期刊第5期導(dǎo)數(shù)壓軸題零點(diǎn)問(wèn)題中如何找點(diǎn)

1、我們只做最專(zhuān)業(yè)的全國(guó)一卷新高考研究，歡迎你的加入。期刊第1期導(dǎo)數(shù)壓軸題零點(diǎn)問(wèn)題中如何找點(diǎn)長(zhǎng)沙市明達(dá)中學(xué)吳祥云前言：最近今年的的高考?jí)狠S題中，“雙變量”的不等式問(wèn)題及“零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題” 是十分的火熱了，前期我們已經(jīng)討論過(guò)“雙變量”的不等式問(wèn)題，這一期我們來(lái) 討論“零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題”。在“零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題”中，“找點(diǎn)”無(wú)疑是難點(diǎn)中的難點(diǎn)了， 這里筆者談一些個(gè)人的看法，歡迎同行批評(píng)指正。問(wèn)題1:為什么要找點(diǎn)？ 例：若函數(shù)f(x) = e，ax(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。我們很容易經(jīng)過(guò)求導(dǎo)得到f(lna)<0,得到a>e,然而 在沒(méi)有論證之前，a>e顯然只是一必要條件，我們

2、還 需要證明它的充分性，而證明的方法無(wú)疑一般使用零 點(diǎn)存在定理，在x=lna的兩邊找到兩個(gè)函數(shù)值為正的 點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)“找點(diǎn)”。問(wèn)題2：如何找點(diǎn)？直接找。顯然f(0) = 1 > 0,故f(x)在區(qū)間(O,lna)存在一個(gè)零點(diǎn)。f(21na) = a? - 2alna = a(a 21na) > 0,(注：我們可以證明a-21na > 0恒成立)，f(x)在區(qū)間Qna,21na)存在一個(gè)零點(diǎn)。能夠直接找，顯然是最快捷的，而直接找點(diǎn)一般是要想辦法消滅指對(duì)。進(jìn)行“有效的”放縮何謂有效的放縮？我認(rèn)為第一放縮以后可以直接找出放縮以后的函數(shù)的零點(diǎn)，第 二找到的點(diǎn)要符合所找尋的范圍。比如在本例

3、中，尋找x=lna右邊的零點(diǎn)時(shí)，如果我么利用不等式e，> x進(jìn)行放縮， 則f(x) = 0、一公>*一3兄*一2乂 = 0無(wú)解，放縮失敗，若利用不等式ex>： 進(jìn)行放縮，則 f(x) = e* - ax > ： ax,令:一 ax = O,則乂 =小 V Ina, 放縮失敗.我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)y = ax本身就是一條斜率可以無(wú)窮大的直線(xiàn)，故我們?nèi)绻扇≈本€(xiàn)放縮，則無(wú)論如何也難成功，所以采取曲線(xiàn)放縮。由于e、>x2,(很容易證明),f(x) = ex ax > x2 ax,令 x? ax=O 得 x=a> Ina,f(a) > 0,.-. f(x)在區(qū)間

4、(Ina,a)存在一個(gè)零點(diǎn)，成功。小結(jié)：通過(guò)剛剛這個(gè)例子，我們可以看到取點(diǎn)的常用兩種方法：一是直接法，根據(jù)函 數(shù)的解析式直接取特殊的自變量，這種方法雖然很快捷，對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)還行，但對(duì)于 復(fù)雜函數(shù)很多時(shí)候依賴(lài)于江湖上盛傳的“上帝之眼”；二是放縮法，我們一方面要注意“有效的放縮”，二是要掌握一些常用來(lái)放縮的不等式，比如：直線(xiàn)放縮：ex > %, ex > x + 1, ex > -x, Inx < %, