非線性偏微分方程

1、非線性偏微分方程及其幾種解法綜述姓名：柏寶紅 學(xué)號(hào)：BY1004120 目錄1、緒論31.1背景41.2 現(xiàn)狀82、非線性偏微分方程的幾種解法102.1逆算符法102.2 齊次平衡法112.3 Jacobi橢圓函數(shù)方法132.4 輔助方程方法142.5 F-展開法162.6 雙曲正切函數(shù)展開法181、緒論以應(yīng)用為目的，或以物理、力學(xué)等其他學(xué)科問題為背景的微分方程的研究，不僅是傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)最主要的內(nèi)容，也是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.它是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用之間的一座重要橋梁，研究工作一直十分活躍，研究領(lǐng)域日益擴(kuò)大。目前微分方程研究的主體是非線性微分方程，特別是非線性偏微分方程(NLPDE)

2、.很多意義重大的自然科學(xué)和工程技術(shù)問題都可歸結(jié)為非線性偏微分方程的研究.現(xiàn)實(shí)生活的許多領(lǐng)域內(nèi)數(shù)學(xué)模型都可以用NLPDE來描述，很多重要的物理、力學(xué)等學(xué)科的基本方程本身就是NLPDE，另外，隨著研究的深入，有些原先可用線性微分方程近似處理的問題，也必須考慮非線性的影響，所以對(duì)NLPDE的研究，特別是NLPDE求解精確解的研究工作就顯示出了很重要的理論和應(yīng)用價(jià)值，但是數(shù)學(xué)研究的結(jié)果，在目前還未能提供一種普遍有效的求精確解的方法.20世紀(jì)50年代以來，人們對(duì)非線性現(xiàn)象的研究中提出了“孤子”的概念，進(jìn)而使得對(duì)NLPDE求解的研究成為非線性科學(xué)中的熱點(diǎn)。下面介紹一下孤立子理論的研究背景、研究現(xiàn)狀。1.1

3、背景孤立子理論己經(jīng)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的一個(gè)重要組成部分，在流體力學(xué)，等離子物理，經(jīng)典場論，量子論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。隨著近代物理學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展，早在1834年由英國科學(xué)家Russell發(fā)現(xiàn)的孤立波現(xiàn)象近二十多年來引起了人們的極大關(guān)注，對(duì)這一現(xiàn)象的興趣與日俱增.這是因?yàn)橐环矫婀铝⒆泳哂辛Ｗ雍筒ǖ脑S多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理論也成功地解釋了許多物理上長期用經(jīng)典理論未能解答的現(xiàn)象;另一方面，隨著孤立子物理問題的深入研究，孤立子的數(shù)學(xué)理論也應(yīng)運(yùn)而生，并已初步形成比較完善的理論體系。孤立子理論自1965年由Zabusky和Kruskal對(duì)孤立子(Soliton，簡稱孤子)命名后

4、得到了迅速地發(fā)展.究其原因是孤波現(xiàn)象無所不在，從天上渦旋星系的密度波，線，超流氦一3，超導(dǎo)JosePhson結(jié)，磁學(xué)，結(jié)構(gòu)相變，液晶，流體動(dòng)力學(xué)以及基本粒子等，都與孤子有關(guān).其發(fā)展大致可分三個(gè)階段：第一階段，主要是在19世紀(jì).最早討論孤立子問題的是ScottRussell。1844年英國工程師Russell發(fā)現(xiàn)船在運(yùn)河中快速行駛著，當(dāng)這條船突然停止時(shí)，在船頭附近產(chǎn)生了一個(gè)光滑的、像小山包一樣的水波，然后這個(gè)水波離開船頭保持它的形狀和速度保持不變，接著這個(gè)水波的高度逐漸減少，最后在運(yùn)河的一個(gè)拐彎處消失掉，他把這種水波稱為孤立波，認(rèn)為它就是流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)穩(wěn)定解.直到1895年，荷蘭阿姆斯特丹大學(xué)的

5、Korteweg教授和他的學(xué)生 devries才一成功導(dǎo)出了著名KdV方程，求出了與Russell描述一致的即具有形狀不變的脈沖狀的孤立波解，在理論上證實(shí)了孤立波的存在，并對(duì)孤立波現(xiàn)象作了較為完整的分析，解釋了Russell的淺水波，解決了這個(gè)問題。他們的數(shù)學(xué)模型為 （1.1）孤立波解為：后人稱為1一孤立子解，如果令，那么在平面上的圖為圖1.1所示圖1.1 光滑孤立子在平面上的圖形1965年美國數(shù)學(xué)家Kruskal和abusky對(duì)KdV方程的孤立波解進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，他們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)孤立波相撞之后，各自的運(yùn)動(dòng)方向和大小形狀都保持不變.這種性質(zhì)與物理中粒子的性質(zhì)類似，因此他們稱這種孤立波為孤立子.在通常

