橢圓中常見熱點(diǎn)問題

1、.橢圓中常見問題一、求直線方程、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、弦長(zhǎng)等常規(guī)問題（“常規(guī)求值”問題需要找等式）；知識(shí)點(diǎn)：x2y21( ab0)上， F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，B 為橢圓上頂點(diǎn)，F(xiàn)1BF2120 ，求1、 已知橢圓2b2a橢圓離心率 .x2y21( ab0)上， F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，B 為橢圓上頂點(diǎn)，F(xiàn)1 BF2 為等腰直角2、 已知橢圓2b2a三角形，求橢圓離心率 .3、 已知橢圓 x2y 21( ab0)上，F(xiàn)1 , F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 若在橢圓上存在點(diǎn)P 使 F1 PF2 1200 ，a2b2求橢圓離心率的范圍 .x2y21( ab0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為 A 、 B ，如果橢圓上

2、存在點(diǎn) Q ，使 AQB120 , 求橢4、 已知橢圓b2a2圓離心率的范圍。x2y 21( ab0)上， F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P使 PF14PF2 ，5、 已知橢圓2b2a求橢圓離心率的范圍 .22r( 1 ,1 ) 的直線 L 交橢圓與 A 、B 兩點(diǎn)。6、已知橢圓 xy1 (ab0).過點(diǎn)（ 2， 1）且方向向量為 aa2b222若線段 AB 的中點(diǎn)為 M ，求直線OM 的斜率（用 a、b 表示）；若橢圓的離心率為3 ，焦距為2，求線段 AB 的長(zhǎng)；3在的條件下，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1 ，求ABF1 的面積。二最值問題的常用方法：幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值

3、）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。;.7、已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1 、 F2 在 x 軸上，點(diǎn) P 為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F1PF2 的最大值為 90°，直線 l 過左焦點(diǎn) F1 與橢圓交于 A B 兩點(diǎn)， ABF2 的面積最大值為12（ 1）求橢圓 C 的離心率；（ 2）求橢圓 C 的方程?！窘馕觥浚海?1）設(shè) | PF1 |r1 ,| PF2 |r2 ,| F1F2 |2c , 對(duì)PF1 F2,由余弦定理 ,得cosF1 PF2r11r224c2( r1r2 )22r1r24c24a 24c214a24c2112e20 ，

4、解出e2 .2r1r22r1r22r1r22( r1r2 ) 222（ 2）考慮直線 l的斜率的存在性，可分兩種情況：i) 當(dāng) k 存在時(shí)，設(shè)l 的方程為 yk (xc)22橢圓方程為 xy1,A( x1 , y1), B(x2 , y2 )由e2.得 a22c2 ,b2c2a 2b22于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為x22 y22c20將代入，消去y 得 x22k2 ( x c)22c20,整理為 x 的一元二次方程，得(12k2 ) x24ck 2 x2c 2 ( k 21) 0.則 x1 、 x2 是上述方程的兩根且| x2x1 |22c1k 2，| AB|222c(1k2 )，12k 21k| x

5、2x1 |1 2k2AB 邊上的高| k |11k2| k |h12122c,S22c(2)2c| F F | sinBF F1k2211k2k222c2 1 k2 | k |22c2k2k412k 214k24k 422c212c2 .41k4k2ii) 當(dāng) k 不存在時(shí)，把直線xc 代入橢圓方程得y2 c,| AB |2c, S12c2c222由知 S 的最大值為2c2由題意得2c2 =12所以 c262b2a2122 故當(dāng)ABF2 面積最大時(shí)橢圓的方程為：x 2y 21.12262練習(xí)：已知橢圓x2y21(ab0)的離心率為6，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3 C：2b23a（）求橢圓C

6、的方程；x2y21AB max23（）設(shè)直線l 與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O 到直線 l 的距離為3 ，求 AOB 面積的最大2值三、“是否存在” 、過定點(diǎn)、定值問題的解題策略：;.“是否存在”問題方法：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無解；證明定值問題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明。8、如圖，橢圓C：x 2y2B， D，四邊形 OAMB是矩形（ O 為坐161的右頂點(diǎn)是

7、A ，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為4標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn) E， P 分別是線段 OA ， MA 的中點(diǎn)（ 1）求證：直線DE 與直線 BP 的交點(diǎn)在橢圓C 上（ 2）過點(diǎn) B 的直線 l1， l 2與橢圓 C 分別交于 R， S（不同于 B 點(diǎn)），且它們的斜率 k1， k2 滿足 k1?k2=1，求證：直線 SR 過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)4證明：（ 1）由題意， A （ 4，0），B（ 0， 2），D（ 0， 2）， E（2， 0）， P（ 4， 1），則直線 DE 的方程為 y=xy 2，直線 BP 的方程為 y1 x1BM4166聯(lián)立方程，可得直線DE 與 BP 的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(, )2255OEA x橢

8、圓 C ： xy1 ， (16 , 6 ) 滿足方程，直線 DE 與直線 BP 的交點(diǎn)在橢圓 C 上16455（ 2）直線解方程組BR 的方程為y=k1x+2Dx 2y21 ，可得x24(k x 2)216即 (1 4k2) x216 k x0 得x10或x216k116 412111 1,yk1x214k1 R 的坐標(biāo)為(16k12 ,28k12) k1?k2=1，直線 BS 的斜率 k21,1 4k114k1244k1直線 BS 的方程為 y1x2 ,4k1把 k1 用1代入得 S 的坐標(biāo)為 (116k12,8k1222) R，S 關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱 ,4k14k114k1 R， O， S

9、 三點(diǎn)共線 直線 SR 過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為O（ 0， 0）x2y21(ab0) 的左焦點(diǎn)為 F1 ，右焦點(diǎn)為 F2 ，離心率 e1，過 F1 的直線交橢圓于9、如圖，橢圓 E：b2a22A, B 兩點(diǎn)，且 ABF2的周長(zhǎng)為 8（）求橢圓E 的方程（）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx +m 與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x4 相交于點(diǎn) Q試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M ，使得以PQ 為直徑的圓恒過點(diǎn)M ？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解： (1)因?yàn)?|AB |AF 2| |BF 2| 8，即 |AF 1| |F 1B|AF 2| |BF 2|8，又 |AF 1| |AF

10、2| |BF 1| |BF 2| 2a，1，即c1a2 c2 3.所以 4a 8， a 2.又因?yàn)?ea ，所以 c 1，所以 b22;.x2 y2故橢圓 E 的方程是4 3 1.y kx m，(2) 由 x2 y2得 (4k2 3)x2 8kmx 4m2 120.4 31，因?yàn)閯?dòng)直線 l 與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) P(x0 0且 0， y )，所以 m0即 64k2m2 4(4k2 3)(4m2 12)0，化簡(jiǎn)得 4k2 m23 0.(*)此時(shí) x0 4km4k， y0 kx 0 m3，所以 P4k，3.4k2 3mmmmx 4，由得 Q(4,4k m)y kx m假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)

11、M 滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M 必在 x 軸上 4k3設(shè) M (x1,0)，則 MP ·MQ 0 對(duì)滿足 (*) 式的 m、 k 恒成立因?yàn)?MP m x1， m ， MQ (4 x1,4k m)， 16k4kx12 12k 3 0，整理，得 (4xk24x1 3 0.(*)由 MP ·MQ 0，得 m m 4x1 x1 m1 4)m x14x1 4 0，由于 (*) 式對(duì)滿足 (*) 式的 m， k 恒成立，所以2解得 x1 1.30，x 4x11故存在定點(diǎn)(1,0) ，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).MPQM練習(xí)：已知橢圓C 的中心在原點(diǎn) , 焦點(diǎn)在 x 軸上 , 離心率為

12、1 ,短軸長(zhǎng)為 4 3.2(I) 求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ;(II)直線 x=2 與橢圓 C 交于 P、 Q兩點(diǎn) ,A 、B 是橢圓 O上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn) , 且直線 AB 的斜率為1 .2求四邊形APBQ面積的最大值;設(shè)直線 PA的斜率為 k, 直線 PB 的斜率為 k, 判斷 k+ k 的值是否為常數(shù) , 并說明理由 .01212;.c ，依題意c6，x2y2a31 ，1練習(xí) 1：解：（）設(shè)橢圓的半焦距為b所求橢圓方程為a，33（）設(shè) A(x1，y1 ) ， B( x2， y2 ) （ 1）當(dāng) AB x軸時(shí)， AB3（ 2）當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 y kx

13、m 由已知m3 ，得 m23 (k21) 1 k 224把 ykxm 代入橢圓方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x26km ， x1x23(m21) 3k213k 2122(1 k 2 )36k2221)2m12(mAB(1k)( x2x1 )(3k21)23k 2112(k 21)(3k 21m2 )3(k 21)(9k 21)(3k 21)2(3k21)2312k 2312( k 0) 3129k46k211234 269kk 26當(dāng)且僅當(dāng)9k213k0時(shí)， AB3 ，k2 ，即 k時(shí)等號(hào)成立當(dāng)3綜上所述 AB max2S AOB1d | AB |3 即最大值為3 。22

14、2練習(xí) 2：解 :( ) 設(shè)橢圓 C 的方程為 x2y21(ab0)a 2b2由已知 b= 23離心率 ec1 , a 2b 2c 2, 得 a4a2所以 , 橢圓 C 的方程為 x 2y 211612( ) 由 ( ) 可求得點(diǎn) P、 Q的坐標(biāo)為 P(2,3) ,Q(2,3),則|PQ|6 ,;.設(shè) A x1 , y1, B( x2 , y2 ),直線 AB的方程為 y1 xt , 代人 x2y 21得 : x 2txt 2120 .21612由 >0, 解得4 t4 , 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2tx1 x2t 212四邊形 APBQ的面積 s16x1x23( x1x2 )24x1x23483t 2故當(dāng) t0, Smax12 32由題意知 , 直線 PA的斜率 k