最新線性代數(shù)第六版課后習(xí)題答案大全同濟大學(xué)

1、1.利用對角線法則計算下列三階行列式:解=2x(-4)o+()x(-1)x(-l)+lxlxh-ox 1 x3 - 2x(-1 )x8.，1 x(-4)-1) =一24+8+164=一4.2 0 1(1) 1 -4 一 1: -1 8 .3; c c afe 辦 c a bed a 辦 c idblc(2)解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-ab3c3.1 cc21 辦b23)解1 辦z?2=bc2+ca2+ab2 - ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).xyx+y(4) y x+y x . x+y xyxyx+y解yx+yx.t + yxy=a：

2、(x-i-y)y+,a：(-r-i-y)+(-v+y)y-r-y3_(+y) 2(1 個)5 2, 5 4(2 個)7 2, 7 4, 7 6(3 個)3=3xy(x+y)-y3-3a：2 y-j-y3-x3=-2(?+/).2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù):(1) 1 234;解逆序數(shù)為()(2) 4 1 3 2;解 逆序數(shù)為4: 41，43, 42, 32.(3) 3 4 2 1;解逆序數(shù)為 5: 3 2,3 1,42,4 1,2 1.(4) 2 4 1 3;解逆序數(shù)為3: 2 1,41,43.(5) 1 3 (2-1)24 (2);解逆序數(shù)為(2n1)2, (2n-l

3、 )4, (2n-1 )6,. ，(21)(22) (1 個)(6)1 3 (21)(2) (2卜 2) .2.解逆序數(shù)為咖-1):3 2(1 個)5 2, 5 4 (2 個)(2n-1)2, (2/卜 1)4, (2打_1)6,，(2n-l)(2n-2) (n-1 個)4 2(1 個)6 2,6 4(2 個)(2n)2,(2幻4, (2/2)6, ，(2n)(2n-2) (,?-1 個)3. 寫出四階行列式屮含有因子aha23的項.解 含因子什吻的項的一般形式為其中是2和4構(gòu)成的排列，這種排列共有兩個，即24和42.所以含因子aha23的項分別是(-1 )7/1161233244=(-1 )

4、11233244=-11233244, (-1 )a 1161233442=(-111 233442= 11233442-4. 計算下列各行列式：)4+xo41 12 -12341110ii4207202141100nz(x020042341-1242071151122ci一 c、41(0 -2!4c:4-7c3c2+c1()03*4-223153112020202 0 29017-12304236202423642361-12o9017t 2311221251411004110 -12023152)o-ii 020 0 42301-1202310i1| =4abcdef.=adfbc& 1

5、-1a-1ooooljao 11citoooo ju o1c-1otoor-lonoolfaa c-1+ab=(-1)(-1)1 -1o a=(-1)( -1)3 十 21tad1+cja h cd+a b+cd+ad +1.5. 證明:3i3=(fl22nlz(v證明a1 ah h2c2-c|a2 ab-cr b2a22a a+h 2h2a h-a 2b-2a1 1 11 0 0ax+by ay+bz az+bxx y zay+bz az+bx ax+byy z xaz-bx ax+by ay+bzz x y證明ax+by ay+bz az.bx ay+bz az-hx ax+hy azbx

6、 axby ay+bz(3)x ay+bz az+hx=ay az+bx ax+by+tz az+bx ax+by z ax-by ay+bzx ax+by ay+bz=cray+bzaz+bxax+by*z az+bxx axbyy ay+bzxyz.vzx=a3)zx+/，zxyzxyxyzxyzxyz=a3yzxyzxxyzxva2b2證明(z x yy z x3+a(a+ 1)2 (a+2)2 (a+3)2 0+1)2 (fe+2)2 (b+3)2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3)2 (d+1)2 (t/+2)2 (j+3)2a2b2c2 d1(a+1)2 (a + 2)2 (a

7、+3)2 (fe+1)2 (fe+2)2 (h + 3)2 (c+1)2 (c+2)2 (c + 3)2 (j+l)2 (j + 2)2 (j+3)2a2 2n + l 2a+3 2+5 h2 2 + 1 2/?+3 2b+5 c2 2c+l 2c+3 2c+5 d2 2j + 1 2j+3 2d+5(c4_c3, c3-c2, c2-c1 得)(c4-c3, c3-c2 得)n n n -1 + +11 cc1 2 *c4 1為4(5)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(.b-d)(c-d)(abcd)1 c%c4 lh/?2/?4 1 ak/2k/4 明證1 10 b-a0 b(b

