線性回歸方程分析報告

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號： _組長簽字： _簽字日期:_學(xué)員編號：年級：高二課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué)學(xué)科教師：閆建斌課題線性回歸方程授課日期及時段2014-2-1118:00-20:00教學(xué)目標(biāo)線性回歸方程基礎(chǔ)重點、難點教學(xué)內(nèi)容1、本周錯題講解2、知識點梳理1 .線性回歸方程1變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系2制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系3線性回歸方程：y bx a （最小二乘法）最小二乘法：求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方最小的方法實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔nXiynx yi 1bn2Xii 12nx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點（x, y）2

2、 相關(guān)系數(shù)注：r0bx（判定兩個變量線性相關(guān)性）n(Xix)(y,y)i 1nn_ 2 _ 2(Xix)(Yiy)i 1i 1時，變量x, y正相關(guān)；r0 時，變量x, y負(fù)相關(guān);|r |越接近于 1，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);| r |接近于 0 時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。3 線形回歸模型:隨機(jī)誤差 e :我們把線性回歸模型y bx a e,其中a,b為模型的未知參數(shù)，e 稱為隨機(jī)誤:隨機(jī)誤差eiyibXia殘差?:我們用回歸方程ybx a?中的？估計bx a，隨機(jī)誤差ey (bx a)，所以e y?是 e 的估計量,故& yi?iyiibxia,e?稱為相應(yīng)于點（Xi

3、,yj的殘差。回歸效果判定相關(guān)指數(shù)（解釋變量對于預(yù)報變量的貢獻(xiàn)率）R2 * 4n(% yj21in1(yiyi)2i 1實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔對于2 2列聯(lián)表：K2的觀測值k(a b)(n(ad)(aC)c)(b d)。臨界值ko表:P (k2ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果k ko，就推斷“X,Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X,Y有關(guān)系”。(5)反證法與獨立性檢驗原理的比

4、較:反證法原理在假設(shè)H。下，如果推出矛盾，就證明了H。不成立。獨立性檢在假設(shè)H。下，如果出現(xiàn)一個與H。相矛盾的小概率事件，就推斷H。不成立，且該推斷驗原理犯錯誤的概率不超過這個小概率。典型例題1. (2011 山東某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:廣告費用X/萬元4235銷售額y/萬兀49263954根據(jù)上表可得回歸方程 y =bx+a中的b為 9.4 ,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為 6 萬元時銷售額為( ).A. 63.6力兀B. 65.5 萬元C. 67.7力兀D. 72.0 力兀4 + 2 + 3 + 5749 + 26 + 39 + 54解析X=y= 42 ,42，y4實用標(biāo)準(zhǔn)文

5、案精彩文檔A AA_7A A又y=bx+a必過（x,y）, 42 = 3 X9.4+a,：a= 9.1.線性回歸方程為 = 9.4x+ 9.1.當(dāng)x= 6 時，y= 9.4 X6 + 9.1 = 65.5（萬元）.答案 B2 . (2011 江西為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5 對父子的身高數(shù)據(jù)如下:父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對x的線性回歸方程為().A.y=x 1A1C.y= 88 +x2175 + 175 + 176 + 177 + 177=1765又y對x的線性回歸方程表示的直線恒過點(_ , _),所以將

6、(176,176)代入 A、B、C、D 中檢驗知選 C.答案 C3.(2011 陜西設(shè)(X1,y1), (X2,y2)，(xn,yn)是變量x和y的n由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下( ).A .x和y的相關(guān)系數(shù)為直線I的斜率B.x和y的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間C.當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在I兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同B.y=x+ 1D】=176174 + 176 + 176 + 176 + 178解析因為_=176 ,個樣本點，直線結(jié)論中正確實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔D .直線I過點(x,y)解析 因為相關(guān)系數(shù)是表示兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個值，它的絕對值越接近 1

7、，兩個變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以A、B 錯誤.C 中n為偶數(shù)時，分布在I兩側(cè)的樣本點的個數(shù)可以不相同，所以C 錯誤根據(jù)回歸直線方程一定經(jīng)過樣本中心點可知D 正確，所以選 D.答案 D4.(2011 廣東為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1 號到 5 號每天打籃球時間x(單位：小時)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這 5 天的平均投籃命中率為 _ _ _ 預(yù)測小李該月 6 號打 6 小時籃球的投籃命中率為_解析小李這 5 天的平均投籃命中率0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.6 + 0.4y=

