完整word版,倒立擺系統(tǒng)的建模及Matlab仿真

1、第2頁共11頁倒立擺系統(tǒng)的建模及 Matlab仿真1.系統(tǒng)的物理模型考慮如圖（1）所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個(gè)小車上。這里僅考慮倒立擺在圖 面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維問題。z卜 9 v'.- m1 <! LI,1LI7Z / Z .圖（1）倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質(zhì)量：m=0.1g擺桿的長(zhǎng)度：l =1n小車的質(zhì)量:M=1kgt 力加速度：g=9.8m/s2擺桿的質(zhì)量在擺桿的中心。設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件 （由干擾引起）時(shí)，最大超調(diào)量 < 10%調(diào)節(jié)時(shí) 間ts < 4s，通過小車的水平運(yùn)動(dòng)使倒立擺保持在垂直位置。2.系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1

2、建立倒置擺的運(yùn)動(dòng)方程并將其線性化。為簡(jiǎn)化問題，在數(shù)學(xué)模型中首先假設(shè)：1）擺桿為剛體；2）忽略擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦；3）忽略小車與接觸面間的摩擦。設(shè)小車瞬時(shí)位置為乙擺心瞬時(shí)位置為（z l sin根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線遠(yuǎn)動(dòng)方向的慣性力應(yīng)與）,在u作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速遠(yuǎn)動(dòng), u平衡，于是有即:d2zd2Mr mr(zdt2dt2Isin ) U2(M m)z ml cos ml sin u繞擺軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性力矩與重力矩平衡，因而有第4頁共11頁10即:zcos以上兩個(gè)方程都是非線性方程,立，在試駕合適的外力條件下,項(xiàng)。于是有聯(lián)立求解可得d2mdp(z l sin ) l cos mglsi

3、n2 2 - -l cos l sin cos g sin為求得解析解，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直接近于零時(shí)合理的，則sin ,cos1，且可忽略2(Mm)zml umgM(MMlm)1一u M1一uMl2.2列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。選取系統(tǒng)變量 X1, X2, X3, X4，X1,X2,X3,X4 T 貝UXiX2X2X3X4陰X3MX4(M m)MlX31 u MlddtX1代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到:00000011(M0 mg M0m)gMl0 0 X Cx00,B 0 1 0 11T,C0丄M u Ax Bu丄Ml10 00,D 0第16頁共11頁3. 設(shè)計(jì)控制器3.1判斷

4、系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性Qk B AB A2Ba3b010110100101110，rank( Qk)=4,故被控對(duì)象完全可控110由特征方程2( 211)0解得特征值為0, 0，。出現(xiàn)大于零的特征值，故被控對(duì)象不穩(wěn)定希望的極點(diǎn)n=4.3.2確定希望的極點(diǎn)選其中一對(duì)為主導(dǎo)極點(diǎn)3和S2，另一對(duì)為遠(yuǎn)極點(diǎn)，認(rèn)為系統(tǒng)性能主要由主導(dǎo) 極點(diǎn)決定，遠(yuǎn)極點(diǎn)只有微小影響。根據(jù)二階系統(tǒng)的關(guān)系式，先確定主導(dǎo)極點(diǎn)p e '10.1可得 0.59，于是取0.6 ;取誤差帶0.02有ts ，貝U n 1.67，閉環(huán)n主導(dǎo)極點(diǎn)為S,2nj J12 =-10.8j,遠(yuǎn)極點(diǎn)選擇使它和原點(diǎn)的距離大于主導(dǎo)極點(diǎn)與原點(diǎn)距離的5倍，

5、取S3,4153.3采用狀態(tài)反饋方法使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點(diǎn)狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為u kx， k k。k1k2 k3 ；狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x (A BK)x Bv，其特征多項(xiàng)式為I (A BK)4 (k1k3)3 (k0 k2 11)2 10k110ko希望特征多項(xiàng)式為(15)2(10.8 j)(1 0.8j)4332286.64499.2369比較以上兩式系數(shù)，解得狀態(tài)反饋矩陣 k36.949.92334.5481.924. 設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器4.1判斷系統(tǒng)的能觀性Qg C AtC (At)2C (At )3C100001000010000 ，rank( Qg )=4,故被控對(duì)象完全可觀14.2

6、確定觀測(cè)器的反饋增益全維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為x (AGC)xBvGCx;其特征多項(xiàng)式為I (A GC)4 g0(g1 11) 2 (11go(11gl g3)取觀測(cè)器的希望極點(diǎn)為:(15)2(1 0.8 j)(-45，-45，-3+3j，496 310.8j);則希望特征多項(xiàng)式為2583 21377034650-3-3j比較以上兩式系數(shù)，解得觀測(cè)器反饋矩陣 G96 25941482664984T5. 降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)5.1建立倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程設(shè)小車位移z由輸出傳感器測(cè)量，因而無需估計(jì)，可以設(shè)計(jì)降維(三維)狀態(tài)觀測(cè)器，通過重 新排列被控系統(tǒng)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)變量

7、與輸出傳感器測(cè)得的狀態(tài)變量 分離開。將z作為第四個(gè)狀態(tài)變量，則被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為ddt0001101100100000010 u10簡(jiǎn)記為:X1X2A1A21AA22X1X2b1b2I1X1X2式中XiA11X2A21被控系統(tǒng)的乂1A11X1111，A120T0， b1101T0TA21 =0 ,b20, I1n-q維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為v， zA21X1式中 v人2$b1ubjU, z y A込 b2uy zz為子系統(tǒng)輸出量。故倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為5.2.判斷子系統(tǒng)的可觀測(cè)性ddt0 10 00 11A1=0 -1 0;0 0 1;0 11 0;C1= 1 0 0

