常系數(shù)高階線性非齊次微分方程

1、南陽(yáng)理學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）院:數(shù)理學(xué)院業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)生:王燦燦指導(dǎo)教師：童姍姍完成日期：2014 年05 月南陽(yáng)理工學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型研究Certain Types of higher order linear constant coefficientnon-homogeneous differential equation總計(jì)： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）20頁(yè) 表格：0個(gè) 插圖：0幅南陽(yáng)理工學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型研究Certain Types of higher order linear constant

2、 coefficientnon-homogeneous differential equation院:業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)名:王燦燦號(hào):105100140078數(shù)理學(xué)院指導(dǎo)教師（職稱(chēng)）：童姍姍（講師） 評(píng)閱教師: 完成日期： 2014南陽(yáng)理工學(xué)院Nanyang In stitute of Tech no logy常系數(shù)高階線性非L齊次微分方程的若干類(lèi)型研究數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)王燦燦摘要本文研究了常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的求解問(wèn)題，其關(guān)鍵是先求出相應(yīng)的齊次微分方程的通解，再求非齊次微分方程的特解。而求特解 的常用的待定系數(shù)法和常數(shù)變易法準(zhǔn)備知識(shí)過(guò)多、演算過(guò)繁，給學(xué)習(xí)使用帶來(lái) 不便。因此，本文對(duì)此

3、類(lèi)微分方程的若干類(lèi)型采用了新方法：升階法和微分算 子法。這兩種方法克服了傳統(tǒng)解法的缺點(diǎn)，且適用范圍廣、運(yùn)算量小、簡(jiǎn)單易 行，提高了常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的解題速度和準(zhǔn)確度。關(guān)鍵詞常系數(shù)高階線性非齊次微分方程；升階法；微分算子法Certain Types of higher order linear constant coefficientnon-homogeneous differential equationMathematic and App lied Mathematics WANG Can-canAbstract:This paper studies the problem of

4、 solving the non-constantcoefficie nts higher order lin ear homoge neous differe ntial equati on, the key is to find the gen eral soluti on of the corres ponding homoge neous differe ntial equati on, and the n seek sp ecial solutio n of non-homoge neous differe ntial equatio n. The Sp ecial Soluti o

5、n com monly used method of un determ ined coefficie nts and con sta nts Variati on prepare too much kno wledge of calculus is too comp lex, to lear n how to use theinconvenience. Therefore, this kind of certain types of differential equations using a new method: asce nding order and differe ntial op

6、 erator method. These two methods to overcome the shortco mings of traditi onal soluti on, and the wide scope of app licati on, a small amount of compu tati on is simpi e, i mp rove the sp eed and accuracy of solving higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equati on.Key

7、words: Higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equati ons; asce nding order; differe ntial op erator method常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型的研究刖言目錄1常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的傳統(tǒng)解法1.1待定系數(shù)法1.2常數(shù)變易法2、常系數(shù)高階線性非齊次微分方程若干類(lèi)型的新解法2.1升階法2.2微分算子法133、新解法相比傳統(tǒng)解法優(yōu)點(diǎn)18結(jié)束語(yǔ)18參考文獻(xiàn)19致謝20常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型的研究刖言常微分方程已有

8、悠久的歷史，繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，其主要原因 是它的根源深扎在各種實(shí)際問(wèn)題之中。牛頓最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問(wèn)題， 其中需要求解的運(yùn)動(dòng)方程是常微分方程，他以非凡的積分技巧解決了它，從而 在理論上證實(shí)了地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是一個(gè)橢圓，澄清了當(dāng)時(shí)關(guān)于地球?qū)?毀于太陽(yáng)的一種悲觀論點(diǎn)。另外，萊布尼茲也經(jīng)常與牛頓在通信中互相提出求 解微分方程的挑戰(zhàn)。嗣后，許多數(shù)學(xué)家，例如伯努利、歐拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等， 都遵循歷史傳統(tǒng)，把數(shù)學(xué)研究結(jié)合于當(dāng)時(shí)許多重大的實(shí)際力學(xué)問(wèn)題，在這些問(wèn) 題中通常離不開(kāi)常微分方程的求解問(wèn)題。海王星的發(fā)現(xiàn)是通過(guò)對(duì)常微分方程的 近似計(jì)算得到的，這曾是歷史上的一段佳話。在上