8、0.5 ,5可求得小李這 5 天的平均打籃球時間x= 3.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得b= 0.01 ,；=0.47，故回歸直線方程為 勺=0.47 + 0.01X,將x= 6 代入得 6 號打 6 小時籃球的投籃命中率約為 0.53.答案 0.50.535.(2011 遼寧調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程： = 0.254x+ 0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1 萬元，年飲食支出平均增加 _ 元.解析 由題意知0.254(x+ 1) + 0.321 (0.254

9、x+ 0.321) = 0.254.答案 0.254實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔6.(2011 安徽謀地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程y=bx+a；(2) 利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2012 年的糧食需求量.解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求回歸直線方程.為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理 如下：年份200642024需求量257211101929對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得x= 0 , 丁 = 3.2.人人4X 21+-2

10、X 11+2X19+4X295X0X3.2b=42+ 22+ 22+ 42 5 X02260A6.5 ,a=yb x= 3.40由上述計算結(jié)果，知所求回歸直線方程為 257 =b(x 2 006) +a= 6.5(x 2 006) + 3.2 ,即 = 6.5(x 2 006) + 260.2.(2)利用直線方程，可預(yù)測 2012 年的糧食需求量為6 . 5X(2012 2006) + 260.2 = 6.5X6 + 260.2 = 299.2(萬噸).課堂練習(xí)1.實驗測得四組(x, y)的值為(1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,5)，則 y 與 x 之間的回歸直線方程為()

11、AAAAA.y = x + 1B.y = x + 2C.y = 2x + 1 D.y = x 12 .在比較兩個模型的擬合效果時，甲、乙兩個模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為 0.96 和 0.85，則擬合效果好的模型是()A .甲 B.乙 C.甲、乙相同 D .不確定實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3某化工廠為預(yù)測產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x 之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取 88 8 8 8對觀測值，計算，得刀尸1xi= 52“u2281x2二 478，=1xiyi= 1849，則其線性回歸方程為（）AAA.y = 11.47 + 2.62 x B.y = 11.47 + 2.62xAAC.y =

12、2.62 + 11.47 x D.y = 11.47 2.62x4 下表是某廠 14 月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份 x1234用水量 y4.5432.5由散點圖可知，用水量 y 與月份 x 之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是y 二一0.7x + a，貝 U a 等于_5.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù) 如下：零件的個數(shù) x（個）2345加工的時間 y（小時）2.5344.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y = bx + a,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;

13、（3）試預(yù)測加工 10 個零件需要多少小時？課后練習(xí)一、選擇題1 .實驗測得四組（x , y）的值為（1,2） , （2,3） , （3,4） , （4,5）,則 y 與 x 之間的回歸直線方程為（）AAA. y = x + 1B.y = x+ 2AAC.y = 2x + 1 D.y = x 1答案 A解析畫出散點圖,四點都在直線 y = x + 1.2 下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)的說法不正確的是（）A 相關(guān)系數(shù)用來衡量變量 x 與 y 之間的線性相關(guān)程度B.|r|1 ,且|r|越接近于 1,相關(guān)程度越大C.|r|1,且|r|越接近 1,相關(guān)程度越小答案 D實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔A3 .由一組樣本（X

14、1, y1）,（X2, y2）,，（xn, yn）得到的回歸直線方程 y = a + bx，下面有四種關(guān)實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔至少經(jīng)過點(xi, yi), (X2, y2),，(Xn, yn)中的一個點;n耳=iXiyi n x y的斜率是- 二一;片=1x2 n x2直線 y = a + bx 和各點(xi, yi),(X2, y2),，(xn, yn)的偏差乙=1(yi a bxi)2是該坐標(biāo)平面上所有的直線與這些點的偏差中最小的直線. 其中正確的論述有（）A. 0 個 B. i 個C. 2 個 D . 3 個答案 D解析線性回歸直線不一定過點（xi, yi）, （X2,y2）,，（Xn,y

15、n） 中的任何一點；b =n耳=iXiyi n x y回歸直線是平面上所有直線中偏差刀n匸i（yi a bxi）2取得最小的那一條.故有三種論述是正確的, 選D.4 .設(shè)兩個變量 x 和 y 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是 r , y 關(guān)于 x 的回歸直線的斜率是 b ,縱截距是 a,那么必有（）A. b 與 r 的符號相同B. a 與 r 的符號相同C. b 與 r 的符號相反D . a 與 r 的符號相反答案 A5 .在比較兩個模型的擬合效果時,甲、乙兩個模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為 0.96 和 0.85,則擬合效果好的模型是（）A .甲 B.乙C.甲、乙相同 D .不確定答案

