圓錐曲線中焦點三角形問題

1、圓錐曲線中焦點三角形問題焦點三角形是圓錐曲線的兩個焦點與圓錐曲線上任意一點組成的三角形，以這個三角形的某些元素作為條件的圓錐曲線問題稱為焦點三角形問題。焦點三角形是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，本文將介紹一些關(guān)于焦點三角形問題的解法。一、周長問題x2 y2例1 、F2是橢圓 二 J 1 (a b 0)的兩個焦點，A是橢圓上任一點，求 AF1F2的 a b周長。分析 由于 AF1F2的三邊由AF1、F1F2、AF2構(gòu)成，故考慮運用橢圓的定義。解據(jù)橢圓的定義有| AFi |+| AF2 = 2a , | F i| |F2 | 2c ,則 AFR的周長為2a 2c。22x y 變式Fi、F2是橢圓一2 彳

2、1 (a b 0)的兩個焦點， A是橢圓上任一點， AFi的延長 a b線交橢圓于點B ,求 ABF2的周長。解 Q| AF1 | | AF2 | 2a , | BF1 | |BF21 2a,ABF2 | AB | | AF2 | | BF21 | AF1 | | AF21 | BF11 | BF2 | 2a 2a 4a小結(jié)：解此類題關(guān)鍵是運用圓錐曲線的定義。二、面積問題22XVi例2 % F2是橢圓一 彳 1 (a b 0)的兩個焦點，P是橢圓上任一點，F(xiàn)1PF2a b求AF1F2的面積。解設(shè) | PF1 | m,| PF2| n由橢圓定義可知，m+n= 2a。2 b2可得mn 1 cos,

3、2 .b tan。（ 1）2在 PF1F2中，運用余弦定理有SPFF 2mnsin 2 sin1 21 cos由此類比雙曲線可得到1 (a b 0)的兩個焦點，P是橢圓上任一點，F(xiàn)1PF2求AF1F2的面積。,2，、PF1F2b cot (2)2公式(1)、(2)對于焦點在y軸上的橢圓和雙曲線同樣成立。小結(jié)：此結(jié)論一般稱為焦點三角形的面積公式，一般運用于客觀題的解題。 求解圓錐曲線中的面積問題一般會利用余弦定理來求解。在解圓錐曲線的問題中，有些選擇題或填空題，如果用常規(guī)方法去解題，無疑是小題大做，這在考試特別是高考中，是非常不可取的。運用特殊解法，不但可以節(jié)省時間，還可提高準確率。2 2例3已

4、知雙曲線方程為 y- 1, F1、52是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上任一點,43F1PF260 求 AF1F2 的面積。分析若是客觀題，可直接代入焦點三角形面積公式得：三、最值問題22x y例4已知橢圓萬程為二、1(a b 0), Fp F2分別為其左右兩焦點，P為橢圓上a b任意一點，=F1PF2,求(1) 的最大值；(2) PFF2面積的最大值;(3) PF1F2的周長的最大值。解(i)法一設(shè)| PF1 | m,| PF2 | n由橢圓定義可知,m+n=2a。在 PF1F2中，運用余弦定理有2mncosF1F24c2又Q 2a24mn,mn2a2 (當(dāng)且僅當(dāng)m n時等號成立)又因當(dāng)(0,

5、)時，ycos單調(diào)遞減,b2八arccos(2 2 i) a且在mn時,b2取得取大值arccos(2 i)或者 ab2arccos(2 i)a又Q 2a即P位于橢圓短軸端點時,m n a時，取得最大值。取得最大值。法二 設(shè)P(x0, yo),由焦半徑公式可知:在 FiPF2 中，cosPFiPFi2|PFi|PF2224a 4c2 PFi PF2即P位于橢圓短軸端點時,(2)過點P作F1F2的垂線，垂足為PFiF1F24b2PFia ex。(PFi I|PF2 )2 2PFi PF2 4c2 2PFi PF2I2(a exo )(a ex。).2b2 di = -一。ia e xo取得最大值

6、。H。令 PH hoQ| Fi F2 | 2c ,當(dāng)h為最大時，三角形的面積取得最大值。即當(dāng)P位于橢圓短軸端點時，三角形面積取得最大值。(3)據(jù)橢圓的定義有 | PF1 |+| PF21= 2a , |FiF2| 2c ,貝U PFF2 的周長為 2a 2c。即PFiF2的周長無最大值。小結(jié)：解焦點三角形有關(guān)的最值問題，主要是利用圓錐曲線的第一定義，并借助正弦定理、 余弦定理以及均值定理和函數(shù)的單調(diào)性等來解決。四、離心率問題2 x 例5 Fi、F2是橢圓-yab2i (a b 0)的兩個焦點，P是橢圓上任一點,PFiF2,PF2Fi,求橢圓的離心率。PFisinPF2FiF2I PFi I I

7、PF2Isin sin()sin sin小結(jié)：已知“焦點三角形”的兩個角，求其離心率，一般利用正弦定理、等比定理、橢圓的 定義及三角函數(shù)等有關(guān)知識來求解。雙曲線也有類似結(jié)論。22例6已知橢圓方程為 二 二 1(a b 0),兩焦點分別為F1,F2,設(shè)焦點三角形PF1 F2 a b中 F1PF2，則 cos 1 2e2.證明：設(shè)PFi n,PF23則在F1PF2中，由余弦定理得：至上1 2a2 22c2 1 1 2e2.命題得證。2()22a2例7已知橢圓的焦點是 F1(一 1,0)、52(1,0)1為橢圓上一點,且| F1F2I是| PF1|和|PF2| 的等差中項.(1)求橢圓的方程；(2)若點 P 在第三象P且/ PF1F2=120° ,求 tanFPF2.解：(1)由題設(shè) 2 | F1F2 | = | PF1 | 十 | PF2 |-1 2a = 4 ,又 2c= 2,b= <322橢圓的方程為 y= 1. 43(2)設(shè)/ f1pf2= e ,則/ pf2F1=60° e1橢圓的離心率e.32sinsin(60o2則 1 )2 sin120o sin(60o )整理得：5sin 0 = J3 (1 + cos 0 )5、311cc2火 sn -故 tan , tanFPF2= tan 8 =-1 cos 5253