強(qiáng)激光場(chǎng)下的原子

1、強(qiáng)激光場(chǎng)下的原子隨著激光技術(shù)的不斷發(fā)展，原子、 分子等在強(qiáng)激光場(chǎng)作用下產(chǎn)生了閥上電離、非次序雙電離、隧穿電離等新的現(xiàn)象。為了更進(jìn)一步去了解強(qiáng)激光場(chǎng)對(duì)電子電離的影響， 我們將問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提出了一個(gè)簡(jiǎn)易的模型，利用大學(xué)所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)處理這個(gè)模型，并給出比較明顯的結(jié)果。第一章我們對(duì)電子在強(qiáng)場(chǎng)作用下電離的基本概念做了一個(gè)梳理與總結(jié)，主要介紹了原子在強(qiáng)場(chǎng)作用下的多光子電離、閥上電離和隧穿電離以及前人研究這些現(xiàn)象提出過(guò)的個(gè)別模型。第二章我們采用簡(jiǎn)化模型了將問(wèn)題簡(jiǎn)化，得到一個(gè)雙勢(shì)阱的問(wèn)題，并通過(guò)薛定諤方程的數(shù)值求解，該勢(shì)阱的能級(jí)方程以及波函數(shù)表達(dá)式。通過(guò)改變右端勢(shì)阱的深度來(lái)模擬強(qiáng)場(chǎng)的大小, 我們畫(huà)出了個(gè)別波

2、函數(shù)圖像，簡(jiǎn)要的分析強(qiáng)場(chǎng)對(duì)波函數(shù)的影響。17自從 1958 年肖洛和湯斯提出激光放大器理論并驗(yàn)證可行性后，1960 年誕生了歷史上第一部真正意義上的激光器。接著，隨著調(diào)Q技術(shù)和鎖模技術(shù)的突破，激光器的輸出光強(qiáng)提高了6 個(gè)數(shù)量級(jí)，盡管如此，得到的激光場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)依然不足以與原子的內(nèi)電場(chǎng)相比，因而激光器急需進(jìn)一步的發(fā)展。然而由于激光介質(zhì)破壞閥值的限制，激光器的輸出光強(qiáng)一直徘徊在 1012W/cm2。直到80年代末，光脈沖啁啾技術(shù)的出現(xiàn)才打破激光介質(zhì)閥值的限制得以繼續(xù)發(fā)展，如今激光器的輸出光強(qiáng)已經(jīng)可以達(dá)到1022W/cm2。要知道，原子的內(nèi)電場(chǎng)大小為5 109V/cm,而要使激光的場(chǎng)強(qiáng)大到和原子的內(nèi)電場(chǎng)

3、相比，則激光器的輸出光強(qiáng)至少要達(dá)到3 1016W/cm2。很明顯，現(xiàn)在激光可以達(dá)到的場(chǎng)強(qiáng)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了原子的內(nèi)電場(chǎng)， 用如此大的強(qiáng)激光場(chǎng)來(lái)照射原子，原子將會(huì)發(fā)生很多不可思議的現(xiàn)象，比如，多光子電離、閥上電離、非次序雙電離、隧穿電離、越壘電離以及高階諧波的產(chǎn)生等。1.1 多光子與閥上電離：從赫茲發(fā)現(xiàn)在紫外線(xiàn)照射時(shí)，發(fā)現(xiàn)萊頓瓶更容易被電離，到愛(ài)因斯坦利用量子假說(shuō)來(lái)解釋光電效應(yīng)：當(dāng)單個(gè)光子能量大于金屬表面的電子的逸出功時(shí)，金屬表面的電子能吸收光子并逃離金屬表面形成出射光電子，出射光電子的動(dòng)能為：Ek h WL L L L (1-1)將單個(gè)光子的光電效應(yīng)推廣到多光子電離有：Ek Nh WL L L L

4、 (1-2)此時(shí)， 單個(gè)光子能量均較電子的逸出功小，因而單個(gè)光子無(wú)法使電子逸出金屬表面， 再增大光強(qiáng)，使得單位面積內(nèi)的光子數(shù)增加到一定量時(shí)，電子可以吸收多個(gè)光子，這些光子的總能大于逸出功時(shí)，電子將會(huì)從金屬表面逸出。這種通過(guò)吸收最小光子數(shù)的方法電離稱(chēng)為多光子電離。多光子電離早在1931 年便被Goppert - Mayer 從理論上計(jì)算得出4 ，他認(rèn)為當(dāng)輻射光源很強(qiáng)時(shí)，電子可以發(fā)生雙光子電離，然而由于實(shí)驗(yàn)條件無(wú)法達(dá)到需要的那么大的光強(qiáng)，直到1950年才首次由Hughes和Grabner在實(shí)驗(yàn)室中觀察到射頻波段RbF塞曼能級(jí)間的 多光子躍遷6 。如今，隨著激光的發(fā)展，可以在實(shí)驗(yàn)室中很容易就能獲得多