6、情況下，人們把孤立波和孤立子混為一談，不把它們區(qū)別開來。與此同時(shí)，在1876一1882年發(fā)現(xiàn)的Backlund變換，成為后來發(fā)展孤子理論的重要基礎(chǔ)。第二階段大致可劃在1955一1975年。1955年，F(xiàn)ermi，Pasta，Ulam(FPU)將64個(gè)質(zhì)點(diǎn)用非線性彈簧連成一條非線性振動(dòng)弦，用計(jì)算機(jī)計(jì)算了一維非線性晶格在各個(gè)振動(dòng)模之間的轉(zhuǎn)換。初始時(shí)，這些諧振子的所有能量都集中在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，其他63個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始能量為零。按照經(jīng)典的理論，只要非線性效應(yīng)存在，就會(huì)有能量均分，各態(tài)歷經(jīng)等現(xiàn)象出現(xiàn)，即任何微弱的非線性相互作用，可導(dǎo)致系統(tǒng)的非平衡狀態(tài)向平衡狀態(tài)的過渡。但實(shí)際計(jì)算的結(jié)果卻與經(jīng)典理論是背道而馳.實(shí)

7、際上，經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間之后，能量似乎又回到了原來的初始分布，這就是著名的FPU問題。由于FPU問題是在頻域空間考察的，未能發(fā)現(xiàn)孤波解，因此該問題未能得到正確的解釋。后來，人們發(fā)現(xiàn)可以把晶體看成具有質(zhì)量的彈簧拉成的鏈條，這恰好是Fermi研究的情況。Toda研究了這種模式的非線性振動(dòng)，得到了孤波解，使FPU問題得到正確的解答，從而進(jìn)一步激發(fā)起人們對(duì)孤立波的研究興趣。1965年，zabusky和Kxusal對(duì)等離子體中孤立波的相互碰撞過程進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬，進(jìn)一步證實(shí)了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不變的論斷，并且把它命名為孤立子(soliton)，它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質(zhì)的解

8、，以及具有相應(yīng)的物理現(xiàn)象，它的性質(zhì)具體為：(1)能量比較集中；(2)孤立子相互碰撞時(shí)具有彈性散射現(xiàn)象。從此孤立子理論的研究工作得到了迅速發(fā)展。第三階段(1973至今)，把孤子概念及理論廣泛應(yīng)用于物理學(xué)，生物學(xué)，天文學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，開展了高維孤子的研究.1980年非線性效應(yīng)?？疨hysicaD問世，與此同時(shí)，光纖中的孤子已在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生出來.此后的發(fā)展更是突飛猛進(jìn)。綜上所述，孤立子理論的產(chǎn)生和發(fā)展是與近代物理密切相關(guān)的.孤立子理論不但包括了有關(guān)的數(shù)學(xué)理論，也包括了物理理論，數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和物理的啟發(fā)性和實(shí)用性兩者相互結(jié)合，相互依存，相互滲透，相互促進(jìn)，使孤立子理論顯示出強(qiáng)大的生命力，這也是現(xiàn)代自然科學(xué)

9、發(fā)展的重要特征之一。孤立子一詞雖被廣泛引用，但無一般性定義數(shù)學(xué)中，將孤立子理解為非線性偏微分方程的局部行波解，所謂局部是指微分方程的解在空間的無窮遠(yuǎn)處趨于零或確定常數(shù)的情況。換言之，孤立子指的是穩(wěn)定的孤立波，即與同類孤波碰撞后不會(huì)消失，而且波形、波速和幅度不會(huì)改變或只有微弱改變的孤立波.在物理中，孤立子被理解為經(jīng)典場方程的一個(gè)穩(wěn)定的有限能量的不彌散的解，即能量集中在一個(gè)狹小的區(qū)域內(nèi)且相互作用后不改變波形和波速。許多非線性發(fā)展方程，如KdV方程、Sine一Gordon方程、Boussinesq方程、KP方程，Toda晶格方程等都具有孤立子解.孤立子除常見的鐘型和扭型外還有包絡(luò)孤子、哨孤子、拓?fù)湫?/p>

10、孤子和非拓?fù)湫怨伦?、呼吸子、亮孤子和暗孤子、正孤子和反孤子以及它們疊加而形成的形形色色的孤立子。1.2 現(xiàn)狀求解微分方程是古老而在理論和實(shí)際上又很重要的研究課題，顯示解，特別是行波解可以很好的描述各種物理現(xiàn)象，如振動(dòng)、傳播波等.但由于非線性微分方程的復(fù)雜性，至今仍有大量的重要方程無法求出精確解，即使己經(jīng)求出精確解，也各有各的技巧，至今尚無一般的求解方法。所幸的是孤立子理論中蘊(yùn)涵著一系列構(gòu)造精確解的有效方法，如反散射法(IST)、Bäcklund變換法、Darboux變換法、Hirota雙線性法、 Painlev有限展開法，延拓法及Lie群法等。隨著各種求解方法的出現(xiàn)，不但過去難以求解

