平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算(提高)-學(xué)案

1、全國(guó)名校，高中數(shù)學(xué)，必修四，優(yōu)質(zhì)學(xué)案，自學(xué)，寒暑假輔導(dǎo)專(zhuān)題匯編13授課主題第07講-平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算授課類(lèi)型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié) 了解向量、向量的相等、共線(xiàn)向量等概念；教學(xué)目標(biāo) 掌握向量、向量的相等、共線(xiàn)向量等概念； 熟練掌握向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則：加法法則，減法法則，數(shù)乘法則。授課日期及時(shí)段T (Textbook-Based )司步課堂知識(shí)梳理*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入如圖7- 1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一輛車(chē)，效果一樣嗎?數(shù)量（標(biāo)量），例如質(zhì)量、1、平面向量：在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，有兩種量.只有大小，沒(méi)有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等.時(shí)間、溫度、面積、密度

2、等.既有大小，又有方向的量叫做平面上帶有指向的線(xiàn)段（有向線(xiàn)段）叫做平面向量，線(xiàn)段的指向就是向量的方向，線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小.如圖7-2所示，有向線(xiàn)段的起點(diǎn)叫做平面向量的起點(diǎn)，有向線(xiàn)段的終點(diǎn)叫做平面向量的終點(diǎn).A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作 AB .也可以使用小寫(xiě)英文字母，印刷用黑體 表示，記作a;手寫(xiě)時(shí)應(yīng)在字母上面加箭頭，記作a .2、向量的模長(zhǎng)：向量的大小叫做向量的模.向量a, AB的模依次記作|a| , |AB .3、零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是 任意的.4、單位向量： 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度 的向量叫做單位向量.5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又

3、稱(chēng)為 共線(xiàn)向量，任一組平行向量 都可以移到同一直線(xiàn)上.規(guī)定：0與任一向量 平行.6、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.7、相反向量：與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量.規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量.二、平面向量的基本運(yùn)算:般地，Aa+ 4 b叫做a, b的一個(gè)線(xiàn)性組合（其中a，卩均為系數(shù)）如果I =a a +卩b,則稱(chēng)I可以向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算都叫做向量的線(xiàn)性運(yùn)算.1、三角形法則：位移AC叫做位移AB與位移BC的和，記作 7C=AB+£.C一般地，設(shè)向量a與向量b不共線(xiàn)，在平面上任取一點(diǎn) A（如圖7-3），依次作AB= a, BC =b,則向量AC

4、叫做向量a與向量b的和，記作a+ b，即a+ b = AB + BC = AC(7. 1)求向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則.2、平行四邊形法則:如圖7-4所示，ABCD為平行四邊形，由于 AD =BC，根據(jù)三角形法則得C圖7 - 4T T T I TAB + AD = AB + BC = AC這說(shuō)明，在平行四邊形 ABCD中， AC所表示的向量就是 AB與AD的和.這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則不適用于共線(xiàn)向量，可以驗(yàn)證，向量的加法具有以下的性質(zhì):(1)a+ 0 = 0 + a = a; a +(- a) = 0;(2) a+

5、 b= b+ a;(3) (a + b) + c = a + ( b+ c).3、平面向量減法法則:與數(shù)的運(yùn)算相類(lèi)似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量 a與向量b的差.即a - b = a+ (- b).設(shè) a = Oa , b ，貝yOAOB =OA+(扇=OA總="BA .(7. 2)OA -OB = BA觀察圖7-5可以得到：起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量b,其差a b仍然是一個(gè)向量，叫做a與b的差向量,其起點(diǎn)是減向量b的終點(diǎn)，終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn).圖7 5一般地，實(shí)數(shù)A與向量a的積是一個(gè)向量，記作Za，它的模為卩“a 1=1 訕 a I(7. 3)若I ka |h0，則當(dāng)h&

6、gt; 0時(shí)，幾a的方向與a的方向相同，當(dāng) 幾v 0時(shí)，入a的方向與a的方向相反.由上面定義可以得到，對(duì)于非零向量a、b,當(dāng)幾HO時(shí)，有一般地，有數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做運(yùn)算滿(mǎn)足如下的法則:(1 ) 1a =a ,(T )a =aa II b= a =Ab0a = 0,入 0 = 0 .(7. 4)向量的數(shù)乘運(yùn)算，容易驗(yàn)證，對(duì)于任意向量 a, b及任意實(shí)數(shù)4 ,向量數(shù)乘(2 )(汕 h "(Pa )=卩(扎a ；(3+ P ja=ha+4a;(4) Z (a+ b)=Za +Ab.典例分析考點(diǎn)一：平面向量的基本概念 例1、給出下列結(jié)論: 兩個(gè)單位向量是相等向量； 若 a=b, b=c，

7、貝y a=c；若一個(gè)向量的模為 0,則該向量的方向不確定;.Nu若a與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則與c共線(xiàn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（A. 1個(gè)例2、下列說(shuō)法正確的是（A .向量aB與CD是共線(xiàn)向量，則).A, B , C, D必在同一直線(xiàn)上B .向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C .向量AB的長(zhǎng)度與向量BA的長(zhǎng)度相等D 單位向量都相等考點(diǎn)二：平面向量的線(xiàn)性表示例1、已知如圖7 14 （1）所示向量a、b，請(qǐng)畫(huà)出向量 a b.例2、用兩條同樣的繩子掛一個(gè)物體（圖 7 11）.設(shè)物體的重力為 k，兩條繩子與垂線(xiàn)的夾角為 日，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力F1與F2的大小.實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊P(P

