數(shù)列通項(xiàng)公式習(xí)題

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法幾種常見的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法一、觀察法例：根據(jù)數(shù)列的前 4 項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，9999， （2）14916 ,（ ）2121234, 4,（4） ,1,2,31031,25173252345二、公式法例： 已知數(shù)列 an 是公差為 d 的等差數(shù)列， 數(shù)列 bn 是公比為 q 的(qR 且 q1)的等比數(shù)列， 若函數(shù) f (x) = ( x 1)2，且 a1 = f (d 1)，a3 = f (d+1)， b1 = f (q+1)，b3 = f (q 1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；練習(xí) .等差數(shù)列an 是遞減數(shù)列，且 a2

2、 a3a4 =48， a2a3 a4 =12，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）(A) an 2n12 (B) an 2n 4 (C)an 2n 12(D) an 2n 10三、累加法：an 1an( )f n例.若在數(shù)列an中， a13 ， an 1an n ，求通項(xiàng) an 。練習(xí) 1. 已知數(shù)列 an 滿足 a11 ， an 1 an1，求 an 。2n2n練習(xí) 2. 已知數(shù)列 an 滿足 a13 ， an1(n 2) ，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式 .an 1n(n1)1答案： an 2n四、疊乘法： an 1 = f (n)· an例：在數(shù)列 an中， a1 =1,(n+1)· an 1

3、 =n· an ，求 an 的表達(dá)式。練習(xí)：已知數(shù)列an 中， a11 ，前 n 項(xiàng)和 Sn 與 an 的關(guān)系是 Sn n(2n 1)an ，試求通項(xiàng)公式 an 。3五、 Sn 法：利用 anSnSn 1(n2)S1(n1)注意： 要先分 n=1 和 n 2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例：已知下列兩數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn 的公式，求 an 的通項(xiàng)公式。（1） Snn 3 n 1。（ 2） snn21六、待定系數(shù)法（輔助數(shù)列法，型如：例：已知數(shù) an 的遞推關(guān)系為 an 1an 12ananm.(1，且 a10且1求通項(xiàng)1，m an 。R) ）練習(xí)： 在數(shù)列 an

4、 中， a11 ， a22 ， an 22 an 11 an ，求 an 。33an =73(1)n 1443七形如an 1panqn例.在數(shù)列 an 中a11, an 12an2n ( nN ), 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式試卷21 題： 在數(shù)列 an 中a11,an 12an2n (nN ),(1) 設(shè)bnann1 .證明 bn 是等差數(shù)列。 2八倒數(shù)法求通項(xiàng)：例：已知數(shù)列annN ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。an 中 a11 且 an 1（）an1，九 . 形如 an 1panr 型 ( 其中 p,r為常數(shù)， p>0， an0) 用對(duì)數(shù)法 . 兩邊取對(duì)數(shù)得 lg an 1lg( p anr

5、) ，lg an 1 lg pr lg an ，設(shè) blg a 原等式變?yōu)閎n1rbnlg p 即變?yōu)榛拘?。nn例. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 an 滿足 a1 1 ， an 2an21 （n2）. 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 .練習(xí) 數(shù)列 a n 中， a11 ， an2an 1 （ n 2），求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式 .答案： an22 2 2 n數(shù)列的前 n 項(xiàng)求和的求法1. 公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1 的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論. ；常用公式：1 2 3n1 n( n 1) ， 1 22 2n21n ( n 1)(2 n 1) ，2612

6、3n例、已知 log 3xxxx的前 n 項(xiàng)和 .，求 xlog 2 32. 分組求和法 ：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.例、 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： 11, 14 , 17 , ,13n2 ，aa 2an1練習(xí) : 求數(shù)列 (n+1)(2n+1)的前 n 項(xiàng)和 Sn.3. 倒序相加法 ：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n 和公式的推導(dǎo)方法） .例、求 sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 的值練習(xí)

7、： 求 cos2 89cos2 88cos2 87cos2 2cos2 1. 的值4. 錯(cuò)位相減法 ：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)方法） .例、 求和： S 1 3* x 5*3 27*3 3(2 n 1)*3 n 1n練習(xí)、求數(shù)列2, 4, 6, 2n,前 n 項(xiàng)的和 .2222 32n5. 裂項(xiàng)相消法 ：如果數(shù)列的通項(xiàng)可 “分裂成兩項(xiàng)差” 的形式， 且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和 .常用裂項(xiàng)形式有：111 ；11 (11) ；11111)k )k1)(n2)2n(nnn1n(nknnn(nn(n1) ( n 1)(n 2)1=n1n111 (11 )等等。nn 1k2k 21 2 k 1 k 1例、 求數(shù)列11,1,的前 n 項(xiàng)和 .12,n23n112n，又 bn2練習(xí)： 在數(shù)列 an中， ann 1，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)的和 .n 1 n 1anan 18nSnn16、并項(xiàng)求和法：針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在