9、世紀(jì)早期，柯西給微積分學(xué) 注入了嚴(yán)格性的要素，同時(shí)他也為微積分的理論奠定了一個(gè)基石一解的存在性 和唯一性定理。到上世紀(jì)末期，龐卡來(lái)和李雅普諾夫分別創(chuàng)立了常微分方程的 定性理論和穩(wěn)定性理論，這些工作代表了當(dāng)時(shí)非線性力學(xué)的最新方法。本文研究常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的求解問(wèn)題。對(duì)于這類(lèi)微分方程 的求解，關(guān)鍵是先求出相應(yīng)的齊次微分方程的通解，在其基礎(chǔ)上再求非齊次微 分方程的特解。通解的求法本文只做初步研究，利用本文所給方法可以求得所 有常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的通解。針對(duì)在高等數(shù)學(xué)的其它分支及相關(guān)學(xué)科中常常出現(xiàn)求解高階非齊次線性微 分方程及一階非齊次線性微分方程組的問(wèn)題，將一階非齊次線性微分方

10、程的常 數(shù)變易法推廣到高階非齊次線性微分方程、一階非齊次線性微分方程組，得出 了其通解公式，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。利用歸并法是把常系數(shù)非齊次線性微 分方程的非齊次項(xiàng)所列類(lèi)型歸并成一種形式，利用待定系數(shù)法很容易求出特 解；公式法則是通過(guò)變換將二階常系數(shù)非齊次線性微分方程轉(zhuǎn)化為一階線性方 程，從而得出通解公式。這兩種方法簡(jiǎn)單易記，計(jì)算方便，適用范圍廣，而且 都可以推廣到任意高階常系數(shù)非齊次線性微分方程中去。對(duì)于常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的特解的求解方法，一般教科書(shū)介紹 的是待定系數(shù)法和常數(shù)變易法。這些方法雖然各有千秋，但存在共同的缺點(diǎn)： 不是準(zhǔn)備知識(shí)過(guò)多或過(guò)程太長(zhǎng)，就是演算過(guò)繁，給學(xué)習(xí)、使用帶來(lái)

11、不便。本文 在避免這些弊端的基礎(chǔ)上先探索出用升階法求特解的方法，所謂升階法即是通 過(guò)對(duì)原方程兩邊同時(shí)多次微分，直至出現(xiàn)常數(shù)為止。在微分過(guò)程中，函數(shù)的階 數(shù)升高了。接著為了使得計(jì)算量小且計(jì)算更加簡(jiǎn)便，本文進(jìn)一步探索引入新的 符號(hào)，這即是本文研究的求特解的第二種方法，用微分算子法求常系數(shù)高階線 性非齊次微分方程的特解。此微分算子法進(jìn)一步解決了計(jì)算量的問(wèn)題?？傊?本文研究的兩種方法不失為求解高階線性非齊次微分方程特解的好方法。1常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的傳統(tǒng)解法1.1待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求解常系數(shù)高階線性非齊次微分方程d nd nd.7)汁呦十)(1.1)11其中錯(cuò)誤！未找到引用源?；蛘咤e(cuò)誤

12、！未找到引用源。F面以二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為例:(1.2)y" + py + qy= f(x) (p,q為常數(shù))根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，其通解為 錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中丫為齊次方程 通解，y*為非齊次方程的特解。用待定系數(shù)法求解非齊次方程的特解：根據(jù)錯(cuò)誤！未找到引用源。 的特殊形式，給出特解 錯(cuò)誤！未找到引用源。 的待定形式，代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù)。(1)當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，其中入為實(shí)數(shù)，Pm(x)錯(cuò)誤！未找到引 用源。為錯(cuò)誤！未找到引用源。次多項(xiàng)式設(shè)特解為錯(cuò)誤！未找到引用源。，其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為待定多項(xiàng) 式，求導(dǎo)：y* =eMzQ(x) +Q&#

13、39;(x)】，y*e兀 k2Q(x) +2兀Q'(x) +Q7x)代入原方程，得:Q”(x)十(2幾 + p)Q'(x)十(匯 + ph +q)Q(x) = Pm(x)A + P幾+q H 0錯(cuò)誤！未為錯(cuò)誤！未找到引用源。次待定系 ,從而得到特解形式為 錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。不是特征方程的根，即 找到引用源。，則取錯(cuò)誤！未找到引用源。 數(shù)多項(xiàng)式錯(cuò)誤！未找到引用源。y* =e0(x);是特征方程的單根，即若錯(cuò)誤！未找到引用源。普 +pA+ q =0,2 + p HO，則錯(cuò)誤！未找到引用源。為錯(cuò)誤！未找到引用源。次多項(xiàng)式，故特解形式為 y =xQm(x)e必；

