《圓錐曲線解題十招全歸納》

1、圓錐曲線解題十招全歸納招式一：弦的垂直平分線問題2招式二：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題 4招式四：共線向量問題6招式五：面積問題13招式六：弦或弦長(zhǎng)為定值、最值問題 16招式七：直線問題20招式八：軌跡問題24招式九：對(duì)稱問題30招式十、存在性問題33招式一：弦的垂直平分線問題例題1、過點(diǎn)T(-1,0)作直線I與曲線N : y =興交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(Xo,O)，使得. ABE 是等邊三角形，若存在，求出X。；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線丨：y = k(x 1)， k 尸0， A(x-|, y1)， B(x2, y2)。由 yk(x 1)消 y

2、 整理，得 k2x2 (2k2 -1)x k0y x由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得2242.：=(2k -1) -4k = -4k 10即 0 : k2由韋達(dá)定理，得:2k2 -1旨 X22 ，X1X2 二 1k則線段AB的中點(diǎn)為(2k2-112k線段的垂直平分線方程為:21 1 “1 -2k2y(x -2kk2 )令y=0,得X0 厶2k22k21，貝V E(丄一丄,0)22k2 27 ABE為正三角形,E(水-1,。)到直線AB的距離d為23 AB23八45口2k2 1 k22k解得k39滿足式此時(shí)13X0【涉及到弦的垂直平分線問題】這種問題主要是需要用到弦 AB的垂直平分線L的方程，往往是利

3、用點(diǎn)差或者韋達(dá)定理產(chǎn)生弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo) M，結(jié)合弦AB與它的垂直平分線 L的斜率互為負(fù)倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線L的方程，然后解決相關(guān)問題，比如：求L在x軸y軸上的截距的取值范圍，求L過某定點(diǎn)等等。有時(shí)候題目的條件比較隱蔽，要分析后才能判定是有關(guān)弦AB的中點(diǎn)問題，比如：弦與某定點(diǎn)D構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的等腰三角形(即D在AB的垂直平分線上)、曲線上存在兩點(diǎn) AB關(guān)于直線 m對(duì)稱等等。例題分析 1已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線 x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、B，則|AB|等于f yX2 ：卜 3 解:設(shè)直線AB的方程為y=x，b，由=x2，x，b-3二0= x. x2 - -1 ,進(jìn)而可求出 A

4、By = x + b11112的中點(diǎn)m b)，又由M b)在直線x y二0上可求出b = 1 ,二x x-2 = 0，由弦2 22 2長(zhǎng)公式可求出 |AB = J1+12 J12 4x(2) =3渥.例題2、已知橢圓C :解：（I）由已知橢圓a =2,則得c 、3,b =1。從而橢圓的方程為x27 y=1（II ）設(shè) M （知 yj， Ng, y2），直線AM的斜率為則直線AM的方程為y = k/x 2），由”2 人（：+2）消 y整理得（1+4k；）x2x 4y =416k2X 16k； -4 = 0： -2和為是方程的兩個(gè)根,2-8k；c16K2-4 血-2x1- 2 貝 y X-2， y

5、11 +4k121 +4k122冬，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（彳型2 ,冬）,1 4k21 4k2 1 4k2同理，設(shè)直線 A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)2N的坐標(biāo)為（墜2 , 4k務(wù)）、1+4k； 1 + 4k；:yp 二&(t 2), yp 二 k2(t -2).& -k2k1k2-，:直線MN的方程為:ty 一 y2 - X2 _ x-1X _X!令y=0,得X嚴(yán)八x1y2，將點(diǎn)5 72N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得:招式二：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題2222 = 1(a b 0)的離心率為a b且在x軸上的頂點(diǎn)分別為Ai（-2,0）,A 2（2,0）。（I）求橢圓的方程；（II ）若直線丨：x =t

6、（t . 2）與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線I上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線 PAi,PA2分別與橢圓交于 M、N點(diǎn)，試問直 線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論（“，即 V4又,t 2，02丁橢圓的焦點(diǎn)為tMN過橢圓的焦點(diǎn)。招式三：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題2 2例題4、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： U 上=1 (a b 0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A (2. 3,0)是橢圓的右頂 a b點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心0,且0，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程;(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線X=j3對(duì)稱，求直線PQ的斜率。解: (I):=2，且BC過橢圓的中心OPC的方程

7、為:9k2 -18k -3 9k2 +18k3xp -xq =36k3(1 3k2)3(1 3k2)3(1 3k2) kPQ1Xp Xq 3yp -yQ.0C = AC vaLbc =0 N ACO =扌又；A (2 J3,0) 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(J5, J5)。v A (2.3,0)是橢圓的右頂點(diǎn)，.a = 2 3，則橢圓方程為:2 2$ ”1將點(diǎn)C('、3,、3)代入方程，得b2 =4，橢圓E的方程為2 2124(II) 丫 直線PC與直線QC關(guān)于直線x »3對(duì)稱,-設(shè)直線PC的斜率為k，則直線QC的斜率為-k，從而直線y、3=k(x3)，即 y 二 kx ,3(1-k)

8、，由 y 二kx 3(1 _k)消 y,整理得:2 2x 3y -12=0(1 3k2)x2 6 .3k(1 -k)x 9k2 -18k -3 = 0 ： x 二 3 是方程的一個(gè)根,22十即 xp，k3(；83kk；)3同理可得:x9k3(118-3=kx，3(k) kx - .3(1 k) = k(x XQ)-2.3k =12k 2J3(1 +3k )招式四：共線向量問題1如圖所示，已知圓C : （x 1） y =8,定點(diǎn)A（1,0）,M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上,且滿足AM =2AP,NP AM = 0,點(diǎn)N的軌跡為曲線 E.I）求曲線E的方程；II）若過定點(diǎn)F （0, 2

9、）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H （點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足FG二 FH，求，的取值范圍解：(1) AM =2AP,NP AM =0.二 NP 為 AM 的垂直平分線，二 |NA|=|NM|又 |CN | NM |=2、2,. |CN | AN | = 2.2 . 2.二動(dòng)點(diǎn) N 的軌跡是以點(diǎn)1 2223得(k2)x2 4kx 3=0. 由：0得 k2設(shè) G(x1, y-i), H (x2, y2),2 2則 x-X2-4k1 k22-8k3r7(1),X1X2 二口221 2k2 又 FGFH ,(X1, y1 - 2) = '(X2, y2 - 2)x - x2,X1J ?X

10、23232k223(1 2k2)k24 :2133()31161vzg解得11又 0 ： ： 1,1.3又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為x = 0,FGFH , =-3311-< <1,即所求，的取值范圍是-,1）332:已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y二丄x2的焦點(diǎn)，離心率42 5為 （ 1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于m 點(diǎn)，若mAhaf, mb=?；-2BF ，求證：i 2 - -io.2x =4y，其焦點(diǎn)為(0,1),2 2解：設(shè)橢圓C的方程為冷爲(wèi)=1( a > b > 0

11、)拋物線方程化為a b則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為c(0,1)，即 b=1 由 e-aa2b22、52 a2, a -5，橢圓C的方程為2xy -1 (2)證明:5X1XX2x，所以 I V 122(X1 X2)=一102X2 x24-2(論 + x2) + XjX2'2X1右焦點(diǎn)F(2,0)，設(shè)A(xi, yi), Bg, y2),M (0, y。)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直2線I的方程為 y =k(x -2)，代入方程x y2 =1并整理，得52 2MA = (X1, % -y°),2、22220k20k 5(1 5k )x -20k x 20k 5=0 x-i x22 , X

12、jX2亍又1+5k21 + 5k2TTTMB = (x2 , y2 - y0 ) , AF = (2 - X1, - y1 ) , BF = (2 - x2, - y2),l r T I , T而 MA = A)AF, MB =BF，即(x1 £y1-yd= ,x-"，(x2-0, y2- y°) = '-2(2 x2, y2)3、已知 OFQ的面積s=2i6,且OFFQ二m。設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過 Q,6 2 -|OF | = c,m = (1)c ,當(dāng)|OQ|取得最小值時(shí)，求此雙曲線方程。42 2解：設(shè)雙曲線方程為 篤-與=1 , Q (X

13、), y。)。a bFQ =(x。-c,y。),1 廠.4yf6Sofq=| OF | y0 |= 2 i 6 , y0 ：2 c 6 2 OF FQ = (c,O)(x0 -c, y0) =c(x0 c)= (1)c = x4OQ = 丫 Xoy22涪+斧2鹿,當(dāng)且僅當(dāng)3TV'即 c=4 時(shí),|OQ| 最小，此時(shí) Q(®6)或(6g，所以2丄-12 . 2 1a b => <a2 +b2 =162ab2_ 422-.故所求的雙曲線方程為1。=124 12類型1 求待定字母的值2例1設(shè)雙曲線C:篤a-y2 =1(a 0)與直線L: X+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A

14、、B ,直線L與y軸交5于點(diǎn)P,且PA= PB，求a的值12設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，思路:將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，再利用韋達(dá)定理，通過解方程組求的值。解:設(shè) A(xi,yi), B(X2,y2),P(0,1)'5 -T pA=/PB,. (Xi,yi557 兀(“2-。冷=/2.x y = 1聯(lián)立 x22，消去 y 并整理得，(1 a2)x2+2a2x 2a2=0 (*)T A、B是不同的兩點(diǎn)，二F21 -a - 0,4a4 8a2 (1-a2)0,a 0<a<2 且 a = 1.于是2a2X1+X2=21 - a且 X1 X2=-12a22 ，a即 17 X212空T,

15、且-X221 - a 122* 2，消去X2得,1 -a2 a22892 = ，-a 6017廠17二 a= ,. 0<a< 2 且 a = 1, a a= - °1313類型2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡例2如圖2 ,動(dòng)直線y = kx 1與y軸交于點(diǎn)A ,與拋物y2=X - 3交于不同的兩點(diǎn) B和C,且滿足BP=入PC AB=入AC,其中R.。求 POA的重心Q的軌跡。入獲得重心思路：將向量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，消去參數(shù)Q的軌跡方程，再運(yùn)用判別式確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，從而確定軌跡的形狀。解：由丿y = kx +1222得，k x +(2k 1)x+4=0.y =x_3設(shè) P(x&#

16、39; ,y,' B(xi, yi), C(X2,y2),(圖則 X1+X2=上竺，X1X2=tk2k2由 BP = PC 二.(x - y - yj = (X2 - x , y2 - y )(X -1) = '(X22-1) = x1=X2。、 c x"-X1 X2 -x": " 0 二=二X1x22x1x2x1 x281 -2k設(shè)重心1= j1 -2k 1 -2k消去 k 得，x2 y ' 6=0(*)Q(x,y)，則xX =3=.y 1yPx = 3x，代入(*)式得，3x 6y 4=0。y =3y -11 因?yàn)?丄21 48:k 且

17、k = 0= 4 ： x ：12且x =8x ： 4且x -3 34 8故點(diǎn)Q的軌跡方程是3x 6y 4=0 ( < x < 4且x式),其軌跡是直線 3x 6y 4=0上且不包括點(diǎn)3 3448 2A( ,0), B(4, ),C(,)的線段 AB。3 33 3類型3證明定值問題例3已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)，OA OB與a =(3,-1)共線。設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 0M = 0AOB，其中廠一 R.思路：設(shè)A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系、和差關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再利用方程組、 韋達(dá)定理、點(diǎn)在橢圓上滿足

18、方程等證明定值。2 2解:設(shè)橢圓方程為 篤-與=1(a b 0), F (c,0).則直線AB的方程為a2b2y二X - c.代入橢圓方程中，化簡(jiǎn)得,2,2、22222,2小(a b)x -2acx ac -ab 0.設(shè) A(xi,yi)，B(x2,y2)，則 x1X2c22222a ca c -a b2,X1X2 = a ba2 b2由 OA 0B 與 a =(3,-1)共線,OA OB =(xX2, % y2)得,3(力y2) (X1X2) =0。又 y1 =捲c,y2 =X2 -c,3c 陽 2a c.3(X1 X2 _2c) (X1 X2) =0,. X1X2，即 222 a +b笙

19、a=3b2.2而 c2 =a2 -b2,于是 a2 =3c2,b22 2因此橢圓方程為 二 與=1,即X23b b3y2 =3b2.設(shè) M(x, y),由 OM = OA 0B 得,(x, y) =?；.(人,yj ：(X2, y2),.x = Xr 亠 | x2且 y = y 1 y2.因M為橢圓上一點(diǎn)，所以(X<|亠匚X2 )2亠3( y_j iy2)2 = 3b2.2222222即九(X1 +3y1 ) + 卩(X2 +3y2) +2入卩(X1X2 +3y1 y2)= 3b2 2 2 23c 23 221 2a c a b 3 2又 x1 x2, a c , bc , x1 x22

20、2 c .222a2 b28則 x1x2 3yjy2 = XjX2 3區(qū)-c)(x2-c) = 4xjX2 -3化 x2)c 3c2= -c2 -9c2 3c2 =0.而 X12 3y/ =3b2, x?2 3y?2 =3b2,2 2代入得，2：=2=1 ,，2：=2為定值。類型4探索點(diǎn)、線的存在性1例4在厶ABC中，已知B( 2, 0), C(2, 0), AD丄BC于D , ABC的垂心H分有向線段 AD 所成的比為 丄。3設(shè)P(- 1,0), Q(1,0),那么是否存在點(diǎn) H，使一,成等差數(shù)列，為什么?|HP|PQ|HQ|思路：先將AC丄BH轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，由此獲得動(dòng)點(diǎn) H的軌跡方程；再

21、將向量的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)(坐標(biāo))關(guān)系，通過解代數(shù)方程組獲解。解：設(shè) H(x, y),由分點(diǎn)坐標(biāo)公式知 A(x,皺)3 (2,4y)(x2,y)= 0 ,3 AC 丄 BH ,整理得，動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程為2 2U143(廠0)。?HP ,(x 1)2 y2 ,IPQF2,|HQ F (x-1)2丄丄|HP| |HQ|1 112假設(shè)成等差數(shù)列，則|HP|PQ| |HQ|PQ|1(x 1)2 y2、:1(x -1)2y2 H 在橢圓上a=2, b=.3, c=1 , P、Q 是焦點(diǎn),HP +HQ =2a=4，即二 J(x十1)2 + y2 + J(x _1)2 + y2 = 4 由得，.(x 1)2

22、 y2 * (x -1)2y2 二(x 1)2y2. (x -1)2y2 =4 聯(lián)立、可得，J(x+1)2+y2 =J(x-1)* =2 ,2 2 X =o,y h=3顯然滿足H點(diǎn)的軌跡方程 丄=1 ,4 3一 111 故存在點(diǎn) H （0, ±/3），使 .,.,.成等差數(shù)列。|HP| |PQ|HQ|類型5求相關(guān)量的取值范圍例5給定拋物線C: y2 =4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線I與C相交于A、B兩點(diǎn)，且FB二 AF,4,9 1,求I在y軸上截距的變化范圍。思路：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量間的共線關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，再求出I在y軸上的截距，利用函數(shù)的單調(diào)性求其變化范圍。解：設(shè) A

23、（x1,y1）， B（X2,y2），由 FB = ' AF 得，（x? T, y?） = ' （1 十），即x2 -仁丸口-捲）亠亠白2-22丿金由得，y2 =丸如$2 = 一紹1 y 1 = 4x，討2= 4x：，X：=丸x。聯(lián)立、得，X：=九。而：0 B（ 上."1）,或B（ 2、）.當(dāng)直線I垂直于x軸時(shí)，=1,不符合題意。巴在-4'91上遞減的,因此直線 I 的方程為（ -1）y =2、 （x -1）或（ -1）y =2（x -1）.直線I在y軸上的截距為 & 或-.由 九一1 九一1 九一1 -12 2存在、向量例6、雙曲線。：-當(dāng)=心0,b0

24、的右頂點(diǎn)為A，x軸上存在一點(diǎn)Q 2a,0，若C上a b存在一點(diǎn)P使AP _ PQ,求離心率的取值范圍 。解：；PA_PQ. P點(diǎn)的軌跡 方程為22 _ a4，f 2 22 22.2即 y2 = _x2 +3ax 2a2 (x 式 a且x 式 2a)。由 <b x -ay =a b 2，消去 y 得y =x +3ax2a.2 22222. 22 .2 2342. 2b x -a3ax -2a a b = 0即 a b x -3a x 2a -a b = 0x-aa2 b2x-a2a2 -b20, x = a, x = a 3a 2 C = ac”a,解得心于2 2P在雙曲線 篤 與二1的右

25、支上，xa,. aa b定值問題例7： A,B是拋物線y2 =2px(p - 0)上的兩點(diǎn)，滿足 OA_OB ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別是定值；(2)直線AB經(jīng)過一定點(diǎn)。2 2 2 2 分析：(1 )設(shè) A(x“ yj, Bg, y2)，則 yi p%, y? =2px尹(yy) =4卩軌JIf*OO又由 OA _OB= OA OB =0二 x/2 y,y2 = 0 = x1x4p , %y2 = 4p y-y2p(x-x2 Ka廠忌二代直線 AB 的方程為 y _ % = 2 p (x _xj= y = 2 p x _ 2 px1y1* 和2力 +

26、 y2% + y?2=y1 2pX y1y2=(x_2p)，故直線過定點(diǎn)(2p,0)。y1 y2y1 y2% y2招式五：面積問題2 2例題1、已知橢圓C:篤爲(wèi)=1 (a> b>0)的離心率為-,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.3 oa b3(I)求橢圓C的方程;:'3(n)設(shè)直線I與橢圓C交于a、b兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) o到直線I的距離為，求 aob面積的最大值。2解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為 c,依題意 c6亍.b",a = 3,2.所求橢圓方程為y2=1。3(n)設(shè) A(x1, yj , B(x2, y2)。 (1)當(dāng) AB 丄 x 軸時(shí),設(shè)直線AB的方程為y = k

27、x m。由已知lm 二乜，得Tvnk2 2AB = , 3 o ( 2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),m2 = 3(k21)o4把y二kx m代入橢圓方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 - 3 = 0 ,T+X2=，X,"害AB j + k2)(+凸耗喻S3k2 13k2 112(k2 1)(3k2 1 -m2)3(k2 1)(9k2 1)12k2(3k2 1)2123423(k = 0)(3k1)9k4 6k2 1 9k2 丄 6k22 1當(dāng)且僅當(dāng)9k22，即k2k 一仝時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)k=0時(shí),3AB =73 ,綜上所述ABmax =2 o二當(dāng)AB最大時(shí)， AOB面積取最大值

28、刈AB2max2 22X2、已知橢圓C:右.2a b=1(a> b > 0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3 .(I )求橢圓C的方程；(n )設(shè)直線I與橢圓C交于A、b兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線I的距離為仝,燈AOB面積的最大值.2卜'、6解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為 c，依題意=，a 31 ,.所求橢圓方程為a - 3,(n)設(shè) A(xn yj , B(X2, y2). (1)當(dāng) AB 1 x 軸時(shí)，AB =3 . ( 2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y二kx m 由已知lml.1 k22二3，得 m2 二 3 (k2 1).4把y =kx m代入橢圓方

29、程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 -3=0 ,-6km.x-i x2廠3k2 123(m -1)X1X23k212 2=(1 k )(X2 -X1)=(1k2倍-勢(shì)12(k21)(3k2 12 2 (3k1)m2)3(k21)(9k2 1)2 2(3k1)2c12k2c= 3423.9k4 6k2 19k2 J_ 6k212(k=0) < 3124.2x3 + 6當(dāng)且僅當(dāng)9k2 -丄，即k二丄3時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)k=0時(shí),k23AB = J3，綜上所述 AB max = 2 . 3- 3X=max 22 2故 X。y0 1,二當(dāng)AB最大時(shí)， AOB面積取最大值 |AB22 23

30、已知橢圓亍十1的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 .過F1的直線交橢圓于B, D兩點(diǎn)，過F2的直線交2 2 橢圓于A, C兩點(diǎn)，且AC 一 BD，垂足為P . (I)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(X。，y0)，證明：匹西：1 ；32(n)求四邊形 ABCD的面積的最小值.解：(I)橢圓的半焦距c -.匸2 =1，由AC 1BD知點(diǎn)P在以線段F,F2為直徑的圓上,x2 y21001(n) (i)當(dāng)BD的斜率k存在且k = 0時(shí)，BD的方程為y=k(x，1),2 2 22代入橢圓方程=1，并化簡(jiǎn)得(3k2 2)x2 6k2x 3k0 設(shè) B(x1, y1), D(x2, y2)，則3 2x1 x2 乎,1 2 3

31、k223k2 _6XlX2 _3k2 2BD| = Ji +k»xi _X2 = J(1 +k2£(X2 +X2)2 4X1X2 = 4代k +1)；3k221因?yàn)锳C與BC相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為一丄，所以, k1四邊形ABCD的面積S=Kbd|AC|24(k2 +1)2 (3k22)(2k2AC =4 ； 32 ''12Ik2丿 4V3(k +1)132 2k22k23當(dāng)k2 =1時(shí)，上式取等號(hào).-(k21)2963)(3k22)(2k23) 225J 2 J(ii)當(dāng)BD的斜率k = 0或斜率不存在時(shí)，四邊形 ABCD的面積S = 4 .96綜上，四

32、邊形 ABCD的面積的最小值為 96招式六：弦或弦長(zhǎng)為定值、最值問題1、已知 OFQ的面積為2、. 6 , OF FQ（1）設(shè)6 <m <4, 6，求.OFQ正切值的取值范圍;-1）c2當(dāng)|0Q|取得最（2）設(shè)以0為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn) Q （如圖），|0F |=c,m =小值時(shí)，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè).OFQ|0F| |FQ|cos(二一巧二m1 |0F| |FQ |sin v -2 .6 tan 二一豪6 乞 m W、6-4 < ta n 八：-141(a .0,b 0),Q(x1,y1),則睫(ycy)b2（2）設(shè)所求的雙曲線方程為篤a- S ofq

33、=|0F I |y十2花,-1 c2又 OF FQ.m，- OF FQ= (c,0)(X1 c, yj =(X1 c) c =-X16 c, | OQ | = x2 y；二4當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，|0Q|最小，此時(shí)Q 的坐標(biāo)是（，/6,、, 6）或（、, 6, - 6）a2 b222a b =16亠叮4b2 =122 2x y，所求方程為1.4122 22、已知橢圓x -1兩焦點(diǎn)分別為4Fi、F2, P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足PFi PF2=1，過 P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線 PA、PB分別交橢圓于 A、B兩點(diǎn).（I）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（H）求證直線AB的斜率為定值；（川）求厶PAB面積的最大值.

34、2 y。),解：(I)由題可得 Fi(0,、2), F2(0-、2)，設(shè) Po(xo,y°)(x° 0, yo 0)則 PFi =(-x°, 2 2PF1 =(-心 - ' 2 -y°) , PF1 PF? =x0 -(2 -y0) =1 , v 點(diǎn) P(x°, y°)在曲線上，則 葺 普=1，4242- X： =2，從而 號(hào)0 -(2 -£)=1，得 y° f；2 .則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1, . 2).(H)由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k(k . 0)，則BP的直線方程為：y_、

35、.2k(x_1).y 時(shí)'2 =k(x -1)由 2y2得(2+k2)x2 +2k(Q_k)x +(運(yùn) _k)24=0，設(shè) B(Xbb)，貝U1 : XB2 2) , Xb = 二亠，同理可得XA=1k2 k2 k2 k2 k2，I寸 入A22 k2 kyA -yB 二 *(Xa -1) -k(xB -1)8kT .所以：AB 的斜率 kAB 二空 空一2 為定值.2+kxa-xb|y = 2x m(川)設(shè) AB 的直線方程：y = J2x +m .由彳 x2 y2，得 4x2 +2J2mx +m2 -4 =0 ,x u y _12 N由 =(2f2m)2 16(m2 4) >0

36、，得2J5cmc2J5 P 到 AB 的距離為 d =聖，111 2| m |1 921 .m - m 亠8、2則 s血ab =2|AB 1 d =2寸(4 gm ) 3 虧=<8m (m +8)刊8(2)=燈2。當(dāng)且僅當(dāng)m='2“. 2、22、2取等號(hào)三角形 PAB面積的最大值為、2。2x 23、已知橢圓y =1的左焦點(diǎn)為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)。2(I)求過點(diǎn)0、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線I相切的圓的方程；(II)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 X軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。解: (I) ：a2 =2,b2 =1, c =1,F(-1,

37、0),丨：x=2.：圓過點(diǎn)O、F,.圓心M在直線x二-丄上。21設(shè)2”,則圓半徑1、2丄22'i由OM“得J (冷"二-,解得2t二一-2 所求圓的方程為(x )2 (y 一、2)222=1,整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 - 2 =0.(II)設(shè)直線AB的方程為y =k(x - 1)(k =0),代入 y22T直線AB過橢圓的左焦點(diǎn) F,.方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記 A(x“ yj, B(X2, y2), AB 中點(diǎn) N (x。，y。)， 則花 x?二4k22k2 1-AB的垂直平分線 NG的方程為y-y。=-2(x-Xo).k1解: （1）設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（x,