5、光子電離所需要的光強(qiáng)。圖1.1激光場(chǎng)中氤原子的光電子能譜。(a)、(b)、(c)、(d)為激光脈沖能量為 3.4mJ到 6.8mJ.5然而，1979年，Agostini用光強(qiáng)為1012W / cm2的激光照射氤原子時(shí)發(fā)現(xiàn)得 到的電子能譜比用多光子預(yù)想得到的能譜右側(cè)多了一個(gè)峰(類(lèi)似于圖1.1中a圖與b圖)，且兩峰之間剛好差了一個(gè)光子的能量，這說(shuō)明，氤原子在發(fā)生“多 光子電離”時(shí)額外多吸收了一個(gè)光子，這種電離稱(chēng)為閥上電離。這和理論上的計(jì) 算不一致，因?yàn)楦鶕?jù)Eberly的推導(dǎo)7,自由電子是不可能吸收光子的。這里 重復(fù)下推導(dǎo)過(guò)程有：當(dāng)一個(gè)自由電子吸收N個(gè)光子時(shí)，假設(shè)自由電子的初態(tài)和末態(tài)四維動(dòng)量分別 為

6、P0 (E0/GP0)和PF (Ef/c,Pf),對(duì)應(yīng)的光子四維動(dòng)量為k (h /c,hk)。如 果多光子吸收過(guò)程滿(mǎn)足能量守恒和動(dòng)量守恒，則有：PF P0 NkL L L L L (1-3)由于k對(duì)應(yīng)光子為一個(gè)類(lèi)光矢量，因而有k k 0,即有2 c2k k 0。因 此可以對(duì)(1-3)式左右取模的平方有：_2_22P； P02 2PF P0 N2k k 0L L L L L (1-4)對(duì)于一個(gè)自由電子，P2 m2c2, m是電子的靜止質(zhì)量，由此可得： _2222m2c2 2Pf P0 2(EfEo/c2 岸 P)L L L L L (1-5)由于式(1-5)是一個(gè)協(xié)變形式，在任意慣性系中保持不變

7、。我們可以在P0 0 的參照系中考慮。當(dāng)Po 0,則有Eo mc2,所以有：2m2c2 2mEFL L L L L (1-6)所以只有當(dāng)Ef mc2,上式才成立。此時(shí)PF 0,即自由電子沒(méi)有吸收任何 光子?，F(xiàn)在對(duì)這一現(xiàn)象的解釋為：由于電子和離子之間存在庫(kù)侖勢(shì)的作用，實(shí)現(xiàn) 的離子和電子的能量的交換，從而電子實(shí)現(xiàn)了對(duì)額外光子的吸收。 此時(shí)，電子的 動(dòng)能為：Ek (N S)h WL L L L (1-7)S為額外吸收的光子數(shù)。止匕外，可以從圖1.1中看到，隨著場(chǎng)強(qiáng)的增大，所 導(dǎo)致的光電子能譜的峰也增高，且該峰峰值與原來(lái)的峰值相差不能再看成是一個(gè) 小量，因此，此時(shí)使用微擾理論去處理這個(gè)問(wèn)題變的不再合適

8、，應(yīng)采用非微擾理論來(lái)處理。1.2 隧穿電離早在1964年，Keldysh就指出了在變化電場(chǎng)中的兩種極限情況2:多光子電離和隧穿電離，并且給出了一個(gè)物理參數(shù)來(lái)判別電子電離時(shí)哪種電離機(jī)制誰(shuí)占主導(dǎo)地位。該物理參數(shù) 的定義為:,2mI peFL L L L L (1-8)其中 是激光場(chǎng)的振蕩頻率，t是電子穿越勢(shì)壘的特征頻率，I p是電離能,F是電場(chǎng)強(qiáng)度。表示電子穿過(guò)勢(shì)壘需要的時(shí)間。t圖1.2 ： (a)>1多光子電離占主導(dǎo)地位(b)<1隧穿電離占主導(dǎo)地位(c)光強(qiáng)大到一定程度時(shí)發(fā)生越壘電離15在圖1.2中我們可以看到，當(dāng) t(1)時(shí)，原子的電離機(jī)制主要為多光子電離，可以認(rèn)為，由于激光場(chǎng)頻率

