實(shí)驗(yàn)22按年齡分組的種群增長模型

1、實(shí)驗(yàn)22按年齡分組的種群增長模型實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、利用常差分方程建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)；2、學(xué)會用MATLAB軟件計(jì)算出模型的相關(guān)問題。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、用常差分方程建立按年齡分組的種群增長模型；2、用MATLAB軟件求按年齡分組的種群模型的一些問題。實(shí)驗(yàn)步驟問題 野生或飼養(yǎng)的動物因繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而減少，不同年齡動物的繁殖率、死亡率有較大差別，因此在研究某一種群數(shù)量的變化時，需要考慮按年齡分組的種群增長。將種群按年齡等間隔地分成若干個年齡組，時間也離散化為時段， 給定各年齡組種群的繁殖率和死亡率(在穩(wěn)定環(huán)境下不妨假定它們與時段無關(guān))，建立按年齡分組的種群增長模型，預(yù)測未來各年齡組的種群數(shù)量，

2、并討論時間充分長以后的變化趨勢。模型及其求解 設(shè)種群按年齡等間隔地分成 n個年齡組，記i =0,1,2,., n，時段記作 k =0,1,2，且年齡組區(qū)間與時段長度相等(若 5歲為一個年齡組，則 5年為一個時段)。 以雌性個體為研究對象比較方便，以下種群數(shù)量均指其中的雌性。記第i年齡組在時段k的數(shù)量為xi(k)；第i年齡組的繁殖率為 bi，表示每個(雌性)個 體在一個時段內(nèi)繁殖的數(shù)量；第i年齡組的死亡率為dj,表示一個時段內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)的比。S =1-di是存活率。為建立Xi(k)的變化規(guī)律，我們注意到：第1年齡組在時候k +1的數(shù)量為各年齡組在第 k時段繁殖的數(shù)量之和，即nX1(k +1)y

3、bxi(k)k =0,1；"(22.1)而第i +1年齡組在時段k +1的數(shù)量是第Xi 十(k+1)=sx(k)i記在時段k種群各年齡組的數(shù)量為X(k)=(X1(k),X2(k),，Xn(k)T。i年齡組在時段k存活的數(shù)量，即= 1,2,，n- 1,k =0,1(22.2)(22.3)167這樣，有(22.4)Xk41(k+1)=Lx(k), k=0,1將X(k)歸一化后的向量記做 X(k),稱種群按年齡的分布向量。給定在 0時段，各年齡組的 初始數(shù)量X(0)，就可以預(yù)測任意時段k各年齡組的數(shù)量。設(shè)一種群分成5個年齡組，已知繁殖率0=0,6= 0.2, bs = 1.8, b4 =

4、0.8, b5 = 0.2,存活 率s =0.5, S2 =0.8, S3 =0.8, S4 =0.1。各年齡組現(xiàn)有數(shù)量都是100只，下面我們用MATLAB 計(jì)算 X(k)。%按年齡分組的種群增長clear allb=0,0.2,1.8,0.8,0.2;%對角陣，對角元素為 0.5,0.8,0.8,0.1s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;s,zeros(4,1); x(:,1)=100*o nes(5,1); K=45;%構(gòu)造矩陣L%賦初值x(:,k+1)=L*x(:,k);end%迭代計(jì)算round (x), y=diag(1./sum(x);z=x*y,k=0:K;s

5、ub plot(1,2,1), plot(k,x),grid sub pl ot(1,2,2), plot(k,z),grid 將x(k)歸一化后的向量記做 時段在數(shù)量上占總數(shù)的百分比。%為向量X歸一化做的計(jì)算% z是向量X的歸一化%在一個圖形窗內(nèi)畫兩張圖X(k)，稱為種群按年齡分組的分布向量，即各年齡組在for k=1:K%sum(x)對列求和y=diag(1./sum(x);Z=x*ysub plot(1,2,2), plot(k,z),gridsub plot(1,2,2), plot(k,z),grid得到的結(jié)果見表22-1、表22-2和圖22.1、圖22.2。表22-1 x(k)的部

6、分計(jì)算結(jié)果k123456404142434445X1(k)100300220155265251544557572586601616X2(k)1005015011077132265272279286293301X3(k)10080401208862207212217223229234X4(k)1008064329670161165170174178183X5(k)1001086310161617171718表22-2 X( k)的部分計(jì)算結(jié)果k123434445X1(k)0.20000.57690.45640.45590.45590.4558X2(k)0.20000.09620.31120.22

7、220.22230.2223X3(k)0.20000.15380.08300.17340.17340.1734X4(k)0.20000.15380.13280.13530.13530.1353X5(k)0.20000.01920.01660.01320.01320.0132結(jié)果分析從上述圖表可以看出，時間充分長以后種群按年齡分組的分布向量 穩(wěn)定，這種狀況與 Leslie矩陣的如下性質(zhì)有關(guān)(設(shè)矩陣L第一行有兩個順序的矩陣L有單特征根打，對應(yīng)特征向量為；1-nTX = (1,s/1 ,S1S2 九1 ,S1S2.Sn"1 )對于L的其他特征根 有I科C% (i =2,3,，n)，且由(2

