北京四中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)基本不等式提高知識(shí)梳理

1、基本不等式【考綱要求】一-一，一人,，、 a b1 .了解基本不等式 Tab 的證明過程，理解基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)>2取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2 .會(huì)用基本不等式j(luò)ab a-b解決最大(小)值問題.23 .會(huì)應(yīng)用基本不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實(shí)際問題【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】柯西不等式基本不等式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩個(gè)重要不等式及幾何意義1 .重要不等式：如果a,b R,那么a2 b2 2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)“=").2 .基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么ab Tab (當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)“=").2要點(diǎn)詮釋：a2

2、 b2 2ab和-b Vab兩者的異同：2(1)成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求 a,b都是正數(shù)；(2)取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)”。2, 2“、22_、a b a b 一a b 2(3) a b 2ab可以變形為： ab , Jab可以變形為： ab ().2223.如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC a, BC b ,過點(diǎn)C作DC AB交圓于點(diǎn)D, 連接AD、BD.易證 Rt ACD Rt DCB，那么 CD 2 CA CB ,即 CD 每.這個(gè)圓的半徑為a_b,它大于或等于CD,即9 JOB,其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) C與圓

3、心重合，即a b 22時(shí)，等號(hào)成立.a b要點(diǎn)詮釋：1.在數(shù)學(xué)中，我們稱 J_b為a,b的算術(shù)平均數(shù)，稱 Jab為a,b的幾何平均數(shù).因此基本2不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平土數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)a b2.如果把a(bǔ)_b看作是正數(shù)a,b的等差中項(xiàng)，、ab看作是正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以2敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)要點(diǎn)二、用基本不等式 加 ab求最大（?。┲?在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，

4、取得最值。要點(diǎn)三、幾個(gè)常見的不等式1) a2 b2 2ab a,b R ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào)。a b，一 -, ，一 “ 一2) Vab a,b R ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào)。2ab_一1一 一3) 2a b 0；特別地：a 2a 0；b aa4)2aba ba,b R135)1 .二維形式的柯西不等式：(1)向量形式：_ur ir ur ur設(shè)，是兩個(gè)向量，則| | | | |,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù) k,使 k 時(shí)，等號(hào)成(2)代數(shù)形式：若a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，則(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)，等號(hào)成立；若a、b、c、d都是

5、正實(shí)數(shù)，則 Ja2 b2 Jc2 d2 ac bd ,當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)，等號(hào)成立；若a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，則 Va2b2 后d7 | ac bd |,當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時(shí)，等號(hào)成立；要點(diǎn)詮釋：柯西不等式的代數(shù)形式可以看作是向量形式的坐標(biāo)化表示；(3)三角形式：設(shè)xi，x2,yi,y2R,則VxijVx2y2v(xiX2)(yiy2)°2 .三維形式的柯西不等式(代數(shù)形式) ：2222222右 a1，a2, a3, bi ,b2 ,b3都頭數(shù)，則(aia2a3)(bib2b3)(aibia2b2a3b3),當(dāng)且僅當(dāng)bi0,(i i,2,3)或存在實(shí)數(shù)k,使得aikbi (ii,2

6、,3)時(shí)，等號(hào)成立。3 . 一般形式的柯西不等式(代數(shù)形式) ：若 ahazas， , an ,bi,b2,b3, ,bn,都是實(shí)數(shù),則(ai a2an )(bib2bn )(aibi a2b2anbn ) ,當(dāng)且僅當(dāng)bi 0,(i i,2, ,n)或存在實(shí)數(shù)k,使得aikbi(i i,2,n)時(shí)，等號(hào)成立?！镜湫屠}】類型一：基本不等式扁"b求最值問題2【高清課堂：基本不等式394847基礎(chǔ)練習(xí)二】ci i 例i .設(shè)a b 0 ,則a2 一1一的最小值是 ab a(a b)A. i【解析】B. 2C. 3D. 42 ia -aba(a b)ia(a b)ia(a b)ababab

7、ia(a b)(ab當(dāng)且僅當(dāng)【答案】D舉一反三：a(a b)ababa(a b)gPa、2時(shí)取等號(hào)2【變式1】已知x y0,且 xyy22心-的最小值及相應(yīng)的 x, y值.x y【解析】x y 0,x2 y2 2 (x y)2 2xy 2 ,、4 o "4一 ,( v口(一 (x y)2 (x y) 4x yx yxy，"xyx y 0當(dāng)且僅當(dāng) xy 3 即 0 時(shí)，ymin 1 3時(shí)取等號(hào)4 y 1x y x y23, y 1 時(shí)，上2 一，一2取最小值4.【變式2】求下列函數(shù)的最大(或最小)值1， 一(1) y x (x 0);x 1一 25一(2) y 2x2(x 0

8、)；x(3) y x(5 2x)2, (0 x 5)2，八1,1、(4) y x , (x 一)；.2x 12 y 2x100 x2 , (0 x 10)【解析】(1) . x 0 , x 1 1 , . y x 1六 1 2(x11)(x 1) 1 11當(dāng)且僅當(dāng)x 1,即x 0時(shí)取等號(hào)x 12(2) . x 0, y 2x2x252x52x5 52x 2x當(dāng)且僅當(dāng)2x25即x2xJ 時(shí)，ymin .4333 100 .2(3) 0 xI-52x 0，一 一 、2 y x(5 2x)1 4x 5 2x 5 2x4x(5 2x)(5 2x)(4,31 103) N石25027當(dāng)且僅當(dāng)4xy ma

9、x25027(4) X1.2x 112x 1233(2x 1) 2 12x 112x 1，1當(dāng)且僅當(dāng) 2x 1 - 2x 1即x 1時(shí),ymin 2 . 0 x 10 , 100x2 0y 2x 100 x2. x2(100 x2)100 x2100當(dāng)且僅當(dāng)x2 100x2即x 5衣時(shí),ymax100【變式3】已知x一 一 190, y 0,且一一x y1,x y的最小值.【解析】方法一：Q x八八一 10, y 0,且一 xJ x y (x9)(x yy) 109x10 2 3 16（當(dāng)且僅當(dāng)y x9x即x 4, y y12時(shí)等號(hào)成立）x y的最小值是16.、，,1萬法二：由一 x- x 0

10、, y 09 10 2 (y 9)10 16當(dāng)且僅當(dāng)y 9 - y99-,即 y912時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x4.16.方法三:由1 x9xxy , . (x 1)(y9)10(x1) (y9)10 2. (x1)(y 9)10 616.當(dāng)且僅當(dāng)1 y 99 即-1 yy 12時(shí)取等x y的最小值是16.類型二：利用基本不等式證明不等式例2.已知0 a 1, 0 b1, 0 c 1,求證：（1a)b ， (1b)c, (1c）a中至少有一個(gè)小于1等于-4,1證明：假設(shè) 1 a b 1, 144,1又 1 a b , 1 b c1 a b 1 b c 1 c a3與*矛盾2【變式1】已知b、c都是正數(shù)，

11、求證:(a b)(b c)(c a)8abc【解析】一c都是正數(shù)2 ,一 ab（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)，取等號(hào)）2、bc（當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，取等號(hào)）2、ca（當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)，取等號(hào)）(ab)(b c)(c a) 2 . ab 2 , bc 2 ca 8abc (當(dāng)且僅當(dāng) a bc時(shí)，取等號(hào)）即(a b)(b c)(c a) 8abc.【變式2】已知x、y都是正數(shù)，求證： y x 2 ox y【解析】 X、y都是正數(shù)0, y 0, y xxyxyyx一一一2 2 （當(dāng)且僅當(dāng)一一即xy時(shí)，等萬成立）yx1 yxxy故包x 2.x y類型三：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例4.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下

12、部是邊長分別為 x、y （單位：m）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架圍成白總面積為 8m2.問x、y分別為多少（精確到0.001m）時(shí)用料最??？于是，框架用料長度為l2x 2y2 £x , 一一一 1 x【解析】由題息可得 x y -x - 8 , 222 T8x- y-4-（0 x472）。 xx4（3 、.2）x 16 2.16（；, 2）4 6 4.2。歷x 16 ,即x ； 48 472時(shí)等號(hào)成立。x 行此時(shí)，x 2.343, y 242 2.828。故當(dāng)x約為2.343 m , y約為2.828 m時(shí)用料最省。舉一反三：【變式1】某農(nóng)場有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12

13、m,現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建立一座豬圈，平面圖為矩形，面積為112m2,預(yù)計(jì)（1）修復(fù)1m舊墻的費(fèi)用是建造1m新墻費(fèi)用的25% , （2）拆去1m舊墻用以改造建成1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻的50%, （3）為安裝圈門，要在圍墻的適當(dāng)處留出1m的空缺。試問:這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費(fèi)用最??？【解析】顯然，使舊墻全部得到利用，并把圈門留在新墻處為好。設(shè)修復(fù)成新墻的舊墻為 xm，則拆改成新墻的舊墻為 (12 x)m,112224于是還需要建造新墻的長為2 士 (x 1) (12 x) 2x £24 13.xx設(shè)建造1m新墻需用a元，建造圍墻的總造價(jià)為y元，224貝U y

14、 x a 25% (12 x)a 50% (2x 13)a x7x 224a( 7) a(28、,2 7)4 x(當(dāng)且僅當(dāng)0224即x 8點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立)4 x故拆除改造舊墻約為12 8 J2米時(shí)，總造價(jià)最小.類型四：利用絕對(duì)值不等式求最值例5.不等式|x 4| |x 2| a對(duì)x R恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ；【解析】設(shè)t |x 41 | x 2,則t a對(duì)x R恒成立 tmin a, |x 4| |x 2| |(x 4) (x 2)| 6, . |x 1| |x 2|的最小值為 6,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 6.舉一反三：【變式1】求|x 4| |x 2|的最值【解析】由 |a| |b|

15、 |a b|得：|x 4| |x 2| |(x 4) (x 2)| 6,6 |x 1| |x 2| 6 . |x 1| |x 2|的最小值為 6,最大值為6.【變式2】不等式|1 2x| |2x 1| a對(duì)x R恒成立，則常數(shù) a的取值范圍是 【解析】設(shè) f(x) |1 2x| |2x 1|,則 f(x) a 對(duì) x R 恒成立f(x)max a, |1 2x| |2x 1| |(1 2x) (2x 1)| 2, |1 2x| |2x 1|的最大值為2 , 實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 2.類型五：利用柯西不等式求最值例6.設(shè)2x 3y 5z 29,求函數(shù)y 必1%，3y 4 5Zz 6的最大值.【解析】. (2x 1) (3y 4) (5z 6) 29 11 40，根據(jù)柯西不等式3 40 (1 1 1)(2x 1) (3y 4) (5z 6)(1 J2x 1 1 J3y 4 1 J5z 6)2,故 2x 1 3y 4 5z 6 2.30.372822當(dāng)且僅當(dāng)2x 1 3y 4 5z 6,即x 37, y *8,z 22時(shí)等號(hào)成立，6915此時(shí)，ymax 2 30舉一反三：【變式1】求函數(shù)y 5j 10 2x的最大值