9、遠(yuǎn)大于隧穿頻率， 因而電子沒(méi)有足夠多的時(shí)間隧穿就轉(zhuǎn)向了，此時(shí)電子依靠吸收光子的能量發(fā)生能級(jí)躍遷或者電離， 所以多 光子電離成了主要的電離方式；加大激光場(chǎng)強(qiáng)度或者降低激光場(chǎng)的振蕩頻率， 在 激光場(chǎng)和庫(kù)侖勢(shì)的耦合作用下，左端勢(shì)能抬高，而右端降低形成一個(gè)勢(shì)壘，此時(shí) 電子有可能通過(guò)隧穿效應(yīng)逸出原子核； 倘若繼續(xù)加大激光場(chǎng)強(qiáng)度，使勢(shì)壘進(jìn) 降低以至于電子可以直接越過(guò)勢(shì)壘，直接電離。 Keldysh在給出 時(shí)，他只考慮 電子與激光場(chǎng)的作用，而忽略了其他場(chǎng)的作用（比如離子與電子間的相互作用）， 他認(rèn)為在其他場(chǎng)的作用都是很小的，相對(duì)激光場(chǎng)來(lái)說(shuō)微不足道，不足以影響問(wèn)題 的本質(zhì)。Keldysh使用Volkov態(tài)表示

10、電子電離的終態(tài)，從而給出了電離率公式。隨后，Perelomov , Popov和Terent ' ev等人在Keldsh理論基礎(chǔ)上利用 WKBS 似理論來(lái)研究氫原子模型，并將母核與電子間等弱庫(kù)侖力考慮進(jìn)去后得到精確解， 這一理論稱(chēng)為PPT理論8-10。然而PPT理論的計(jì)算僅限于氫原子，為了將這一 結(jié)論推廣到所有原子，Ammoso好人在PPT理論的基礎(chǔ)上做了大量研究，得到了 一個(gè)適合任意原子適用的電離率計(jì)算公式，即 AD&式11:-3_2 一)3 n ./2 Z 2e 2n 10(7)2T2 ( 一)Z 2n n 2 n(2l 1)(1m)!2mi(|m|)!( 1|m|)!33

11、2Z 2n im 1 2Z(一3)exp()n3n其中n Z（2E） 1/2和Z分別為電子的有效主量子數(shù)和原子的有效核電荷數(shù),1和m分別是電子的角量子數(shù)和磁量子數(shù)，為隧穿電離瞬間的電場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)1時(shí)，即此時(shí)的激光場(chǎng)強(qiáng)較大，此時(shí)隧穿電離相對(duì)于多光子電離來(lái)說(shuō)t ,電子有足夠多發(fā)生的概率更大，占據(jù)了主導(dǎo)地位。（或者認(rèn)為1時(shí),的時(shí)間去隧穿。），此時(shí)電子的勢(shì)能如下圖藍(lán)線(xiàn)所示：圖1.3黑線(xiàn)表示未加激光場(chǎng)時(shí)電子受到原子核的庫(kù)侖勢(shì)，藍(lán)線(xiàn)為添加激光場(chǎng)后電子的有效勢(shì)能。綠點(diǎn)表示電子隧穿的過(guò)程1.2.1 三步半經(jīng)典模型:如下圖1.4所示，圖（a）為第一步，此時(shí)電子在激光場(chǎng)最大的時(shí)候電離， 然后在激光場(chǎng)作用下運(yùn)動(dòng)，電子

12、速度大小及方向受激光場(chǎng)的影響， 當(dāng)激光場(chǎng)方向 反向時(shí)，電子將會(huì)向母核靠近（如圖 b, c所示），這時(shí)有會(huì)有兩種情況，第一種就是電子被母核重新吸收并放出高階諧波或者發(fā)生非次序雙電離；另外一種就是與母核相撞彈射出去形成光電子(如圖 d所示)。圖e描述的是該過(guò)程的波包圖 像，發(fā)生隧穿電離電子的波包被分成了兩部分， 其中一部分留在了基態(tài)，另一部 分則進(jìn)入了連續(xù)態(tài)。圖1.4三步半經(jīng)典模型12在三步半經(jīng)典模型中，由于第一步為隧穿電離過(guò)程，因而可以利用 ADK公 式來(lái)計(jì)算隧穿電離率，后兩步利用經(jīng)典力學(xué)便可以計(jì)算。 因此，半經(jīng)典模型可以 比較形象的描述電離過(guò)程，它很好的解釋高階諧波的產(chǎn)生等物理現(xiàn)象， 并且半經(jīng)