8、 - a、 0 b2(b2-a2)1 1c-ad-ac(c-d) d(d-a)c2(c2a2) d2(d2-a2)=h-a)(c-a)(d-a)iip+ p11cdc2(e+d) d2(d+a)x0-1x0-10000000x-1ancln-2a2x+ = ( 一 j)- )同理可證n(-1)a2an a,o2=(-l)nw(/r -1)丁 /=( 一 1) 丁 d.n(n 一 1/r(w -1)3=(-l) 丁 z)2=(-l) 丁 (-1) 丁 )=(-1 產(chǎn)1d=d.7.計算下列各行列式（認(rèn)為a階行列式）: d,，=a11*a，其中對角線上元素都是a未寫出的元素都是0;解a000 10a

9、00 0=.0a_ 0 q（按第行展開）000a 01000 a0000 1a000 0a=(-1)/!+,0a()() 0+(1產(chǎn)舊00a a 0 (n-hx(n-l)a=(-ir+,.(-ir+an=an-a2=ana-l).0(n-2)(n-2)解 將第一行乘fl）分別加到其余各行，得dn =又aa a-x x-a 0a-x 0 x-a a-x 000go:a-再將各列都加到第一列上，得d,x+(n-)a a 0x-a0 0oo=久+(/卜 l)al(xa廣1.000 x-aan (a-l)r, a，卜1 (a-1)， (a-n)n(a - h廣1 aa- a-n1 1 10解根據(jù)第6題

10、結(jié)果，有1 1 1a a-1 a-n anl (a-i)”1(a-wan (a1)(a-n)rtn(n+)k-i) 丁此行列式為范徳蒙徳行列式.n(zi+lo,r+i = (-i) n(a-z+l)-(aj+l) n+l7yl=(-1)丁 fh-州 w+l/ j，f+(-”+.斗 1 = (-l) 丁 .(-1)2=n(-.zi+i7j1(4)a =bn（按第1行展開）oilio所以d2n =:n (a,a,-奴). z=1(5) d=dct(0),其中 a,尸ihi;解0 123 n-1 012.n-2,=det(a)=2 1320110 /?-3.n4鬱眷 令 曹曹蕾會n- n-2 n-3

11、豢曹眷/卜4蠓參參耆 .0d2n=ofjdnd2n-2-bncnd2n-2 即 d2n=(andn_bncn)d 2n 2.-10000-1-2000v2 1 v1-1-2-200c.+c-1-2-2-20 n1_ 參2/7-3參 _ 2n-4參 2/7-5 攀參暴 711+q1il+a2暴a a a感i1=(-ir，(n-l)2/,-2.11 ，其中 cia2 an0. 垂秦1+a1 + 6?! 1 11 1+% 1 豢 秦番參癰參111+a0 0a2 0一 a3 ay0 00 010 0-110-0-11-00a00a；100afl0 0 0-zr-10 -1 1+a:1100 00010

12、 00001 - 00000 . 01000 .00=（2吣）（1+玄+）./=! cli8-用克萊姆法則解下列方程組:x+x2+x3+x4=5（1）%j + 2x2-x3+4x4=-2 . 2x1-3x2-x3-5x4=-2,3%! + %2+2%3 + 1 lx4=o解因為所以d=-142,14-511112 30 1 2=-142,1 151 2 -22 -3 -23 1014-5111 426,11d2 =4 =112351-2 -1 -2 -1 0 214-5ii11151 2 -1 -22 -3 -1 -23 12 0人=吾=1，=-284,=142,145000650065106

13、510looo 5 000=ct5a+6x2=1x5x26x3=0x2+5+6x4=0.x,+5x4+6x5=0x4+5x5=10006500651 06510 6510051000ii因d(2h=1507,000 6 5 006510651065100ooo 59 -3 = 00065 loool 06510 6510051000ii a 9 03 7 = 00065 00651 loool 651005 丨 o o oiialoool00651065106510051000ii所以+%,=0七+ / +七=0有非 + 2/12+=09.問2, /取何值時，齊次線性方程組零解?解系數(shù)行列式為