8、ractice-Oriented)1.若a為任一非零向量，b為其單位向量，下列各式:a|a|>|b|; a / b; |a|>0; |b|= ±1;三=b.|a |其中正確的是（）A .B .C .D .實(shí)戰(zhàn)演練2.如圖四邊形 ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，則下列關(guān)系不一定成立的是A. |AB|= |EF|C. BD = EhB. Ab與fH共線(xiàn)D. DC與EC共線(xiàn)3如圖所示，在菱形 ABCD中，/ bad = 120 °則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 （A 圖中所標(biāo)出的向量中與 Ab相等的向量只有1個(gè)（不含AB本身）b .圖中所標(biāo)出的向量中與 Ab的模相等

9、的向量有 4個(gè)（不含AB本身）C. bD的長(zhǎng)度恰為DA長(zhǎng)度的73倍AD. CB與DA不共線(xiàn)4.四邊形abcd中，若AB與CD是共線(xiàn)向量，則四邊形 ABCD是（）A 平行四邊形b 梯形C 平行四邊形或梯形D不是平行四邊形也不是梯形5.已知 |OA|= |a|= 3, |Ob|= |b|= 3, / AOB = 90 ° 則 |a + b|=6.已知在菱形 ABCD 中，/ DAB = 60 ° 若 |Ab|= 2，則 |BC+ DC| =1m，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) a度，繼續(xù)沿直線(xiàn)向前行7.位模型賽車(chē)手搖控一輛賽車(chē)，沿直線(xiàn)向正東方向前行 進(jìn)1m，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) a度，按此方法繼續(xù)操作

10、下去.按1: 100的比例作圖說(shuō)明當(dāng) a= 60。時(shí)，操作幾次賽車(chē)的位移為零.(2)按此法操作使賽車(chē)能回到出發(fā)點(diǎn)，a應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？請(qǐng)寫(xiě)出其中兩個(gè).&如圖所示，在 ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的點(diǎn)，已知AD = dB ,DF = BE，試推斷向量DE與AF是否為相等向量，說(shuō)明你的理由.9.如圖所示，在 ABC中，P、Q、R分別為BC、CA、AB邊的中點(diǎn)，求證AP + BQ + CR= 0.課后反擊1把平面上一切單位向量平移到共同始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是A .一條線(xiàn)段B .一段圓弧C .兩個(gè)孤立的點(diǎn)D .一個(gè)圓2.把所有相等的向量平移到同一起點(diǎn)后，這些向量的

11、終點(diǎn)將落在A .同一個(gè)圓上B .同一個(gè)點(diǎn)上C .同一條直線(xiàn)上D.以上都有可能3.有下列說(shuō)法:時(shí)間、摩擦力、重力都是向量;向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù);相等向量一定是平行向量;共線(xiàn)向量一定在同一直線(xiàn)上.其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A .作用力與反作用力是一對(duì)大小相等、方向相反的向量B .向量可以用有向線(xiàn)段表示，但有向線(xiàn)段并不是向量C .只有零向量的模等于0D .零向量沒(méi)有方向5.如圖所示，圓 0上有三點(diǎn)A、B、C,則向量B0、0C、0A是（）A .有相同起點(diǎn)的相等向量B .單位向量D.相等的向量C .模相等的向量6. a、b、a+ b為非零向量，且 a+ b平分 a與b的夾角，貝U

12、 （）A . a= bB . DE + AF = 0c. AB+ bC+ cAm0D . AB +BC+ AC M0&在四邊形 ABCD中，aC= AB+ Ad，則四邊形 ABCD定是（）A 矩形B 菱形C .正方形D 平行四邊形9.某人從A點(diǎn)出發(fā)，向東走到 B點(diǎn)，然后，再向正北方向走了60m到達(dá)C點(diǎn).已知|AC|= 120m，求AC的方向和A、B的距離.10 .兩個(gè)力F1和F2同時(shí)作用在一個(gè)物體上，其中F 1= 40N，方向向東，F(xiàn)2= 43n，方向向北，求它們的合力.C. |al=|b|D 以上都不對(duì)7. ABC中，D、E、F分別是邊 AB、BC、AC的中點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是 （

13、）A. AE=Ad + fA直擊高考1【優(yōu)質(zhì)試題高考新課標(biāo) 2，理13】設(shè)向量a ,b不平行，向量Za+b與a + 2b平行，則實(shí)數(shù)A =2.【優(yōu)質(zhì)試題高考新課標(biāo) 1,理7】設(shè)D為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn) BC =3CD，則()A. AD 1AB+4AC331 r 4B . AD =-AB AC33D.忌丄AC333.【優(yōu)質(zhì)試題高考北京， 理13】在 ABC中，點(diǎn)M , N滿(mǎn)足=2MC ,品 =NC .若MN =XAB + yAC ,S(Summary-Embedded)歸納總結(jié)重點(diǎn)回顧1.向量的線(xiàn)性運(yùn)算(1)在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并 能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明;(2)向量的加法表示兩個(gè)向量可以合成，禾U用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問(wèn)題，減法的三角形法則應(yīng)記?。哼B接兩端(兩向量的終點(diǎn))，指向被減(箭頭指向被減數(shù)).記清法則是靈活運(yùn)用的前提.2.共線(xiàn)向量與三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題通常用來(lái)判斷三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上或兩直線(xiàn)平向量共線(xiàn)的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的