38、 y） , / kAM kBM =y 1 y1 T Ix x1 x2 .整理，得2 宀（），（2）如圖，由題意知直線|的斜率存在，設(shè)I的方程為x = sy 2 （s =二2）將代入2X 21y 1,22 2 22kkk11Xg 二 x。 ky。2222.令y=0,得2k 1 2k 1 2k 12 4k 2 .點(diǎn)g橫坐標(biāo)的取值范圍為:k = 0,xG : 0,21（2°）.4、已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（0, -1） , （0,1）,直線AM , BM相交于點(diǎn)M ,且它們的斜率之積為-丄.（1）2求點(diǎn)M軌跡C的方程；（2）若過點(diǎn)D 2,0的直線I與（1）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn) E、F

39、（ E在D、O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.F之間），試求 ODE與.ODF面積之比的取值范圍（整理，得（s2 2）y2 4sy 0，由:0，解得 s2丨亠4s卜 一齊,設(shè) E My , F X2,y2，則21S t|OB y1令&= S®BE =Sobf !ob y2，且 0 ： 1.y2（% y2）2YiY2s2 2輕（4,8）且u,s223解得 3 -2、2 ：3 2 2 且1 i *0 ： ： 1 ,31.32 2 ： ' ： 1 且.；.=3故厶OBE與厶OBF面積之比的取值范圍是3-2、2,丄 J 】,1 .3322y x2 2 =1（ a b 0）5、已知橢圓C1: a

40、 b的右頂點(diǎn)為A（1,0），過C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.（I）求橢圓C1的方程;2 一（II）設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2 :廠x h（ R）上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M，N .當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求 h的最小值.b =12丄 + X2 = 1所求的橢圓方程為4,卜匚1八（b=T解析：（I）由題意得 a2(II)不妨設(shè)M(,y1),N(X2-y2),P(t,t +h)-則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為y2 2 2 2MN的方程為y =2tx -th，將上式代入橢圓C1的方程中，得4x ' (2tx -1 h) - 4 = 0，即C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有4

41、 1 t2 " -4t(t2 -h)X (嚴(yán)h)2 _4 =0，因?yàn)橹本€ MN 與橢圓 i =16t4 2(h 2)t 2-h2 40設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 X3，則X32x1x2t(t - h)222(1 t2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x4，則2=(1 h) -4_0,. h _1 或 h 3 ；t 122 ，由題意得x =X4，即有t (1 h)t 0，其中的.'：當(dāng)h< -3時(shí)有h 2：0,4：0，因此不等式"=16_t2(h 2)t -h 40不成立；因此2h -1,當(dāng)h =1時(shí)代入方程t (1 h)t 0得t 一1,將h JUT代入不等式M

42、-16 -t4 2(h 2)t2 -h2 40» 中丄1成立，因此h的最小值為1.招式七：直線問題2 2例題i、設(shè)橢圓C:篤 爲(wèi)-i(a b 0)過點(diǎn)MC、2,i)，且著焦點(diǎn)為Fid,。)a b(I)求橢圓C的方程;(n)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線I與橢圓C相交與兩不同點(diǎn) 代B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足Ap lQB i AQ i PB，證明：點(diǎn)q總在某定直線上解由題意:'c2 =22 ii ，解得a2 =4,b2 =2，所求橢圓方程為a b2 2 2c ab(2)方法一2 2x y i42設(shè)點(diǎn) Q、A、B 的坐標(biāo)分別為(x, y),(xi, yi),(X2, y2)。由題設(shè)

43、知AP , PB , AQ,QB 均不為零，記PBQBP，B，Q四點(diǎn)共線，從而AP PB,AQQB從而%，x2i - 為"：x2i i _ yi _，y2-i -wyi y2y =又點(diǎn)=4x，(1)2yiiB在橢圓C上，即Xi2 2yi2 =4,| 川(3)2X22y；=4,|川(4)(i) + (2) X2 并結(jié)合(3) , (4)得 4s+2y =4即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2x，y-2=0上方法二設(shè)點(diǎn) Q(x, y), A(Xi, yj, B(X2, y2)，由題設(shè),又p,a,q,b四點(diǎn)共線，可設(shè)PA=：-A3,PB品(，=o一 1),于是Xi4 -，x i - y 二L,yi