13、 典模型的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。1.2.2 KFR方法：在Keldsh工作的基礎(chǔ)上，F(xiàn)aisal 13界口 Reiss 14殍人利用量子散射矩陣?yán)碚摚M(jìn) 一步發(fā)展了非微擾方法，這種方法稱(chēng)為KFR方法。這種方法由于在量子力學(xué)的框 架內(nèi)，且便于解析，因而被廣泛采用。在這里我們簡(jiǎn)單介紹一下 KFR方法。對(duì)于一個(gè)在離子附近的電子，開(kāi)始時(shí)可以認(rèn)為它處在一個(gè)勢(shì)阱(如圖 1.3 所示，兩條藍(lán)色線(xiàn)夾著)，該電子的勢(shì)能記為V(r)。利用散射矩陣?yán)碚撁枋鲆粋€(gè) 電子從基態(tài)電離過(guò)程的散射躍遷幅表達(dá)式可以寫(xiě)為：Mp t 0im ( p(t)U(t,t)| 0(t)L L L (1-9)其中U(t,t )為該系統(tǒng)的時(shí)間

14、演化算符，以0為基態(tài)，p)為連續(xù)態(tài)，則| ) 和 0)分別表示漸進(jìn)動(dòng)量p的終態(tài)和基態(tài)。時(shí)間演化算符U(t,t )在長(zhǎng)度規(guī)范下的 哈密頓量H(t)表達(dá)式為：2H V(r) r E(t)L L L (1-10)2其中r E(t)表示電子和激光場(chǎng)的相互作用。在這里，我們可以通過(guò)引入原子中的電子在無(wú)激光場(chǎng)下的哈密頓量Hb和自由電子在外激光場(chǎng)下的哈密頓量 H f (t)來(lái)將上式的哈密頓量H拆分得以將問(wèn)題簡(jiǎn) 化：2 Hb V(r)L L L (1-11) 2 2 Hf (t)r E(t)L L L (1-12)2與哈密頓量Hb和Hf (t)對(duì)應(yīng)的時(shí)間演化算符為Ub和Uf。因此p)和o)為 哈密頓量Hb的兩

15、個(gè)本征態(tài)。哈密頓量 Hf(t)的本征態(tài)為Volkov態(tài)，在長(zhǎng)度規(guī)范 下，它的表達(dá)式為：i t2?)|p A(t)exp- d p A(t) L L L (1-13)其中|p A(t»表示平面波態(tài)。因此有：(r p A(t)(2 ) 3/2 exp i p A(t) r L L L (1-14)利用Dyson公式，將U (t,t )表示成兩個(gè)等價(jià)積分方程有:tU(t,t) Ub(t,t) i td U(t, )Hi( )Ub( ,t)L L L (1-15)tU(t,t) Uf(t,t) i td Uf(t, )VU( ,t)L L L (1-16)上式中，H I(t) r E(t)。

16、根據(jù)(1-15)和Hb本征態(tài)的正交性，(1-9)式可以寫(xiě) 為：t /Mpitimd( p(t) U(t,)也()°( )L L L (1-17)上式是沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何近似處理的精確表達(dá)式。 為了方便計(jì)算，我們引入強(qiáng)場(chǎng) 近似(忽略長(zhǎng)程庫(kù)侖相互作用)。將(1-17)式中的p(t)用 封)替換，U(t,) 用Uf(t,)替換后得到近似的躍遷幅表達(dá)式：MSFA i dt ( pV)(t) H-t) °(t)L L L (1-18)上式便是KFREK遷幅表達(dá)式。1.2.3 量子再散射理論：量子再散射理論認(rèn)為，電子在強(qiáng)激光場(chǎng)的作用下隧穿電離出去到到達(dá)連續(xù)態(tài)，接著電子在激光場(chǎng)的作用下加速，它