16、 A于回歸直線方程的論述:A（1） 直線 y = a + bxA直線 y = a + bxA直線 y = a + bx 必過（x , y ）點;n片=ix2 n x就是線性回歸直線的斜率，也就是回歸系數(shù)；線性回歸直線過點(x , y );線性實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔6.某化工廠為預(yù)測產(chǎn)品的回收率 y ,需要研究它和原料有效成分含量 x 之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8 8 8 88 對觀測值,計算，得刀i=iXi= 52, Z；=iyi= 228 ,羞ixi2= 478 ,羞iXiyi= 1849 ,則其線性回歸方 程為（）AAA.y = 11.47 + 2.62 x B.y = 11.47 + 2.62x

17、AAC.y = 2.62 + 11.47 x D.y = 11.47 2.62x答案 AA解析 利用回歸系數(shù)公式計算可得 a= 11.47 , b = 2.62，故 y = 11.47 + 2.62x.二、填空題7 下表是某廠 14 月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份 x1234用水量 y4.5432.5由散點圖可知，用水量 y 與月份 x 之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是y 二一0.7x + a，貝Ua 等于_解析 x = 2.5，y = 3.5回歸直線方程過定點（x， y）,：3.5 = 0.7X2.5 + a.a = 5.25.8 .某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量

18、y（件）與月平均氣溫 x（C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某 4 個月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫 x（C）171382月銷售量 y（件）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程 y 二 bx + a 中的 b -2，氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為 6C,據(jù)此估計，該商場下個月毛衣的銷售量約為 _ .nXiyi n x yi=1（參考公式：b =，a = y b x ）nx2 n x2答案 46解析 由所提供數(shù)據(jù)可計算得出 x = 10， y = 38，又 b-2 代入公式 a = y b x 可得 a實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔=58，即線性回歸方程 y = 2x + 58，將

19、x = 6 代入可得.9 .對 196 個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和 196 個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了 3 年的跟蹤研 究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計算 K2二_ .比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別. _ .392X39X16729X1572答案-1.7868X324X196X196不能作出這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論解析 提出假設(shè) Ho:兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別.392X39X16729X157

20、2根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得 K2二- -1.78.68X324X196X196當(dāng) Ho成立時 K2-1.78，而 K2V2.072 的概率為 0.85.所以，不能否定假設(shè) Ho.也就是不能作出 這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論.三、解答題10 .某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他 們分別記錄了 2010 年 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下表：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日溫差 x(C)101113128發(fā)芽數(shù) y

21、(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.(1) 求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的 2 天數(shù)據(jù)的概率；(2) 若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求 出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y = bx + a;(3) 若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2 顆，則認(rèn)為得到的實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠？解析(1)設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)

22、為事件 A，因為從 5 組數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù)據(jù)共有 10 種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中數(shù)據(jù)為 12 月份的日期數(shù). 每種情況都是可能出現(xiàn)的，事件 A 包括的基本事件有 6 種：633所以 P(A) = = 所以選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率是.10 55由數(shù)據(jù)，求得 x = 12 , y = 27.5由公式，求得 b = , a= y b x =一 3.A5所以 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y=-x 3.2A5(3)當(dāng) x=10,y=2103=22,|2223|V2;A

23、5同樣，當(dāng) x= 8 時，y = 28 3 = 17 , |17 16|V2;所以，該研究所得到的回歸方程是可靠的.11.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的 數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù) x(個)2345加工的時間 y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y = bx + a，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線; (3)試預(yù)測加工 10 個零件實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔需要多少小時？n若“xiyi n x y (注：b =n= ，a = y b x )+=1x2 n x2解析（1）散點圖如圖.由表中數(shù)據(jù)得：刀

24、匸1xiyi= 52.5 ,4x = 3.5 , y = 3.5，斗=1x2= 54 ,.b = 0.7 ,-a= 1.05 ,y = 0.7x + 1.05.回歸直線如圖所示.A實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔（3）將 x = 10 代入回歸直線方程，得 y = 0.7X10 + 1.05 = 8.05（小時）.預(yù)測加工 10 個零件需要 8.05 小時.12 . （2010 遼寧卷為了比較注射 A, B 兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200 只家兔做試驗，將這 200 只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組 100 只，其中一組注射藥物 A，另一組注射藥物 B.下表 1 和表 2 分別是注射藥物 A 和 B 后的試驗結(jié)果.（皰疹面積單位：mm2）實用標(biāo)