44、4：. lx 1 ： ； yX2 二(1)(2)由于A(Xi, yi), B(X2, y2)在橢圓C上，將(1), (2)分別代入C的方程x2 2y2=4,整理得2 2 2(x 2y -4)' -4(2x y-2).；，-14 = 0(3)2 2 2(x 2y -4) 4(2x y -2)： 14 = 0(4) - (3)得8 ( 2( y - 2 )=0.= 0,. 2x y - 2 = 0即點(diǎn)Q(x, y)總在定直線2xy-2=0上2、已知曲線:上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)R -、3,0和F2 .3,0的距離之和為4. (1)求曲線丨的方程;(2)設(shè)過0, -2的直線I與曲線'交

45、于C、D兩點(diǎn)，且OCOD.0 ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線I的方程.解：(1)根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡為橢圓，其中a = 2, c二諄3，則b = a2 -c2 = 1 .2所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 y2 = 1.4(2)當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y二kx-2，設(shè)C(X1, yj , D(X2 ,y2), ： OC OD = 0W2 y2 = 0 .y kx 2 , y kx 2 ,2.y1y2 二 k x-i x2k(x.| x2) 4 2(1 k )X1X2 -2心為X2) 4=0 .由方程組42y =1,= kx_2.1 4k2 x2

46、-16kx 12=0 .則 x1 x2, x1 x2企，代入，得1 21+4k2121 +4k21216k1 k22 -2k2,4=0 .即 k2 =4，解得，k =2 或 k =-2 .*1+4k21+4k2所以，直線I的方程是y=2x-2或y=2x-2 .x223、設(shè)F1、F2分別是橢圓y =1的左、右焦點(diǎn)。4(I)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PF1 PF2的最大值和最小值;(n)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且/ AOB為銳角(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線I的斜率k的取值范圍。解：(I)解法一：易知 a =2,b =1,c3 所以 F, -3,0 ,F2 .3,

47、0，設(shè) P x, y，則PR PF2 - -1.3 - x, -y , .3 - x, -y = x2y -3 =x?13 3x - 84 4因?yàn)?-2,2 1,故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，PF1 PF2有最小值_2當(dāng)x=2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)， PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a=2,b=1,c、3，所以 Fi -.3,0 應(yīng)、3,0 ，設(shè) P x, y，則PF? PF = Pf1 Pf2 cos F1PF24_x、.齊 y2 x -齊 y2-12 ：=x2 y2 - 3 (以下同解法一)(n)顯然直線x = 0不滿足題設(shè)條件,k2 1 x2 4kx 3 = 0I 4丿可設(shè)

48、直線 I : y 二 kx-2, A Ny , B X22 ,y 二 kx2聯(lián)立x2，消去y，整理得:一 + y2 = 1 .4.丄4k3-人 X2必 X2 ：k21k2 144f 11J3J3由 一（44廠十k2®0 得: k<y 或 k-y又 00 ： A0B : 90° = cos A0B 0 = OA OB 0/. OA OB 二 x1x2 y2 0X yy2 H(kx1 +2 * kx2 十 2Tk2x1x2 +2k(x1 +X2 )+4>ax®2AkAMAk<2lk2I±2 亠k4招式八：軌跡問題軌跡法：1直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

49、動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，不需要 特殊的技巧，易于表述成含 x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；例1、已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q (2, 0)，圓C的方程為X?1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與 MQ的比等于常數(shù)(0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡?！窘馕觥吭O(shè)MN切圓C于N，貝U MN2x2 y2 -1 -，. (x -2)2 y22 2 2 2 2化簡(jiǎn)得(-1)(x y ) x (14 ) = 05(1)當(dāng)，=1時(shí)，方程為x，表示一條直線。4(2)當(dāng)/. -1時(shí)，方程化為(x -2九$ 2 -11 32表示一個(gè)圓。 如圖，圓O1與圓02的半徑都是1,01。2=4 過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓02、圓02的切線PM , PN ( M ,N分別為切點(diǎn))，使得PM二2PN 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程【解析】以O(shè)1O2的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則。1(-2,0) , 02(2,0).由已知 PM =.$2PN，得 PM2 =2PN：因?yàn)閮蓤A半徑均為1 ,所以2 2PO-2 -1 =2(PO； -1) 設(shè) P(x , y),則2 2 2 2(x 2) y 1 =2(x -2)y -1,即(x6)2 - y2 =33.(或 x2 y2 -12x 3=0)評(píng)析：1、 用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一