等系數(shù)和線的應用(定稿)

1、等系數(shù)和線的應用廣東省英德中學（513000）陳國宗一、概述平面向量是高中數(shù)學的一個重點知識，也是一種重要的解題工具，更是歷年高考命題的熱點.向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，因此在處理問題時既 可以將向量問題代數(shù)化，也可以從數(shù)形結合角度進行分析.本文重點介紹利用等系數(shù)和線的方法解決向量線性表示中的系數(shù)和問題，并側重于從數(shù)形結合思想分析問題，讓讀者體會該方法的直觀性與簡潔性.二、基本理論uu uuuuuu1.三點共線定理：設OA,OB為平面內的一組基底，且OCuuu xOAuuuyOB三點共線的充要條件為x y 1.如圖1所示:,則 A,B,C事實上，根據(jù)三點共線定理，我們還可以得到更為一般的結論

2、.uuu uuuuuifuu2.等系數(shù)和線：設OA,OB為平面內的一組基底，且 OC xOA 直線AB上或者與AB平行的直線上的充要條件為uuuyOB，則點C在x y k（k為定值）.如圖2所示:F面給出該結論的證明:（1）充分性：已知xy k（k為定值）當k1時,根據(jù)三點共線定理知點C在直線AB上當k1時,在動點C的軌跡上任取兩點G,C2uuuruuruurruuuruurulu設OGX1OAyQBOC2冷OAy2OBQ x,y1X2y2 k則X2 X1(y2 yjumrumuruuurujuujuuurC1C2OC2OC1 (X2X1)OA (y2yJOB(X2 G BAumrurnC1C

3、2/BA即 C1C2/ AB綜上所述充分性成立.（2）必要性：uuu uuu并分別交OA,OB當點C在直線AB上時，根據(jù)三點共線定理易知x y 1.當點C在平行AB的直線上時，過點C作直線丨，使l / AB ,uuur設OAuuu uuur kOA,OBuuu kOB.Q A,C,B三點共線Luuruuuruuuruurruuu則OCOA (1)OBkOA (1)kOB令xk,y (1)k則x y k綜上所述必要性成立.（所在直線的延長線）于點A, B .如圖3所示:圖3因此，我們稱直線AB以及與AB平行的直線為等系數(shù)和線3.推論：根據(jù)上面的證明過程，我們可以得到以下結論. 如圖4所示：Luu

4、ruuu uuu若 OC xOA yOB，則 x yd2d1當?shù)认禂?shù)和線在0與直線AB之間時,x y 0,1 .當直線AB在等系數(shù)和線與0之間時,X y 1,CAuuABuuuiuuwxAE yAF，則 x y若uuu uuu 已知AB xAEuuuyAF且E,F為中點.三、等系數(shù)和線的應用一一求系數(shù)和或系數(shù)和的取值范圍 問題一 ：X y型.例題1.如圖5所示，在Y ABCD中，E,F分別為CD和BC的中點，解：如圖所示，連接EF ,延長AB交直線EF于點B .例題2.（2017全國II卷12題改編）在矩形ABCD中，AB 1,AD 2，動點P在uuu uuu以點C為圓心，且與BD相切的圓上

5、若AP xABuuuryAD，則x y的取值范圍為解：如圖所示，過點C作直線li/ BD作圓C的切線l2且12 BD過點A作BD的垂線分別交BD,li,l2于點E,F,G.易知 AE EF FG.當P落在直線BD上時，x y 1當P落在切線,2上時，x y需3.事實上，當P在圓C上運動時，等系數(shù)和線夾在直線BD與切線12之間，故x的取值范圍為1,3 .uLuruuu點評利用等系數(shù)和線方法處理形如OC xOAuuuyOB的系數(shù)和問題的基本步驟:連接AB，構造直線AB連接（延長）OC交直線AB于點C，則xy禺.必要時，應利用平行線分線段成比例計算協(xié)的值.對于x y的取值范圍問題，可以過動點C的軌跡

6、內作li/AB， AB 且 li,l2分別為距離O點最近與最遠的兩條平行線，則x y，其中d,di,d2分別為點O到直線AB,l1,l2的距離.問題二：ax by型.例題3.如圖6所示,在丫ABCD中，E,F分別為CD和uuuBC的中點，若ABuuu uuurxAE yAF，則 2x 4y解：如圖所示，作AF的中點F . 連接EF交AB于點uuu uuu uuur貝U AB xAE yAFB，易知B為AB的中點.uuu uuuuxAE 2yAFx 2yab 2故 2x 4y 2(x 2y)4.lullulu例題4. （2009安徽卷改編）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB ,它們的夾角為，如

7、圖7所示，點C在以0為圓心的圓弧Ab上運動.3uuur uuu uuu 若 OC xOA yOB，其中 x,y R.則x 2y的取值范圍為解：如圖所示，作OB中點b',連結ab',作弧Ab的切線丨，使I /AB .設切點為M，連結OM交Ab'于M 'LUUr UUL uuu uuu 貝U OC xOA yOB xOALULT2yOB當C落在直線ab'時，則x2y 1.當C落在切線丨時,x 2y|0M I|0AOMOMsinOAB在aob'中,OB'1，OA2'2ab'2 OA2'2OB2 2OA OB cos AO

8、BAB'且ABOBsin AOBsin OABsinOAB故點C在弧Ab上運動時，x 2 y min 1 x2 y max2/213Ix 2y的取值范圍為1,2尹點評禾用等系數(shù)和線的方法處理向量分解中的系數(shù)和問題時，應注意問題中待uuur UUUuLur求和的兩個數(shù)是否為基底的系數(shù).一般地，已知OC xOA yOB，求ax by的問uuur uuuruuuuuur uuu uuur題，可構造基底 OA,OB，使得OA aOA ,OB bOB，從而將問題轉化為以 ujLr uuurOA,OB為基底的系數(shù)和問題.uuuuuuruuuu問題三：AB xCD yMN型.例題5.如圖8所示，在丫

9、 ABCD中，M ,N為CD邊上的三等分點，0為AM與BN的交點,P,Q分別為AB,CD邊上的動點（不含端點).uuir 若PQuuuu uuurxAM yBN，則解法一：如圖所示，易知uuuu AMuuuu Luur40M , BNuur40NUULuuuuUULT由于 PQ 4xOM 4yONuur uuuuuLur設 OQ X1OM WON 貝U X1yiuuu uuuOP x2OAuuu ucuu y2OB3x2OMuult3y2ON 且 X2 y1.Luur LuurPQ OQuuuuuuuuurOP (x1 3x2)OM (y1 3y2)CLNC故 4x 4yxi 3x2 yi 3

10、y24UCUU uucuAN ,AQuuir 又PQuuuu xAMuuur yBNuuurucuuuuuu即AQxAMyANuuur uuu解法二：如圖所示，分別平移向量BN, PQ又N,Q,M三點共線故x y 1.例題6.如圖9所示，在正方形ABCD中，E為AB中點，P是 以A為圓心，AB為半徑的圓弧BD上的一動點.設uuuruuuruuuAC xDE yAP，則x y的取值范圍為解：如圖所示，過A點作AE DE，連接PE交AC （延長線）于點Cuuu uuuuuu UUULU uuu貝U AC xDE yAP xAE yAP故x y斜結合平行線分線段成比例知當P運動到D點時，易知此時AC|lACIlACI|AM|此時X y max 5當P運動到B點時，易知此時lAC-lACIAC|AN I此時1X Vmin 2y的取值范圍為2,5.' 1 >1 /；! /*E'注意等系數(shù)和線所描述的結論要求表達式中的三個向量共起點，若起點不點評一致，則可以考慮利用向量的減法法