11、的方程得到解決，而且許多新的，具有重要物理意義的解不斷被發(fā)現(xiàn)和利用。1967年，Gardrier等人發(fā)明了求解KdV方程的逆散射方法(也稱為非線性)，這一方法利用量子力學(xué)中的Schrodinger方程特征值問題(正散射問題)及其反問題(反散射問題)之間的關(guān)系，經(jīng)過求解Gelfand一Levitan一Marck一enko線性積分方程而給出KdV方程初值問題的解。它不僅對(duì)應(yīng)用技術(shù)提供了嶄新的方法和概念，而且對(duì)數(shù).學(xué)自身的發(fā)展也有深遠(yuǎn)影響。隨后，Lax將該方法加以綜合和推廣，使之能夠用于求解其他非線性偏微分方程的初值問題，從而逐步形成一種系統(tǒng)的求解方法。1972年，Zakharov和Shabat推廣

12、了這一方法，求出高階KdV方程，立方Sehrodinger方程等的精確解。Ablowitz，Kaup，Newell和Segur則更加一般化反散射方法。李詡神、田疇、屠規(guī)章教授等也為發(fā)展反散射方法做了很好的工作。1971年，Hirota所引進(jìn)的雙線性變換法(Hirota方法)，是構(gòu)造非線性偏微分方程N(yùn)一孤立子解及其Backlund變換的一種重要而直接的方法。1975年，Wahlquit和Estabrook提出延拓結(jié)構(gòu)法，以外微分形式為工具，給出尋找與反散射方法相聯(lián)系的線性特征值問題的系統(tǒng)的方法。1991年，李詡神教授基于對(duì)稱約束提出一種非線性偏微分方程的直接的變量分離方法；隨后，樓森岳教授等提出

13、另一種更有效的直接變量分離法得到了許多的(2+l)維非線性發(fā)展方程的精確解。精確求解非線性發(fā)展方程的工作具有重復(fù)性、固定的套路和規(guī)律、計(jì)算量大的特點(diǎn)，計(jì)算機(jī)代數(shù)的出現(xiàn)使人們擺脫了刻板、大量而重復(fù)的計(jì)算，提高了速度保證了準(zhǔn)確率.1996年，Parkes和Duffy給出了求非線性發(fā)展方程孤立波解的雙曲正切函數(shù)法的Mathematiea程序包。王明亮教授等基于非齊次項(xiàng)與高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)平衡的原則，將非線性方程齊次化、代數(shù)化，提出了齊次平衡法。近年來提出并發(fā)展起來的齊次平衡方法，實(shí)際上是求非線性偏微分方程精確解的一種指導(dǎo)原則，故也稱為齊次平衡原則。依據(jù)該原則，可事先判定某類非線性偏微分方程是否有一定形式的精

14、確解存在，如果回答是肯定的，則可按一定的步驟求出它來，并同時(shí)得到其滿足某些條件的Backlund變換。因而齊次平衡原則具有直接、簡潔、步驟分明的特點(diǎn)，再者，還適用于計(jì)算機(jī)的符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，且得到的是精確的結(jié)果.至今，齊次平衡原則在非線性數(shù)學(xué)物理中已得到廣泛的應(yīng)用，且其應(yīng)用范圍正在不斷的擴(kuò)展，己成為處理非線性數(shù)學(xué)物理相關(guān)問題的有效工具之一。所以，近年來在齊次平衡原則下又發(fā)展了多種求解非線性偏微分方程精確解的方法：像Tanh一函數(shù)法，Sine一Cosine方法，Jacobi橢圓函數(shù)展開法，Riccati方程方法及F一展開法等。這些方法一般都借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)(Mathematica或Map

15、le)，求解方便、直接，而且可以對(duì)解進(jìn)行數(shù)值模擬以便于直觀分析解的性質(zhì)。2、非線性偏微分方程的幾種解法2.1逆算符法據(jù)逆算符方法的基本思想，把偏微分方程改寫為： （2.1）其中L和R是線性微分算子，Nu是非線性項(xiàng)。算子L是可逆的，作用逆算子于上式兩邊得到 （2.2）其中滿足（2.1）及初始條件，根據(jù)逆算符方法可以分解為一系列分量之和 （2.3）利用回歸關(guān)系可以得到 （2.4）非線性項(xiàng)F(u)= 可以表示為無限級(jí)數(shù)之和 （2.5）其中是Adomian多項(xiàng)式，定義為 （2.6）利用（2.3）和（2.4）可以依次解出，從而得到方程的解 （2.7）業(yè)已證明Adomian分解法是收斂的，而且收斂速度相當(dāng)