14、d=121 1令d=0,得戶0或/!= i于是，當(dāng)或h時該齊次線性方程組有非零解.f (1 一 2)4 - 2x2+4x=0 1().問又取何值時，齊次線性方程組2%1+(3-/1)%24-=0x( 4-x2 4-(1-2)=0有非零解？解系數(shù)行列式為1-2-24 i |1-23+乂423-a1 = 21義111101 一又=(l-a)(a-3)-4( i -a)-2( 1 -a)(-3-/l)=(l-2)3+2(l-2)2+a-3.令d=0,得a=0, a=2 或 a=3.于是，當(dāng)2=0, a=2或1=3時，該齊次線性方程組有非零解.第二章矩陣及其運算1. 已知線性變換：=2 + 2 + 3

15、的線性變換.(2 2 1)-1(-7 -4 9 yy2= 315=63 -7 卜2，13 2 3j13 2 -4hj3y=-l xx-x2+9x3 y2=6x| + 3x2-7x3 y3=3xj + 2x2-4x32. 巳知兩個線性變換卜=2乂+ y3pi =-3 + 22p2=2乂+3y2+2y3，y2 = 2zi + z3， =4% + y2+5 y3=23求從a，2, 23到xj, x2, x3的線性變換.解由已知y f 22 0= -2 3 i4 111、fl 2 3)3.設(shè)乂=1 1 -1，b=-1 -2 4b 5 lj=-6 + z2+3&所以有 x2 = 12zj-4z2+9z3

16、 |=10zz2+16z3求 3ab-2a 及 atb.fl 1 1 y i 2 3、fl 1 n解 3ab-2a=?i 1 1 -1-1 -2 4-21 i -11 -1 1 a 0 5 b1 -1 1111 y 12 3、0 5 8)atb =1 1 -1-1 -2 40-56.-1 1 人0 5 1,、2 9 0)4.計算下列乘積:f4 3 1 丫7)(1) i -2 3 2;15 7 0人 ljf43 1丫7)(4x7+3x2+lxl 、解1-2 3 2 =lx7 + (-2)x2 + 3xl6157 0人lj5x7+7x2+0xl 少49；v a3 9164 11 - -612-10

17、2220713-1729-2-24n1 1 i-59(2)(1 2 312(冰 口+冰乙?+1 #1 d柳98cv hr廿oe-l-eizl(frr9 -、 z i-(c乙xi (i-)xl=(s i-)ilt71-)a2- s26. 舉反列說明下列命題是錯誤的:(1)若42=0,則 4=0;解取a=si），則，但如0.（2）若 f=a，則 &0 或解取4=0公則但ao k ae. 若 ax=ay, k/uo, lllj x=y . 解取01 ax=ay,且如0,但知y.7. 設(shè)/u( 求 ，/，/.解?b w ?)，a3 = a2a=2 犯?)=(3a ?)，(a8. 設(shè)焱=0 lo1 0、

18、又1，求a（0又）解首先觀察ia22222oa2o o lxa o o5乂4 10/in 0 a5 5a4、0 0a3=a2.a=a4=/p.a=a5=aa=ak =-dyk1用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)k=2時，顯然成立. 假設(shè)6時成立，則（+1時，5iilak 又卜12o 1 a1 a oa o o由數(shù)學(xué)歸納法原理知:kxx/v = 0 0 09. 設(shè)人s為n階矩陣，且a為對稱矩陣，證明btab也是 對稱矩陣.證明因為所以從而btab是對稱矩陣.10. 設(shè)都是n階對稱矩陣，證明是對稱矩陣的充分 必要條件是ab=ba.證明 充分性：因為bt=b,且所以即是對稱矩陣.必要性：因為bt=b,且(ab)

19、t=ab,所以 ab=(ab)t=btat=ba.11. 求下列矩陣的逆矩陣：(1)n 212 5少解.141=1，故存在.因為4 /dx=氺1 21 2(2)rcos sin、sin 0 cos00解:) .wi=i其0,故存在.因為i 2 a a所以 a,=ijia*=0沒1 sino s c3)13 51 2一 -12 4-41 2i - 12 4-4.141=2*0,故？存在.因為所以ir -2 1 0a-=-!-a* =_l33-iiai2 216 7 -lj卜(4)0(12- -an 0).-4 2 0 a 2 乂 22 az-13 6 -1a3 2332 14 -2)a1)(?力

20、;解x=l:巧1 -5丫42人2-61(2)%2j -1 一 1、1 0-1 313 2少解x=lrl -1、4 31 -r1 0-i 1z-1脅ki ：1 0-2 3 - -3 3，1)21”-r2:8 .! 1 .2眷3 一13y(3)01 41 2、2 -23012.解下列矩陣方程:解，由對角矩陣的、性質(zhì)知a丨a- =01fll-l42)3i?)1n(21-413i11i126360i1102)fl丄an01y if3-1o-4o-2o o 1 loolooolo00 looolo-i oloj o o1 olooo 1 o13. 利用逆矩陣解下列線性方程組:x + 2x24-3x3=1