14、若錯(cuò)誤！未找到引用源。是特征方程的重根，即2入 + P A + q = 0,2 A + p = 0，則錯(cuò)誤！未找到引用源。為錯(cuò)誤！未找到引用源。次多項(xiàng)式，故特解形式為 錯(cuò) 誤！未找到引用源。，對(duì)于方程(1.2 )，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。是特征方程的錯(cuò)誤！未找到引 用源。重根時(shí)，可設(shè)特解形式為y =xkQm(x)ex( k = 0,1,2)綜上所述，對(duì)于非齊次微分方程y"+ py' + qy = eMPm(x)(p ,q 為常數(shù))其特解為0 Z不是根y =xkQm(x)e'x, k =k是單根(2 A是重根此結(jié)論可推廣到常系數(shù)高階線性非齊次微分方程。例1求方程錯(cuò)誤！未找

15、到引用源。的一個(gè)特解。解 該方程中錯(cuò)誤！未找到引用源。，而特征方程為錯(cuò)誤！未找到引用 源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。不是特征方程的根。設(shè)所求特解為 y -box + rn代 入方程：錯(cuò)誤！未找到引用源。比較系數(shù)，得錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得錯(cuò)誤！未找到引用源。于是所求特解為：八-x+丄。3例2求方程錯(cuò)誤！未找到引用源。的通解。解 該方程中錯(cuò)誤！未找到引用源。，特征方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。 其根為錯(cuò)誤！未找到引用源。，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 錯(cuò)誤！未找到引用 源。設(shè)非齊次方程特解為：*2 Xy =x(b0x+bi)e代入方程得:-2b0X -ti +2t0 =x，lb - 1比較系數(shù)得錯(cuò)誤！未找到引

16、用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。0 2，d 二 一1因此特解為:*12xy =x(-x-1)e。2所求通解為:C 2x , C 3x , 12 , 2xy-Ge+ C2e -(-x + x)e 。2(2)錯(cuò)誤！未找到引用源。f (X)=必p(x)co3x +(x)sineox時(shí)第一步，利用歐拉公式將 錯(cuò)誤！未找到引用源。變形為f(x)=eqP(x)e2e+Pn(x)e /1L,;，錯(cuò)誤！未找到引用=P(X )+ Pn(X ) e/Jiw x + I R(X )_ Pn(X ) L-.-iw j -2 2i Jt 2 _ 2i J源。m = maxn,|，錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。f

17、(X)=+Pm(x)egs = Pm(x)e('加x + Pm(x)e('加x。第二步，求如下兩方程的特解:jT+py ' + qy=pm(x)e(，錯(cuò)誤！未找到引用源。 yu py'+qy =Pn(x)e(嵌泊設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。是特征方程的錯(cuò)誤！未找到引用源。重根(k=0,1)，則 yUpy' + qy = Pm(x)e(妙也X特解y1 =xkQm(x)e(/Ex ( xkQm(x)為 m 次多項(xiàng)式)，故錯(cuò)誤！未找到引用源。(yi )"+ p(yi )' + qyi =Pm(x)e""如等式兩邊取共軛得:rrp

18、yi* +pyi* + qyi* =Pm(x)e()皿這說(shuō)明yi*為方程y“ + py'+qy =卩皿&歸()內(nèi)護(hù)的特解。第三步，求原方程的特解。對(duì)于原方程y u py' + qy = e'x lp(x)coseix + Pn(x)sin時(shí) x，利用第二步結(jié)果根據(jù)疊加原理，原方程有特解:y =yi +yi錯(cuò)誤!= xke曲 Rm coseox + m sinx未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。均為錯(cuò)誤！未找到引用 源。次多項(xiàng)式第四步，分析y*特點(diǎn)知錯(cuò)誤！未找到引用源。本質(zhì)上為實(shí)函數(shù)，因此錯(cuò) 誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。均為m

19、次實(shí)多項(xiàng)式綜上所述：對(duì)于非齊次微分方程y" + py7qy = * P（x）cosox + Pn（x）sin/ （錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)）其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。為特征方程的錯(cuò)誤！未找到引用源。重根（錯(cuò) 誤！未找到引用源。）則可設(shè)特解：其中, 程。y =ex P(x)cosBx + Pn(x)sin©x錯(cuò)誤！未找到引用源。此結(jié)論可推廣到高階方程線性非齊次微分方求方程錯(cuò)誤！未找到引用源。的一個(gè)特解。該方程中A=0,=2, P(X)= X, Pn(x) = 0 ,特征方程為幾2 +1 = 0，由于幾±血=垃）不是特征方程的根,故特解為錯(cuò)誤！

20、未找到引用源。代入方程得:(3ax -3b +4c) cos2x -(3cx +3d +4a)sin 2x = xcos2x ，比較系數(shù)，得錯(cuò)誤！未找到引用源。 源。解得錯(cuò)誤！未找到引用于是求得一個(gè)特解:*1丄.y = xcos2x+ sin2x 。 31.2常數(shù)變易法考慮一階線性非齊次微分方程汁(x)y+Q(x)(Q(x)H0)(2.1)若錯(cuò)誤！未找到引用源。Q（x）=O方程（2.1 ）變?yōu)?2.2)驚 P（x）y+Q（x）方程（2.2 ）稱(chēng)為一階齊次線性微分方程，是變量分離方程它的通解為|P（x）dxy=c（x）e（2.3）這里的c為任意常數(shù) 考慮非齊次線性微分方程（2.1 ）的通解的求法

21、。設(shè)想： 在方程（2.3 ）中將常數(shù)c變易為錯(cuò)誤！未找到引用源。的待定函數(shù)錯(cuò)誤！未找 到引用源。y=c(xef(如(2.4)微分后得到:把方程（2.4），積分后得到業(yè)=迪0皿+瑠)P (x)eJP(x)dxdx dx(2.5)（2.5 ）代入（2.1 ）中，得到:y-deJPgpx) P(x)e 尸皿dx dx=P (x)c(x)e Hx)d(x)+ Q(x)斜 Q(x)eFx)c（x） = JQ（x）e F"x）dXdx+ 錯(cuò)誤！未找到引用源。這里錯(cuò)誤！未找到引用源。是任意常數(shù)，將上式代入（方程（2.1 ）的通解2.3 ），得到錯(cuò)誤！未找到引用源。(2.6)這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)

22、的方法，我們通常稱(chēng)為常數(shù)變易法, 以推廣到高階齊次線性微分方程。并由此可例1求方程（x+1理-ny =ex（x+1（r的通解，這里是錯(cuò)誤！未找到引用dx源。常數(shù)。解：將方程改寫(xiě)為dydxn y=ex(x + 1nx+1(2.7)首先，求齊次線性微分方程dy _dx X +1ny =0的通解，從色=丄dxyX +1得到齊次線性微分方程的通解y =c(x+1)其次，用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解。為此，在上式中把c看成x的待定函數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。，即錯(cuò)誤！未找到引用源。y =c(x)(x + 1 )n(2.8)微分后得到(2.9)2=啞)(x+1)n+n(x+1)%(x)dx dx把（

23、2.8 ）和（2.9 ）代入（2.7 ）得到dc(x)xdx e，積分后得到錯(cuò)誤！未找到引用源。因此原方程的通解為:y =(x+1)n(ex +),現(xiàn)在推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程錯(cuò)誤！未找到引用源。(2.10)待定系數(shù)法只適用于方程（2.10 ）中錯(cuò)誤！未找到引用源。為錯(cuò)誤！未找到引 用源。的情況，用常數(shù)變易法求方程（2.10 ）的特解時(shí)雖不受f（x）錯(cuò)誤！未找 到引用源。的形式的限制，但需要先求出方程（2.10 ）所對(duì)應(yīng)的齊次方程錯(cuò)誤！未找到引用源。y(n) + 卩”十十 Pny7 Pny = 0(2.11 )的通解:錯(cuò)誤！未找到引用源。還需要求解關(guān)于未知函數(shù)卡"+cn（x