16、快，能夠得到精確解。2.2 齊次平衡法齊次平衡法是一種求解非線性偏微分方程非常重要的方法，它將非線性發(fā)展方程的求解問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算。利用這種方法不僅可以得到方程的Backlund變換，而且能得到非線性偏微分方程的新解.該方法的大致步驟如下：對(duì)于給定一個(gè)非線性偏微分方程 （2.8）這里P一般是其變?cè)亩囗?xiàng)式，其中含有非線性項(xiàng)及線性出現(xiàn)的最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。一個(gè)函數(shù)稱為是方程(2.8)的擬解，如果存在單變?cè)瘮?shù)，使得關(guān)于的一些偏導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)?shù)木€性組合，即 （2.9）精確的滿足（2.8）和（2.9）中的非負(fù)整數(shù)，單位元函數(shù)以及函數(shù)都是待定的，將（2.9）代入（2.8）中可以通過以下步驟確定它們：首先，

17、使高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)中包含的的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次和非線性項(xiàng)中包含的關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次相等，來決定非負(fù)整數(shù)是否存在。其次，集合的偏導(dǎo)數(shù)的最高冪次的全部項(xiàng)，使其系數(shù)為零，而得滿足的ODE，解之可得，一般是對(duì)數(shù)函數(shù)。第三，將的各階導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)，用的較高階的導(dǎo)數(shù)來代替，再將的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別合并在一起，并令其系數(shù)為零，而得的各次齊次型的PDE組，可適當(dāng)選擇 (2.9)中線性組合的系數(shù)，使PDE組有解。最后，若前三步的解答使肯定的，將這些結(jié)果代入（2.9），經(jīng)過一些計(jì)算就得（2.8）的精確解。從（2.9）中可以看出，如果是方程（2.8）的一個(gè)解，則通過上述步驟就可以得到方程的Backlund變換。2.3 J

18、acobi橢圓函數(shù)方法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為 （2.10）其中和分別為波數(shù)和波速將展開為下列Jacobi橢圓正弦函數(shù)的級(jí)數(shù): （2.11）它的最高階數(shù)為 （2.12）因?yàn)?（2.13）其中和分別為Jacobi橢圓余弦函數(shù)和第三種Jacobi橢圓函數(shù)，且 （2.14）為模數(shù)，且 （2.15）由（2.13）式，可以認(rèn)為的最高階數(shù)是 （2.16）類似地，有 （2.17）在（2.11）)式中選擇n，使得非線性偏微分方程（2.8）中的非線性項(xiàng)和最高階數(shù)項(xiàng)平衡，將(2.11)代入非線性偏微分方程 (2.8)中，并利用 (2.14)和 (2.15)，可將方程 (2.8)變成關(guān)于的多

19、項(xiàng)式.置的各次冪次的系數(shù)為零，得關(guān)于的代數(shù)方程組。解上述方程組，將結(jié)果代入（2.11）中，得（2.8）Jacobi橢圓函數(shù)解。應(yīng)該指出的是，因?yàn)闀r(shí)，（2。11）式就退化為 （2.18）所以此方法包含了雙曲正切函數(shù)展開法。2.4 輔助方程方法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為 （2.19）其中和分別為波數(shù)和波速。 將式（2.19）代入方程（2.8）中，則（2.8）化為的非線性常微分方程（NODE）： （2.20）設(shè)可表示為的有限冪級(jí)數(shù)： （2.21）這里的是待定參數(shù)，為一常數(shù)，由非線性偏微分方程(2.8)中具有支配地位的非線性項(xiàng)和最高階數(shù)項(xiàng)平衡得到，滿足如下新的輔助常微分方程 （2.22）其中為待定參數(shù)。將（2.21）代入NODE（2.20）中，利用（2.22）可將方程（2.20）左邊變成的多項(xiàng)式。令的各冪次的系數(shù)為零，可得關(guān)于的代數(shù)方程組。解上述方程組，可解得，將結(jié)果代入（2.21）中，得（2.8）的行波解的一般形式。利用表2.1，適當(dāng)選取A，B，C，的值，可得方程（2.8）的一些特殊解。2.5 F-展開法考慮非線性偏微分方程（2.8），尋求它的行波解為 （2.23）其中和分別為波數(shù)和波速。將式（2.23）代入方程（2.8）中，則（2.8）化為的非線性常微分方程（NODE）： （2.24）設(shè)可表示為有限冪級(jí)數(shù)： （2.25）這里是待定常數(shù)，滿足下列一階常微分方程: