.386 ；1.334 ；、1.353 ；1.12 十1.12. a1.121100 0.002:Q275C1.3861.12. a1.121100、0.002Q500C、1.3341.12 、a1.121100 0.002: Q6ooc1.353(Ki)275C(K|)5O0C(K|)6O0C3383.0MN /m2(Kic)275C 50MN

24、/m2,3384.6MN /m2(KIC)5OOC 64MN /mJ3384.0MN /m2 n2和n3分別是x軸、y軸和z軸與z軸夾角 的余弦。I1cos（9035 ） cos55 , l2 cos（18035 ）cos35 , l30,葉cos35 , m2 cos（9035 ） cos55 ,m30,0, n2 0, n31,代入上式后得：2 2xcos 35 , ycos 55，x ycos35cos55 ,xzl cos35 , yzl cos55Ki只與y有關(guān)，心只與xy有關(guān)，K川只與yz有關(guān)，所以有:v、fa 640 cos2 553.14 175 10 3 34.9MN/m32

25、 ；y；2一/i7533a 640 cos35 cos55 3.14 10 349.9MN/m 2 ; 2 17.5332KiKn xy K皿 yz . a 360 cos55 3.14 10 334.3MN/m 226 “無限大”平板內(nèi)的貫穿裂紋表面上，作用 著一對力P,其方向如圖，試求其應(yīng)力強(qiáng)度因子 Ki的 表達(dá)式?！窘狻繉D示裂紋問題，取解析函數(shù)的表達(dá)式為:ZnP a2 b2(z b) 一 z2a2(1)可以驗(yàn)證，該解析函數(shù)滿足這個裂紋問題的下述邊界條件: 在 ZIX 處，x 0, y 0, xy 0 ； 在|x a,除x b外的裂紋面上,y 0, xy 0 ； 如果切出x軸上面的薄平板

26、，在 x軸所在的a截面上，內(nèi)力的總和應(yīng)該滿足t xydX t xydX=P （其a中，t是薄平板的厚度）。將坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋右尖端后，新坐標(biāo)為z a,于是有：代入（1）式得:ZnpJa2 b2(a b).(2a)P a2 b22 2P a2 b2Zn(2)ZnP a2 b2a b)(2a)Kn lim 20（ a b） （2a）將x軸翻轉(zhuǎn)180則力P作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一b, 于是應(yīng)力函數(shù)為z b） z2 a2將坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋左尖端，新坐標(biāo)為 代入（1）式得:于是有:Knlim0 2Pa2 b2 a b)(2a)27根受扭矩Mn作用的圓管，平均半徑為 R,壁厚為t，在圓管上有長為20的斜裂紋，且與管軸線（縱向線）的夾角為B ,試確定其裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子-cos2()2 2xyxxyy 2Xyxy-cos2()2sin 2()2xyKixy a直角坐標(biāo)系xoy ,則MnWnxy sin 2(2xySin2(Mn2 R2t、Mn)TSI n2 ,2 R2t)si n2 ,2 R2tcos2 o2 R2t a sin2 ,2 RtMn可 a cos 22 R2t川、Mcos