24、 ）錯(cuò)誤！未找到引用源。的變系 數(shù)n元線性方程組錯(cuò)誤！未找到引用源。c；（x）y1 中 c2（x）y2+cn（x）y0 c/Wy； +c2（x）y2+ cn（x）yn =0(2.12)C11(x)y10°)+c2(x)y2(2+cn(x)yn(2)=0.C1'(x)y1(n°)+c2(x)y2(n°+cn(x)yn(n1)= f (x )然后再通過(guò)積分求出c,（x）C2（x廣，Cn（x）錯(cuò)誤！未找到引用源。2、常系數(shù)高階線性非齊次微分方程若干類(lèi)型的新解法2.1升階法考慮n階常系數(shù)非齊次線性方程y(n)+ P1y(n4)+ pzy*Pny=f(X)方程（1）

25、的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次方程錯(cuò)誤！未找到引用源。(2)的通解與它本身的一個(gè)特解之和。而方程（2）的通解，只要能求得（2）對(duì)應(yīng) 的特征方程的特征根，貝U（ 2）的通解問(wèn)題就解決了。因此，求得（1）的一個(gè) 特解就成為求微分方程（1）的通解的關(guān)鍵了。常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型的研究一般常微分方程教材或參考書(shū)，對(duì)于f（x）的不同類(lèi)型，分別采用降階法、 待定系數(shù)法、常數(shù)變易法、拉普拉斯變換法、算子法等方法求得其特解。下面 通過(guò)例子再介紹一種新的方法即升階法，用升階法來(lái)求方程（1）的特解。F面我們先只考慮方程（1）為二階方程錯(cuò)誤！未找到引用源。的情形，類(lèi)似的方法與結(jié)果完全可以推廣到 n階微分方程

26、（1）上去。（1）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)f（X ）=a0xn +a,x2+- + a+ an此時(shí)，方程（3）兩邊同時(shí)對(duì) 錯(cuò)誤！未找到引用源。求導(dǎo)n次，得y"+ py“ + qy' = a0nxn+ ai（n- 1）xn+3y（n 旳+ py（n）+qy（n4）=&0門(mén)収 + 6（門(mén)一1）! yX） + py （涉+qy（n） =30 n!顯然，方程（3）的解存在，且滿足上述各方程。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)的情況類(lèi)似）是：錯(cuò)誤！未找到引用源。此 時(shí)y（n =y（n+）=0錯(cuò)誤！未找到引用源。由y（n中）錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)

27、 誤！未找到引用源。通過(guò)倒數(shù)第二個(gè)方程可得 錯(cuò)誤！未找到引用源。，依次往 上推，一直推到（3）,即可得到方程（3）的一個(gè)特解錯(cuò)誤！未找到引用 源。上面這種方法稱(chēng)為升階法。F面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明，升階法比待定系數(shù)法與常數(shù)變易法更為簡(jiǎn)單。例1求微分方程錯(cuò)誤！未找到引用源。的一個(gè)特解。解 方程（4）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得方程（5）兩邊同時(shí)再對(duì)x錯(cuò)誤！未找到引用源。求導(dǎo)，得y（4）-5y76y“ = 12錯(cuò)誤！未找到引用源。y(4 )= y J 0錯(cuò)誤！未找到引用源。于=2錯(cuò)誤!未找到引用源。將其帶入方程（5），再將其帶入方程（4）y' = 2x錯(cuò)誤!未找到引用源。，得未找到引用源。2-10x +

28、6y =6x2-10x + 2因此方程（4）的一個(gè)特解為y = X2例2求微分方程y”-5y=-5x2+2x的一個(gè)特解。解 方程（6）兩邊同時(shí)對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。求導(dǎo)，得錯(cuò)誤！未找到引用源。八5y= -10x + 2錯(cuò)誤！未找到引用源。13方程（7）兩邊同時(shí)對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。求導(dǎo)，得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型的研究將其帶入（7），得y”=2x錯(cuò)誤！未找到引用源。；再將其帶入（6）,得錯(cuò)誤！未找到引用源。2x5y' = -5x2+2x,y' = x2因此方程（6）的一個(gè)特解為13rx（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí),錯(cuò)誤！未