17、的速度會(huì)隨著外場(chǎng)的變化而變化，當(dāng)電子重新返回到母核并通過(guò)庫(kù)侖勢(shì)作用發(fā)生再散射，并最終電子躍遷到Volkov 態(tài)。該理論在延續(xù)了 KFR理論很好的表述了電子的電離和再散射過(guò)程的同時(shí)，保留了量子力學(xué)中的干涉效應(yīng)等固有特性。第二章模型計(jì)算2.1模型化現(xiàn)在，為了簡(jiǎn)單的研究電子隧穿時(shí)，能級(jí)隨著外加激光場(chǎng)的變化而變化，我們將電子的勢(shì)能圖近似認(rèn)為下圖所示的雙勢(shì)阱，盡管這樣的做法很粗略，忽略掉了很多東西（比如，外加場(chǎng)的變化時(shí)勢(shì)壘的高度也會(huì)變化，電子在核附近的勢(shì)能是一個(gè)函數(shù)變化的，不是一個(gè)直線(xiàn)突變型）。但是我們依然可以從對(duì)該簡(jiǎn)單的雙 勢(shì)阱的研究中看出相關(guān)規(guī)律。V=V0VV=0V=V1 aL-b 0x圖2.1圖中

18、-b至0為無(wú)限深平底勢(shì)阱（V=0） ,0至a為一個(gè)V=V0的勢(shì)壘，a至L（ L a ） 為V=V1的有限深平底勢(shì)阱。兩邊勢(shì)能為無(wú)窮大。因而可以通過(guò)解上圖中勢(shì)阱的波函數(shù)，算出當(dāng)單個(gè)光子能量小于電離能時(shí)電 子被激發(fā)的概率。激光場(chǎng)大小的調(diào)控可以通過(guò)改變V1值的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)。2.2薛定調(diào)方程的求解：考慮到所模擬的情況，可以給出電子的能量 E<VQ因而整體可以分為兩種 情況來(lái)解，E<V1和V1<E<V0根據(jù)薛定川方程：.2. 2h d222m dx當(dāng)E<V1時(shí)2k20x其中的一個(gè)特解為:b x 0時(shí)，薛定川方程可以寫(xiě)為:2mE其中k hikxikxAe Be同理：0 x a有

19、:其中一個(gè)特解為:Ce x Dea x L時(shí)有:其中,2m(V1-E)其中一個(gè)特解為:Fe x Ge根據(jù)邊界條件和波函數(shù)連續(xù)可以得出：Ae ikbBeikb0LLLLLLLLL(1)A BCDL LLLLLLLLL(2)Ce aDeaFeaGeaLLLLL (3)Fe LGeL0LLLLLLLLL(4)ik(A B) (C D)L L L L L L L (5)(Ce a De a)(Fea Ge a)L L L (6)ik (2)有：2ikA (ik )C (ik)DL L L L (7)ik (2) (5)有：2ikB (ik )C (ik )DL L L (8)將（7）、（8）式代入（1

20、）式中消去A, B有:sinkb)D 0L L L (9)(k coskb sin kb)C (k coskb可以寫(xiě)為:C ( sinkb kcoskb)DL L L L(10)(sin kb kcoskb)(6)有：2 Fe a ( )Ce a ( )De aL L L L (11)(6)有：2 Ge a ( )Ce a ( )De aL L L (12)將（11）、（12）式代入（4）有:( )e a L a ( )e a L aC (a L aa L a)e( )e D 0即：C ( )e a L a ( ()ea L a ( a L)e a L)eaD aL L L (13)(12)-

21、(13)式并消去D可以得到關(guān)于k、的能級(jí)方程：(sin kbkcoskb)()e aL a()e a L aL(sin kbkcoskb)()e aL a()e a L a忽略歸一化條件，令 D=1 并假設(shè) a=0.1, b=0.1 , L=1, m0=9.108E-31, h =1.055E-34則有：C ( + )e-2( a+ L- a)+( - )e-2 a(-)e2 (a-L)+( + )(ki)C(ki)D2k(ki)C(ki)D2kC()e a D()e a2 eaC()eaD()e a當(dāng) V1<E<V0寸:波函數(shù)的特解可以寫(xiě)為:0L L LL LL L L(x b,

22、 xL)AeikxBeikx L LL( bx0)Ce xDexL LL(0xa)Fei xGei xL LL(axL)根據(jù)邊界條件(x=-b, L)及波函數(shù)連續(xù)(x=0,a處波函數(shù)及其一階導(dǎo)相等) 有：Ae ikb Beikb 0LLLLLLLLLLLLL (15)A B C DLLLLLLLLLLLLLL (16)Ce a De a Fei a Gei aLLLLLLLLL (17)Fei L Ge i L 0LLLLLLLLLLLLL (18)ik(A B) (C D)LLLLLLLLLLL (19)(Ce a De a) i (Fei a Ge i a)L L L L L (20)可以