21、2x14-2x2 + 5xj = 2 ;3j1+5x24-x3=3解方程俎可表示為2 2 510ii、 夕12 3 zr k ta y3 5 12 2 512 3 zfiizr lx卜=1從而有x2=0.k=0x-x2-x3=2(2)4-,/1(4-)=2/4_, = zt1 =|(a - e),又由 a2a-2=a=g4+2)a - 3(a+2e)=-4(a+2e)(a-3e)=-4 e,所以 (a+2e)j10+2e)(4-3e,)=-4(+2 e)(?4+2)-1=|(3-/1).16. 設(shè) a 為 3 階矩陣，求l(2a)-|-5a*l.解因為所以 a1(24)- 一571*1=1 士

22、 f _5i al a-11 =)|a-!-|a- i=l-2a-,l=(-2)l4,l=-8iar,=-8x2=-16.17. 設(shè)矩陣k可逆，證明其伴隨陣a*也可逆，且證明 由a i=ua得4*=114人所以當(dāng)a可逆時，有 al4*l=iainia-,l=iari7k),從而a*也可逆.因為所以(a*)_l=l4rla.雌，所以(a*)-,=iar,a=l4rllz4l(a-1)*=(a1)*.18. 設(shè)h階矩陣a的伴隨矩陣為a*，證明：(1) 若l4|=0,貝ljia*l=0;(2) w*i=wr,.證明(1) 用反證法證明.假設(shè)lvm)，則有ayl=e,巾此得ayl=ae(ay=0，以這

23、與w*l關(guān)0矛盾，故當(dāng)who時，有14*1=0.(2) 由于則aa=ae取行列式得到若l4k0,則l4*l=l4r;若141=0,由知l4*l=0,此時命題也成立.因此 ia*i=l4 r_l.19.沒/ =3 0 33 12,afl=a+2b,求 fi.解 由 ab=a+2e 可得(a-2e)b=a,故r-2 3 3)-10 3 3、0 3 3b=a-2eyxa =1 -1 01 1 0= -1231 2 lji- 2 3,u 1 ojfi o n20. 沒a= 0 2 0，且 as+=a2+b,求 1 0 1解 由ab+e=a2+b得 (a-e)b=a2-e, 即 (a-e)b=(a-e)

24、(a+e).k) o i因為i4-ei=o 1 0=-1*0,所以0-)可逆，從而 1 o q10 20 3 0(2 b=a+e= 0 u21. 設(shè) a=diag(l，-2, 1)，a*&4=2sa-8e，求 fi.解由 aba=2ba-8e 得(a*-2)/m=-8，fi=-8(a*-2era_,=-8障*-2)-1=-8(兒4*-2a)-1 =-8(l4ie-2)_,=-s(-2e-2a) =4(+z4)_l=4diag(2,-l,2)rl=4diag(|,-l,|)=2diag(l,-2, 1).22.已知矩陣4的伴隨陣fl 0 0 0) 0 10 010 10 o -3 0 8)衛(wèi).4

25、漢4_|二&4-1 十3，求 b.解 由l4*i=wi3=8,得iai=2.由 aba=ba3e 得ab=b-3a,b=3(a-eyla=3a(e-aa=3(-|*)-1=6(2e-a*)-1(1 0 0 0、16 0 0 ()0 1 0 00 6 0 0-10 106 0 6 0i 0 3 0 -6y0 3 0 -lj23.設(shè)ap=八，其中p=_j 1），八=（義幻，求v. 解 由p ap= 得4=尸八尸所以a=a=pyp ._，=r_訃 p-=|l； _），1(11o 2 70-ia1102-102731 2732)1-683 -684/i 11、-l24.設(shè)八，其屮p=1 0 -2 j

26、-1 b，a =1 ，求外4)=as(5-6a+a2).解 (a)=a8(5e-6a+a2)=diag( 1，i，58)|diag(5,5,5)diag(-6,6,30)+diag( 1，1,25)=diag( 1,1,58)diag( 12,0,0)= 12diag( 1,0,0). 好a)=p#八)尸1=士(八)戶1 o j.-202-23fi i r4 11125.設(shè)矩陣a、b及ab都可逆，證明w+b 1也可逆，并求其逆陣.證明因為而是三個可逆矩陣的乘積，所以l可逆， 即ab可逆.113 3- i3 2 2 0oy l o2 i1 0 0 2 0 0(計算olo26.1 32 o /i

27、iiai o/ =設(shè)解a a、bl+b2o 人盡652 o viaebc2=e、ao(?fid-ctcfcf=i 、 / o 5(?flaccfcto.ct ya0s4- c(ad, ad. (en o cd+bd3 cd2bdj=o v由此得ad = en ad. = o cdbd.=o ca + fid4 = esd=a- d.=0 d.=-bca-d4=b-osac30.求k列矩陣的逆陣:2j2 10 05 2 0 0x)z一3)8j.3 28 5則/?0 0 2 5 i2 5 0 00 0 8 52 10 05 2 0 01 1t-， 1j/1 22 1/ik=c1|7o 43 1/

28、=fta1-bca1o5ac0 0 0 4 0 0 3 1 0 2 12112 o o1-411-21-21- i i24第三阜矩陣的初等變換與線性方程俎1.把下列矩陣化為行最簡形矩陣:f 1 0 2(1) 2 0 3 13 0 42 3 4 o o o12 3 zfluk步1e4 3 0 二2 11 o o o looa ik2 10 o o o loozf k 步1.卜2 10 o o o loozr lo 0 -2 ojfo 2(2) 0 310 4 -7 -l3 4 7-2 3 4 o o o(0 2 -3 -0 0 1 、()0 -113 3(下一步:f2x2+(-3)rh r3+(

29、-2)r).)(下一步:r3+r2, ri+3r2.)0)3 (下一步：n+2.ojy 5 3 0 o 1 o loo foo(3) 2-1 3 -4 -3 5 -4 -2 3 -2 -3 4 -213213-4-4-23534 -2 一 1j(下一步:f2-3ri，r?-2rb r4-3r.)38 6 o-i-14 8 6 0 i 13 4 3 5i i i -1o o o 1 o o o a 、(下一步:r2+(-4), n-4-3)，r4+(-5).)coo3 111-1o o o4 2 2 2rloolo/(k3 2 3 4 -10 8 71 2 0-23-2 83、2 -3 7 40

30、3j12 9 8 i10 8 7 4 2 8 7 i -（下一步:rr2, r2x（-l）, r4-r3.）v（下一步:n-2r2, r廠如2, r4-2r2.）fo10-24 41000 1200 1011（下一步:r2+n.）o-ll o2-1o orooa-23 4 o oolo2-1o o olooi o o o /r k 0 1、m 2 3a0 1 04 5 60 0 17 8 9fo 1 0）2.設(shè) 1 0 0 0 0 1求九fo 1 0)解 i 00是初等矩陣(1,2),其逆矩陣就是其本身. 0 0 1p () n0 1 0是初等矩陣(1,2(1),其逆矩陣是ololoo14 7

31、5ho103 6 9o 1 o6 3 95 2 84 17r4 5 2)1 2 2、7 8 2j-10()10 0 ijri o -n(1，2(-1)=0 10. io 0 l)3.試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q，求下列方陣的逆矩陣:o o 1olon n 1ii14 22-1o3 0 0a - - yo o 1ololoo15 32 123 3 37/2 2 一9/2)1 1 -2 -1/2 0 1/2 j z)2 0 3/2 0 一 1/2、 0-10 1 1 -2 0 0 2 -1 0 1,fl 0 0 7/6 2/3 -3/2) -010 -1-1 2 i 0 0 1 -1/2 0 1/2)3

32、221-2213-1o716-1112故逆矩陣為3 -2o -r(2)1 -22 i-3 -22 1 jr301 0fl 00 1fl00 1fl00(i0 0fl0 0 0一20-110 0022101 0021-3 . 2-21000 1 0 00l;2-3-20011a121000149510 一3 i0221010 ii-21320010210001001110-34210102-232200010)110010010111201-3-6誦140,-2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 i2 0 3 64-i6 o -12 0 3 6o o o i o o 1 o4 j 6 o -1-20 3-6i1 o-12 r lx故逆矩陣為(4 1 2、fl -3a2 2 1,b =2 213 1 -i13 -v4.(1)設(shè)4 =,x ax=b;解因為4 1-2 1 -3、r1 0() 1() 2)(人 b)=2 2 1 2 20 1 0 -15 -33 1-13 -l、0 0 112 4 j ，