29、找到引用源。y =（4十沖eX，y" = （Wq2沖a 4/錯(cuò)誤！未找到引用源。帶入方程（3）,經(jīng)整理得卩"+(2幾 + P 尸+仏2 + P入 + q F = a0xn + aX，+ + an_1 an這樣問(wèn)題（2）就轉(zhuǎn)化成（1）的形式。從這里可以看出，升階法不需要討論 入 是否為特征方程的特征根的問(wèn)題，因此求解問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化，下面舉例說(shuō)明。例3求微分方程錯(cuò)誤！未找到引用源。(8)15的一個(gè)特解。解 令錯(cuò)誤！未找到引用源。，則方程（8）可變?yōu)槲凑业揭迷础?9)利用方法（1），類(lèi)似例1可以求得（9）的特解為因此方程（8）的一個(gè)特解為y=(1x+49)e3x749常系數(shù)高階

30、線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型的研究（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。f（x ）為正弦函數(shù)或者余弦函數(shù)時(shí)我們首先 將其轉(zhuǎn)化為負(fù)指數(shù)的形式，然后按照（2）的方法進(jìn)行求解求微分方程(10)y + y = 2sin x的一個(gè)特解。首先求下面微分方程的特解錯(cuò)誤！未找到引用源。(11)錯(cuò)誤！未找到引用源。則利用方法（2），類(lèi)似例3可以求得錯(cuò)誤！未找到引用源。(13)16錯(cuò)誤！未找到引用源。因此方程（11）的特解為錯(cuò)誤！未找到引用源。從而方程（10）的一個(gè)特解為錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)或余弦函 數(shù)的某種組合是，這時(shí)可根據(jù)迭加原理進(jìn)行求解。求微分方程錯(cuò)誤！未找到引

31、用源。(12)解兩個(gè)方程:的一個(gè)特解。方程（12）的右端由兩項(xiàng)組成，根據(jù)迭加原理，可先分別 求下列常系數(shù)高階線性非齊次微分方程的若干類(lèi)型的研究(14)由方法（2），可以求得方程（14）的特解為:錯(cuò)誤！未找到引用源。的特解，這兩個(gè)特解之和就是原方程（12）的一個(gè)特解。由方法（1），可以求得方程（13）的特解為：2 12 62 yx +X + 525263 Xxe因此，方程（12）的一個(gè)特解為:y = X2+ Mx + 62+Exex52542.2微分算子法對(duì)于常系數(shù)高階線性非齊次微分方程錯(cuò)誤！未找到引用源。(15)只要求出其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 錯(cuò)誤！未找到引用源。加上自身一個(gè)特解 錯(cuò) 誤！未找

32、到引用源。相對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解易求，微分算子法求解特解簡(jiǎn) 單易用、計(jì)算量小，下面根據(jù)例子詳細(xì)說(shuō)明微分算子法以及其求解的特點(diǎn)和好 處。（1）引入算子：設(shè)以記號(hào)D表示求導(dǎo)運(yùn)算，定義:dxdndxn于是有:dy f ” d2yy=drDy，y =d7=Dy,yn =器=Dnydx則（15）式變?yōu)?(Dn + a1Dn 斗卡"+a" +an= f(X)設(shè)以記號(hào)F(D)表示算子多項(xiàng)式，定義:F(D )=Dn +印02 +a2Dn-屮+anD +an于是有錯(cuò)誤！未找到引用源。F(Dy=f(x),也即是有:注意：其中錯(cuò)誤！未找到引用源。表示微分算子,1表示積分。D(2) 用微分算子求特

33、解:性質(zhì)：若錯(cuò)誤！未找到引用源。 有n階倒數(shù)，則有：是n次多項(xiàng)式,F(x )錯(cuò)誤！未找到引用源。具(1) 錯(cuò)誤！未找到引用源。(2) 錯(cuò)誤！未找到引用源。(3) 錯(cuò)誤！未找到引用源。(4) 錯(cuò)誤！未找到引用源。以下就該性質(zhì)及(15)式中錯(cuò)誤！未找到引用源。取一些特殊類(lèi)型的函數(shù)，對(duì) 應(yīng)的特解錯(cuò)誤！未找到引用源。用微分算子法求出：1錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí):1.1F(a)H0時(shí)，貝錯(cuò)誤！未找到引用源。1.2FG)=O且F(k)=F(m4松)=0,Fm®也即A是錯(cuò)誤！未找到引用源。重根。*1/x m 1/xy = e =xm eF(D)F (D)求微分方程錯(cuò)誤！未找到引用源。的一個(gè)特解。因?yàn)?/p>

34、F(D) =D 3 + d2 + D+ 1,F(1)=O,L(-1)hO于是非齊次方程的一個(gè)特解為:（X ）=丄 e XxeF（D）F'（1）2例2求微分方程y” + 4yy4y =eax其中a為實(shí)數(shù)的一個(gè)特解。R =2 = -2錯(cuò)誤！未找到引解 由特征方程：r2+4r+4=0的特征值為: 用源。，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：y（x）=（G +C2xrx,非齊次方程的一個(gè)特解為 錯(cuò)誤！未找到引用源。為:1eax八X）- D2 +4D +4axej（a+2 ，aH21 2 ax-X e2故非齊次方程的通解為:g +c2x exy Hax ,-,a H -2,（C1,C2任意常數(shù)）【a=2+

35、1 2$（a+2 2（C1 + C2X ex +x2eax22 f（X ）= Sin ax（或 cosax）時(shí):2.1 F（a2 ）h0時(shí)，則:* 1 1y（X ）= : Sn ax = - sin axF（D2）F（-a2）2.2 F(-a2 LoF(-a2)=F "'Ja2)= O,F m(-a2)h 0也即錯(cuò)誤！未找 到引用源。是m重根時(shí)，則*/l1.m1.m1.y（X ）= Si nax=x m sin ax=x m sin axF（D2）Fm（D2）Fm（-a2）例3求解微分方程y Jy" + y' + y =cos3x錯(cuò)誤！未找到引用源。的一個(gè)特

36、 解。解 非齊次方程的一個(gè)特解 錯(cuò)誤！未找到引用源。為:y (X =32cos3xD3 +D2 +D +1212cos3xd2d +d2 + D +1cos3x-9D -9D +D +11cos3x8D +11D21 cos3x8D-11D -1cos3x8(9-1)1=(D cos3x-cos3x )801(-sin3x -cos3x ) 80求微分方程yfy" + y*y=sin x錯(cuò)誤！未找到引用源。的一個(gè)特解。因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。于是非齊次方程的一個(gè)特解為:2sin xd3 + d2 +D +1=xsinxxD +12(D1)2 si nx2D -1xD +12(1-1)

37、=-(D sin X +sin x ) 4=-x(cosx +sin x )43錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)3.1錯(cuò)誤！未找到引用源。 時(shí),則y*(x)=匚著)Pm(x)=Q(D )Pm(x )其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為1除以按升幕排列的 錯(cuò)誤！未找到引用源。的商式，其最高 次數(shù)取到錯(cuò)誤！未找到引用源。的次數(shù)m3.2 F(0)=0錯(cuò)誤！未找到引用源。，且0是F仏)=0錯(cuò)誤！未找到引用 源。的r重根 錯(cuò)誤！未找到引用源。,FG)=AFi(k), Fi(0)h0時(shí)，貝U:錯(cuò)誤！未找到引用源。* 1 1 1y (xA盲麗)Pm(xADTQ(DPm(x)其中QD為1除以按升幕排列的F/D )的商式，最高次數(shù)

38、取到Pm(x)的次數(shù)m。例5求解微分方程 廠2y“ 3W=x2+2x-1錯(cuò)誤！未找到引用源。一個(gè)特 解。解非齊次方程的一個(gè)特解* 1 2y (x)= 32 (x +2x-1)D -2D -3D1 2=2(x +2X-1)1 丄 2_7_22,_+-D-D i(x + 2x-1)27丿D2D -2D2-3D"D I 39D(X2 +2X-1 ) V 3D 927 丿32x X 丄 7x 20= I 992727/3、新解法相比傳統(tǒng)解法優(yōu)點(diǎn)一般教材和參考資料介紹的待定系數(shù)法和常數(shù)變易法，這兩種方法雖然在 教學(xué)等過(guò)程中比較實(shí)用，但是這兩種方法存在共同的缺點(diǎn)就是運(yùn)用著兩種方法 求解常系數(shù)高階非其次微分方程特解需要準(zhǔn)備知識(shí)過(guò)多、過(guò)程太長(zhǎng)，還有就是 這兩種方法演算相對(duì)比較復(fù)雜繁瑣，給學(xué)習(xí)使用帶來(lái)嚴(yán)重的不便。然而本課題所涉及升階法和微分算子法恰恰是克服了準(zhǔn)備知識(shí)過(guò)多演算復(fù) 雜