23、發(fā)現(xiàn)(15)、(16)、(19)式與當(dāng)E<V1時(shí)的(1)、(2)、(5)式一致，故 可以給出同樣的等式:(10)( sin kb kcoskb)D1(sin kb k cos kb)另外，根據(jù)(17)、(18)、(19)式有：i(17) (20)有：2iFei a(i)Ce a(i)De aL L L L (21)i(17) (20)有：2iGei a(i)Ce a(i)De a L L L L (22)將(21)、(22)式代入(18)式消去F、G有：C sin ( a) cos (L a)e2 aDL L L L (23) sin ( a) cos (L a)(10) - (23)式

24、消去G D后可以得到一個(gè)關(guān)于k、的能級(jí)方程:(sin kbkcoskb)sin(a)cos (La)2 a , 、 e-e 0L L L (24)(sin kbkcoskb)sin(a)cos (La)同樣，忽略歸一化條件，可以令 D=1,則有：(k i )C (k i )D2k(k i )C (k i )D2ksin(a)cos(La)2c esin(a)cos(La)aa)Ce (i )Dera2i e)Ce a (i )De a ra2i e2.3能級(jí)圖及波函數(shù)圖像:10E(V)-2-1012345678910 n 12V1(V)圖2.2：該圖表示在 V0=10V, a=0.1, b=0

25、.1 , L=1; m0及h為常數(shù)的條件下， 隨著V1的變化，能級(jí)的改變。從該圖中可以明顯看出存在兩個(gè)變化趨向：一個(gè)是斜線(xiàn)型。即隨著 V1的增 大，能級(jí)也同比例的增大，這個(gè)是可以很容易理解的，因?yàn)樵谀芙庋Χùǚ匠讨校?能級(jí)方程是純實(shí)數(shù)的，即說(shuō)明當(dāng) V1是線(xiàn)性變化時(shí)，能級(jí)的變化也是線(xiàn)性的。另 一個(gè)則是平臺(tái)型。這個(gè)是在預(yù)料之外的，為了更進(jìn)一步的了解平臺(tái)的出現(xiàn)， 可以 畫(huà)出相應(yīng)能級(jí)的波函數(shù)圖像。xx圖2.3: （a）、（b）、（c）、（d）四圖是表示在 V0=10V, V1=0V時(shí)基態(tài)，第4, 6, 7激發(fā) 態(tài)的波函數(shù)圖像。上圖中，第6激發(fā)態(tài)是處于平臺(tái)結(jié)構(gòu)上的一個(gè)能級(jí)。在這里，因?yàn)闆](méi)有 將波函數(shù)歸一

26、化，因此只能做定性分析。忽略 大小，只觀察波函數(shù)的形狀。對(duì) 比這四個(gè)波函數(shù)，可以看出，在第6激發(fā)態(tài)時(shí)，x=-0.1至0之間出現(xiàn)了一個(gè)峰值， 這在更高的激發(fā)態(tài)中也會(huì)出現(xiàn)（比如第 7激發(fā)態(tài)），可以相信，在出現(xiàn)第二個(gè)平 臺(tái)時(shí)，在x=-0.1至0之間將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)波谷。這正如下圖 2.4中（a）、（b）所表 示的那樣。在這里，我們將 V0改為30V是為了在能譜上能夠出現(xiàn)兩個(gè)平臺(tái)。通 過(guò)這些觀察，可以初步肯定，對(duì)于一個(gè)確定的V1,平臺(tái)數(shù)影響的是x=-1至0波函數(shù)最值的個(gè)數(shù)；而除了位于平臺(tái)上的能級(jí)數(shù)，其他能級(jí)數(shù)決定x=0.1至1波函數(shù)最值的個(gè)數(shù)。30(c)V0=30V0圖2.4(a)、(b)為V0=30V V1=0V時(shí)的第8、16能級(jí)波函數(shù)圖像在這里，我們可以看出，平臺(tái)的出現(xiàn)不僅僅是很短的一段，而是隨著V1的變化一直存在的，前面的那些平臺(tái)的出現(xiàn)均是在E>V1的情況下，后面的則是在E<