8、2.4)式確定的 x( k) *lim ' / =cx ，其中c是與bi，Si，x(0)有關(guān)的常數(shù)(請讀者在矩陣L可對角化的條件下證明(x(k)趨于bi大于零)：(22.5) x(k)滿足(22.6)22.6)式)。7000X 1 (k)I'l1 Ix 2 (k)X 3 (k)J 1X 4 (k)X 5 (k)600500400300200100204060169圖22.1 X(k)的圖形圖22.2從上到下依次為x；(k)到x5(k)的圖形(22.7)由上述性質(zhì)可以對時間充分長以后的(1)記歸一化的特征向量 x"為X，則x(k)俺 Xx(k) , x(k)做出如下分析

9、(以下與x(0)無關(guān)，即按年齡組的分布向量x(k)趨向穩(wěn)定分布X。 因?yàn)閤(k)止ckkx”，所以x(k +1)止 Ax(k)即各年齡組的數(shù)量按照同一比例兀增減，A稱固有增長率。(3)由L的特征方程卩一(b,An° + Sib2And+.+s1S2.snbn) =0(22.8)(22.9)可知，當(dāng)b, +s,b2 +SS2b2 中. + S,S2.Sn Jbn =1 時固有增長率 A =1，各年齡組的數(shù)量不變，且由(22.5)式知特征向量*TX = 1,S1,8)82 ,., nSQ.Sn， 再注意到x(k)s：ckkx"，(22.11)式給出Xi + (k)止 sx(k)

10、即存活率si等于同一時段相鄰年齡組的數(shù)量之比。(4)用本例的數(shù)據(jù)對上面的穩(wěn)態(tài)分析作驗(yàn)證。1) 用MATLAB可得矩陣L的全部特征根，其中最大的為打=1.0254，由容易計(jì)算特征向量Z，歸一化得 x=【0.4559, 0.2223, 0.1734, 0.1353,2.6 X(k)的計(jì)算結(jié)果相近，即(22.7)式。2) 在x(k)的計(jì)算結(jié)果中(表 22.1 )，對于大的k和i =12.,5, Xi(k+1)/Xi(k)的值在 入1 =1.0254附近(X5(k)的值較小，取整后計(jì)算誤差較大)，即(22.8)式。3) 因=1.0254比1略大可以由表22-1或表22-2對于大的k近似驗(yàn)證(22.12

11、)式。(22.10)(22.11)(22.12)問題與思考練習(xí)1 Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡(給出了變化過程的基本規(guī)律)。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵 150個。假設(shè)每個卵發(fā)育成 2 周齡成蟲的概率為 0.09(稱為成活率)，2周齡成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的概率為 0.2。1）假設(shè)開始時，02, 24, 46周齡的昆蟲數(shù)目相同，計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù)目；2）討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有一個穩(wěn)定 值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？3）假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除

12、蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？練習(xí)2按年齡分組的種群增長一般模型及靈敏性分析對于某種群建立數(shù)學(xué)模型分析其數(shù)量變化規(guī)律。這里分析的對象是特定的種群，變化過對每一時段的種群取相同的最大 在下一個時段全部消失。考慮每 b和存活率si。程可以按相等間隔的時段末來記錄。為了精確表現(xiàn)種群的變化，自然需要將種群進(jìn)行分類， 不妨按與時間段長度相同的年齡進(jìn)行分組。為了簡化模型，年齡，這里相當(dāng)于認(rèn)為很大年齡的那部分視作為相同年齡， 一時段中不同年齡組種群數(shù)量構(gòu)成的向量、不同年齡組的繁殖率1）建立差分方程分析種群的變化規(guī)律；2）進(jìn)行種群數(shù)量的穩(wěn)定性分析，即時間充分長以后種群年齡結(jié)構(gòu)及數(shù)量變化；3）

13、對bi和si關(guān)于種群的增減進(jìn)行靈敏性分析（提示：考慮由bi和si所構(gòu)作的新參數(shù)R=bi +匕2$ +.+ bns1.sn，解釋這個參數(shù)的實(shí)際意義，并利用它進(jìn)行靈敏性分析）。補(bǔ)充知識如下矩陣L稱為Leslie矩陣代0F1F2FnAFn、P)00 00L =0:Pb0b+0h0b1000 巳40>,Fj >0,0< j < n； R >0,1 <0< n-1171材，屁Mn，將它們的模按從大到小的順序排列（不妨 /0為矩陣的主特征值，如果基本概念：設(shè)矩陣的特征值為鼻0 A打，則稱z0為嚴(yán)格主設(shè)為）：糾打| >糾人I，則稱特征值。Leslie矩陣L的幾個基本性質(zhì)：（1） Leslie矩陣L有唯一的正單特征值 Z0 （重?cái)?shù)為1），且