5-4-4完全平方數(shù)及應用.教師版

1、教學目標1. 學習完全平方數(shù)的性質(zhì)；2. 整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數(shù)的綜合運用。知識點撥一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1. 主要性質(zhì)1. 完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0, 1，4，5，6，9。不可能是2，3，7, 8。2. 在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3. 完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4. 若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a2，則p能被a整除。2. 性質(zhì)性質(zhì)1 :完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9 .性質(zhì)2 :完全平方數(shù)被3 , 4 , 5 , 8 , 16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù).性質(zhì)3 :自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)

2、N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù).因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且 p2n1 |N，則2nP |N .性質(zhì)4 :完全平方數(shù)的個位是 6 它的十位是奇數(shù).性質(zhì)5 :如果一個完全平方數(shù)的個位是0,則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位- -定是 2，且其百位- 定是0 , 2 , 6中的一個.性質(zhì)6 :如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù).3. 一些重要的推論1. 任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被 4 （或8 ）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.

3、 一個完全平方數(shù)被 3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3. 自然數(shù)的平方末兩位只有：00 , 01 , 21 , 41 , 61 , 81 , 04 , 24 , 44 , 64 , 84 , 25 , 09 , 29 ,49 , 69 , 89 , 16 , 36 , 56 , 76 , 96。4. 完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1 , 5 , 9 ）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5. 完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0, 4 ）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6. 完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。實用標準文檔7. 凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是 25的自然數(shù)不是完全平

4、方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點公式回顧：2 2平方差公式：a b (a b)(a b)貝刑匸例題精講模塊一、完全平方數(shù)計算及判斷【例1】 已知：X49是一個完全平方數(shù)，求它是誰的平方？【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】2星【題型】解答【解析】我們不易直接求解，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律， 于是我們采用遞推（找規(guī)律）的方法來求解：121 = 112 ；12321 = 111 ； 1234321 = 1111 ，于是，我們歸納為1234 n 432仁（1|12L31），所以，n個 1: 11111112 ;則，X

5、49=11111112 X72=77777772 .所以，題中原式乘積為 7777777 的平方.【答案】7777777【例 2 】(123 4 5676 5 4 321）是的平方【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】21111111 , 1 2345 6 765243 2 17,原式(11111117)277777772.【答案】7777777【例3】 已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個完全平方數(shù)，則n的最小值是?！究键c】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯，6年級，第9題【解析】（法1）先將12 !分解質(zhì)因數(shù)：12! 2

6、10 35 52 7 11，由于12!除以n得到一個完全平方數(shù)，那 么這個完全平方數(shù)是12!的約數(shù)，那么最大可以為210 34 52 ,所以n最小為 12! 210 34 523 7 11231。（法2） 12!除以n得到一個完全平方數(shù)，12!的質(zhì)因數(shù)分解式中3、7、11的幕次是奇數(shù)，所以 n的 最小值是3 7 11 231?！敬鸢浮?31【例4】 有一個正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0,試求滿足上述條件的最小的正整數(shù).【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】3星【題型】解答【解析】平方數(shù)的末尾只能是 0, 1 , 4, 5, 6, 9，因為111 , 444 , 555 , 666 ,

7、 999都不是完全平方數(shù)， 所以所求的數(shù)最小是 4位數(shù).考察1111 , 1444可以知道1444 38 38,所以滿足條件的最小正 整數(shù)是1444.1444【答案】【例5】A是由2002個“4 ”組成的多位數(shù)，即144L34 , A是不是某個自然數(shù) B的平方？如果是，寫出B; 2002 個 4如果不是，請說明理由.【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】A 144L34 22 112L31 如果A是某個自然數(shù)的平方，則 112L31也應是某個自然數(shù)的平方，2002個 42002 個 12002 個 1并且是某個奇數(shù)的平方由奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1知，奇數(shù)的平方

8、減1應是4的倍數(shù)，而甲2丘1 1 11210不是4的倍數(shù)，矛盾，所以 A不是某個自然數(shù)的平方.2002個 12001 個 1【鞏固】A是由2008個“4”組成的多位數(shù)，即14L34 , A是不是某個自然數(shù) B的平方？如果是，寫出 B ; 2008 個 4如果不是，請說明理由.【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】不是.A 14L34 22 11L 1假設A是某個自然數(shù)的平方，則11L 1也應是某個自然數(shù)的平方，并且2008個 4 2008個 12008個 1是某個奇數(shù)的平方由奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1知，奇數(shù)的平方減1應是4的倍數(shù)，而11L 1 1 11L 10

9、不是4的倍數(shù)，與假設矛盾所以A不是某個自然數(shù)的平方.2008個 12007個1【例 6 】 計算 11251 222L32 = A XA，求 A 2004個 11002個2【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】4星 【題型】解答【解析】此題的顯著特征是式子都含有 11251，從而找出突破口 n個1112312252= 112L31 0000112L312004 個 11002 個 21002 個 11002 個 01002 個 1112L31x( 100030-1)1002 個 11002 個 0112L31X( 99909)1002 個 11002 個 9112L312X( 112L31 X3

10、 X3) = A1002個 11002個 1所以，A= 13L33.1002 個 3【答案】333辺31002 個 32004 個 42003 個 8求是否存在一個完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005 ?【考點】完全平方數(shù)計算及判斷【難度】4星 【題型】解答【解析】 本題直接求解有點難度，但是其數(shù)字有明顯的規(guī)律，于是我們采用遞推（找規(guī)律）的方法來求解:注意到有4428824389可以看成 他副輒咧，其中n=2004 ；2004 個 4 2003 個 8n個 4n-1 個 8尋找規(guī)律：當n=1當n=2當n=3時,時,時,4972 ;2448967 ;2444889667曰是,類推有 14Lb48P8

11、Lb89 = 666-672004 個 4 2003 個 82003個 6方法二：下面給出嚴格計算:V4L34888LB89 = 444L3400(2L0 + 888L38 +1 ；2004 個 42003 個 82004個42004個02004 個 8則 44454(10250+88208+1 = 1121 x(4 x 140030+8)+12004 個 42004 個 02004 個 82004 個 12004 個 0=112L31 x2004 個 1(融匕9+1 ) +8 : +12004 個 9=112L31 x2004 個 1(99嘔9)+12 :2004 個 9=(1W1)2200

12、4 個 1X36+12+ 12004 個 1=(1W1)22004 個 1 2=(6662- 461)004 個 6X36+2 x(6 X1|12L31)2004 個 12(666L 的2003 個 6 由知4444彗8心89 = 666L 472，于是數(shù)字和為n個4n-1個8門_1個6(4n +8 n -8+9)=12n+1 ;令 12n +1=2005解得n=167，所以144488289= 166L 472。所以存在這樣的數(shù)，是167 個 4166 個 8166 個 6徉454彗8切89167 個 4166 個 82【答案】（1）666L367 ,（2）2003個 6 2管4L34彗88

13、9 = 666L 47167 個 4166 個 8166 個 6模塊二、平方數(shù)特征（1）平方數(shù)的尾數(shù)特征【例8】下面是一個算式：14 5 6，這個算式的得數(shù)能否是某個數(shù)的平方?【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽首先要觀察它的個位數(shù)是多少平方數(shù)的個位數(shù)只能是【解析】判斷一個數(shù)是否是某個數(shù)的平方,5 , 6 , 9，而2 , 3 , 7, 8不可能是平方數(shù)的個位數(shù).這個算式的前二項之和為 3，中間二項之和的個位數(shù)為0 ,后面二項中每項都有因子 2和5 ,個位數(shù)一定是0 ,因此，這個0算式得數(shù)的個位 數(shù)是3，不可能是某個數(shù)的平方.【答案】不是49的四位【例

14、9】 一個數(shù)與它自身的乘積稱為這個數(shù)的平方各位數(shù)字互不相同且各位數(shù)字的平方和等于數(shù)共有 .【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯，5年級，第10題【解析】49 1 4 9 25, 1,2,3,5全排列共有24個?！敬鸢浮?4文案大全【例10】用19這9個數(shù)字各一次，組成一個兩位完全平方數(shù)，一個三位完全平方數(shù)，一個四位完全平方數(shù)那么，其中的四位完全平方數(shù)最小是【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，復試， 11題【解析】四位完全平方數(shù)1234 352 = 1225，所以至少是362 = 1296 當四位完全平

15、方數(shù)是1296時，另兩個平方數(shù)的個位只能分別為 4,5 ,個位為5的平方數(shù)的十位只能是 2，但數(shù)字2在1296中已經(jīng)使 用.當四位完全平方數(shù)是 372= 1369時，另兩個平方數(shù)的個位只能分別為 4,5，個位為5的平方數(shù) 的十位一樣只能是 2，還剩下7,8 ,而784恰好為282.所以，其中的四位完全平方數(shù)最小是 1369 【答案】1369【例11】稱能表示成1+2+3+K的形式的自然數(shù)為三角數(shù)，有一個四位數(shù)N，它既是三角數(shù)，又是完全平方數(shù)，N=?！究键c】平方數(shù)特征之平方數(shù)的尾數(shù)特征【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第14題【解析】N=k x(1+k)/2=mA2,4 位

16、數(shù)的話 2000=k x(k+1)20000, 45=k=140, k=2n n *(2 n+1)=Nn與2n+1 互質(zhì)，所以要均為平方數(shù)。平方數(shù)末尾 149650。滿足要求的是 4950。 23=n=70 發(fā)現(xiàn)沒有：k=2n-1 , n X(2n-1)=N 同上，滿足要求是 1650 找到 25 所以k=49 , N=1225 m=35?！敬鸢浮?225(2) 奇數(shù)個約數(shù)一一指數(shù)是偶數(shù)【例12】在2 2 4, 3 3 9, 4 4 16, 5 5 25, 6 6 36,等這些算是中，4 , 9 , 16 , 25 ,36,叫做完全平方數(shù)。那么，不超過 2007的最大的完全平方數(shù)是 【考點】平

17、方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第4題，5分【解析】4 5 X45=2025 ; 44 X44=1936，所以最大的是1936.【答案】1936【例13】寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù).【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù) (次數(shù))加 1后所得的乘積如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)后為 23 X52 X7,所以它的約數(shù)有(3+1) X(2+1) X(1 + 1)=4 X3 X2=24 個.(包 括1和它自身)如果某個自然數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)的所有質(zhì)

18、因子的個數(shù)均為偶數(shù)個這樣它們加1后均是奇數(shù),所得的乘積才能是奇數(shù)而所有質(zhì)因數(shù)的個數(shù)均是偶數(shù)個的數(shù)為完全平方數(shù)即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個約數(shù)，反過來，有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù).由以上分析知，我們所求的為360630之間有多少個完全平方數(shù) ？18 X 18=324,19 X 19=361,25 X25=625,26 X26=676,所以在 360 630 之間的完全平方數(shù)為192,202,212,222,232,242,252即360至U 630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,625【答案】361,400,441,484,529,576,62

19、5【例14】1016與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值是 【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】先將1016分解質(zhì)因數(shù)：31016 2127 ,由于1016 a是一個完全平方數(shù)，所以至少為24 1272 ,故a最小為2 127 254【答案】254【鞏固】已知3528a恰是自然數(shù)b的平方數(shù)，a的最小值是?！究键c】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】3528 23 32 7，要使3528a是某個自然數(shù)的平方，必須使3528a各個不同質(zhì)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，由于其中質(zhì)因子 3和7各有2個，質(zhì)因子2有3個，所以a為2可以使3528a是完全平方數(shù)，故a

20、至少為2.【答案】2【例15】從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以 72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】3星 【題型】解答【解析】完全平方數(shù)，其所有質(zhì)因數(shù)必定成對出現(xiàn).而72 23 32 2 6 6，所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的2倍，由于2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048，所以2 1、2 2、2 31都滿足題意，即 所求的滿足條件的數(shù)共有 31個.【答案】31【例16】已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個完全平方數(shù)，則 n的最小值是 。【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯，6年級【解析】

21、（法1）先將12 !分解質(zhì)因數(shù)：12! 210 35 52 7 11，由于12!除以n得到一個完全平方數(shù)，那么 這個完全平方數(shù)是12!的約數(shù)，那么最大可以為210 3452 ,所以n最小為1042一12! 2353 7 11231。（法2） 12!除以n得到一個完全平方數(shù)，12!的質(zhì)因數(shù)分解式中3、7、11的幕次是奇數(shù)，所以 n的 最小值是3 7 11 231。【答案】231【例17】有5個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為.【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】4星 【題型】填空【解析】考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識點，同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然

22、數(shù)問題，設未知數(shù)的時候有技巧：一般是設中間的數(shù)，這樣前后的數(shù)關(guān)于中間的數(shù)是對稱的.設中間數(shù)是 x,則它們的和為 5x,中間三數(shù)的和為 3x . 5x是平方數(shù)，設 5x 52 a2,則x 5a2 , 3x 15a2 3 5 a2是立方數(shù)，所以a2至少含有3和5的質(zhì)因數(shù)各2個，即a2至少是225,中間的數(shù) 至少是1125，那么這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為 1123 .【答案】1123【例18】求一個最小的自然數(shù)，它乘以2后是完全平方數(shù)，乘以 3后是完全立方數(shù)，乘以 5后是5次方數(shù).【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】4星【題型】解答【解析】為使所求的數(shù)最小，這個數(shù)不能有除2、3、5之外的質(zhì)因子.設

23、這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后為 2a 3b 5c , 由于它乘以2以后是完全平方數(shù)，即 2a1 3b 5c是完全平方數(shù)，則(a 1)、b、c都是2的倍數(shù)； 同理可知a、(b 1)、c是3的倍數(shù)，a、b、(c 1)是5的倍數(shù).所以，a是3和5的倍數(shù)，且除以2余1 ; b是2和5的倍數(shù)，且除以3余2 ; c是2和3的倍數(shù)，152024且除以5余4 可以求得a、b、c的最小值分別為15、20、24，所以這樣的自然數(shù)最小為2 3 5.【答案】215 320 524【例19】三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的三個連續(xù)正整數(shù)的積稱為“美妙數(shù)”問：所有小于2008的美妙數(shù)的最大公約數(shù)是多少？【考點】平方

24、數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽【解析】60 3 4 5是一個美妙數(shù)，因此美妙數(shù)的最大公約數(shù)不會大于60 .任何三個連續(xù)正整數(shù)，必有一個能為3整除，所以，任何美妙數(shù)必有因子 3 .若中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個數(shù)是偶數(shù)，所以任何美妙數(shù)必有因子4 .另外，由于完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0, 1 , 4 , 5 , 6, 9，若其個位是0和5，則中間的數(shù)能被 5整除；若其個位是1和6，則第一個數(shù)能被 5整除；若其個位是 4和9，則第三個數(shù)能被 5整除所以，任 何美妙數(shù)必有因子 5 由于3 , 4 , 5的最小公倍數(shù)是6

25、0 ,所以任何美妙數(shù)必有因子 60 ,故所有美 妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60 綜合上面分析，所有美妙數(shù)的最大公約數(shù)既不能大于60 ,又至少是60,所以，只能是60 .【答案】60【例20】考慮下列32個數(shù)：1!, 2! , 3!,32!，請你去掉其中的一個數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個完全平方數(shù)，戈U去的那個數(shù)是.【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】4星【題型1】填空【解析】設這32個數(shù)的乘積為A.A 1! 2! 3! L 32!2 2(1!)2 (3!)4 L2(31!)32(1! 3! L 31!)2(24 L 32)(1! 3! L31!)2216 16!,所以，只要劃去16!這個數(shù)，即可

26、使得其余各數(shù)的乘積為一個完全平方數(shù).另外，由于16! 16 15!，而16也是完全平方數(shù)，所以劃去15!也滿足題意.【答案】16!或15!，答案不唯一【例21】一個數(shù)的完全平方有 39個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】4星【題型】解答實用標準文檔【解析】設該數(shù)為Pia1P2a2L昇，那么它的平方就是Pi2a1P22a2LPn鏘,因此 2a1 12a2 1 L 2an 1 39 .由于 39 1 39 3 13,所以，2a1 1 3, 2a2 1 13，可得 a1 1 , a? 6 ;故該數(shù)的約數(shù)個數(shù)為1 16 1 14個；或者，2印139，可得印19，那么該

27、數(shù)的約數(shù)個數(shù)為 19 120 個.所以這個數(shù)的約數(shù)個數(shù)為14個或者20個.【答案】14個或者20個【例22】有一個不等于 0的自然數(shù)，它的丄是一個立方數(shù)，它的 1是一個平方數(shù)，則這個數(shù)最小23是.【考點】平方數(shù)特征之奇數(shù)個約數(shù)【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試，第9題，5分【解析】設為2a3bc ( c為不含質(zhì)因子2, 3的整數(shù))，則它的丄是2a13c是立方數(shù)，所以a 1是3的倍數(shù)，b2是3的倍數(shù)，另外它的1即2a3b1c是一個平方數(shù)，所以a是偶數(shù)，b是奇數(shù)，符合以上兩個條件的a3的最小值為4 , b的最小值為3，這個數(shù)最小為432 .【答案】432(3) 平方數(shù)的整除特性

28、【例23】三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的三個連續(xù)正整數(shù)的積稱為“美妙數(shù)”。問所有的小于2008的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第11題，10分【解析】任何三個連續(xù)正整數(shù)，必有一個能為3整除.所以，任何“美妙數(shù)”必有因子3 . 若三個連續(xù)正整數(shù)中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個數(shù)是偶數(shù)，所以任何“美妙數(shù)”必有因子4 . 完全平方數(shù)的個位只能是 1、4、5、6、9和0,若其個位是5和0,則中間的數(shù)必能被 5整除， 若其個位是1和6，則第一個數(shù)必能被 5

29、整除，若其個位是 4和9，則第三個數(shù)必能被 5整除.所 以，任何“美妙數(shù)”必有因子 5 . 上述說明“美妙數(shù)”都有因子 3、4、和5，也就有因子60 ,即所有的美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60 . 60=3 X4 X5是一個“美妙數(shù)”，美妙數(shù)的最大公約至多是60 .所有的美妙數(shù)的最大公約數(shù)既不能大于60,又至少是60,只能是60?！敬鸢浮?0【例24】證明：形如11 , 111 , 1111 , 11111，的數(shù)中沒有完全平方數(shù)?！究键c】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】由于奇數(shù)的平方是奇數(shù)， 偶數(shù)的平方為偶數(shù)，而奇數(shù)的平方除以4余1 ,偶數(shù)的平方能被4整除.現(xiàn)

30、在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù).【例25】記S (1 2 3 L n) (4 k 3)，這里n 3 .當k在1至100之間取正整數(shù)值時，有 個不同的k，使得S是一個正整數(shù)的平方.【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】少年數(shù)學智力冬令營【解析】一個平方數(shù)除以4的余數(shù)是0或1當n 4時，S除以4余3，所以S不是平方數(shù)；當n 3時，2 2S 4k 9，當k在1至100之間時，S在13至409之間，其中只有8個平方數(shù)是奇數(shù)：5 , 7,9999999 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19，其中每1個平方數(shù)對應1個k,所以答案

31、為8.【答案】8【例26】能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任意兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由.【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】因為偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被 4除余1，因此任一正整數(shù)的平方 n2被4除余0或1 .假設存在四個正整數(shù) 厲、比、代、氐,使得ng 2002 m (i, j 1,2,3,4, i j).又2002被4除余2, 故ng被4除余2或3.若口、門2、門3、靄中有兩個偶數(shù)，如 口、n,是偶數(shù)，那么 門小2是4的倍數(shù)，ng 2002被4除余2 , 所以不可能是完全平方數(shù)；

32、因此門1、比、代、n4中至多只有一個偶數(shù)，至少有三個奇數(shù).設厲、n?、匕為奇數(shù)，帀為偶數(shù)，那么門門2、匕被4除余1或3，所以門門2、匕中至少有兩個數(shù)余數(shù)相同女口 門匕被4除余數(shù)相同， 同為1或3，那么門小2被4除余1，所以山花2002被4除余3，不是完全平方數(shù)； 綜上，n nj 2002不可能全是完全平方數(shù).【例27】1 3 5 L 1991的末三位數(shù)是多少？【考點】平方數(shù)特征之平方數(shù)的整除特性【難度】5星【題型】解答【解析】首先，僅考慮后三位數(shù)字，所求的數(shù)目相當于1 3 5 L 991的平方再乘以993 995 997 999的末三位而 993 995 997 999 993 999 995 997