8、;Qg1=obsv(A1,C1);r=ra nk(Qg1)運(yùn)行Matlab程序；結(jié)果為r=3,故該子系統(tǒng)可觀測(cè)降維狀態(tài)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為X1Ai1hA21b,hb2 u 每hA21 h Ai2 hA22 yhy式中h= h0 h1 h2 T?？紤]被控對(duì)象參數(shù),單倒置擺降維觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為X1h。 1 h1 0 h211ho h1hcAhcAh2 y11h1h。h1 yh25.3確定三維狀態(tài)觀測(cè)器的反饋矩陣三維狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為IA11hA21llho h23 ho 211 h1設(shè)希望的觀測(cè)器閉環(huán)極點(diǎn)為-45，-3+3j，351 2-3-3j，則希望特征多項(xiàng)式為453 3

9、j 3 3j288810比較以上兩式系數(shù)，解得h= 51299-1371故所求三維狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為512991371011230213878 y66632X1y100001000010000051299 _ y 137116. Matlab仿真分析6.1源程序通過Matlab對(duì)用全維狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的倒置擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，下面是文件名為 Inv ersio n_pen dulum_system .m 的源程序%倒立擺系統(tǒng)建模分析%a)判斷系統(tǒng)能控性和能觀性clear all;clcA=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0；1；0;-1;C=1

10、 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=ra nk(Uc);n=size(A);if rc=ndis pCThe system is con trolled.)elseif rcvndis pCThe system is uncon trolled.)endVo=obsv(A,C);ro=ran k(Vo);if ro=ndis pCThe system is observable)'elseif ro=ndis pCThe system is no observable)'end%b)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性P=p oly(A),v=roots (P)Re=real(v)

11、;if(le ngth(fi nd(Re>0)=0)dis p('The system is un stable and the ubstable po les aOe:' v(fi nd(Re>0)elsedis p('The system is stable)'end% c)極點(diǎn)配置與控制器-全維狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)與仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15; po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B, pc),G=acker(A'Q ,po)'Gp=ss(A,B,C,D); %將受控

12、過程創(chuàng)建為一個(gè)LTI對(duì)象 disp('受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型：');H=tf(G P)Af=A-B*K-G*C;dis PC觀測(cè)器一一控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0)%將觀測(cè)器-控制器創(chuàng)建為一個(gè)LTI對(duì)象dis PC觀測(cè)器一一控制器的極點(diǎn)：');f_po les=po le(Gc)Gp Gc=G p*Gc;%控制器和對(duì)象串聯(lián)dis PC觀測(cè)器一一控制器與對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：');Gcl=feedback(G pGc,1,-1)%閉環(huán)系統(tǒng)dis pC閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)：');c_po les=po le(Gcl)c_z

13、eros=tzero(Gcl)lfg=dcgai n(Gcl)%低頻增益N=1/lfg %歸一化常數(shù)T=N*Gcl;%將N與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)x0=100 10 30 10 0 0 0 0;% 初始條件向量t=0:0.01:1' %時(shí)間列向量r=0*t;%零參考輸入y t x=lsim(T,r,t,x0);% 初始條件仿真plot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8) %由初始條件引起的狀態(tài)響應(yīng) title('bf狀態(tài)響應(yīng)')lege 門£|(1',収2',収3',収4',仆&匕,21&

14、amp;匕,31&,収41&0figure (2)ste p(T)title('bf階躍響應(yīng)')figure(3)impu Ise(T)title('bf脈沖響應(yīng)')6.2程序運(yùn)行結(jié)果The system is con trolled. The system is observable. P =0 -111003.3166-3.3166The system is un stable and the ubstable po les are: ans =3.3166K =-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G =9

15、62594-14826-64984受控對(duì)象的傳遞函數(shù)模型Tran sfer fun cti on:sA2 - 1.776e-015 s - 10sA4 - 11 s2觀測(cè)器控制器模型:x1x2x3x4x1-96 -2557 1.483e+004 6.495e+004x2149.920-49.92x30333.50-323.5x4081.921-81.92x1x2x3x4u1-96 -2594 1.483e+004 6.498e+004yix1 x2 x3 x436.9 49.92 334.5 81.92yiu10Con ti nu ous-time model.觀測(cè)器一一控制器的極點(diǎn)：f_po

16、 les =1.0e+002 *-1.4948 + 1.8786i-1.4948 - 1.8786i1.7424-0.0328觀測(cè)器一一控制器與對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)模型:x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8x1000096 2594 -1.483e+004 -6.498e+004x210000000x30-10110000x400100000x5036.90 -36.9-96 -2557 1.483e+004 6.495e+004x1x2x3x4x5x6x7x8 b =x6 0 49.920 -49.92149.92 0 -49.92x70334.50 -334.50333.50 -323.5x8081.920 -81.92081.921-81.92x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8u10000-96 -2594 1.483e+004 6.498e+004y1d =x1x2x3x4x5x6x7x8100 0 0 00 0u10y1Con ti nu ous-time model.閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)：c_po les =-45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i-3.0000 - 3.0000i-1.0000 + 0.8000i-1.0000 - 0.8000ic_zeros =3.16230.226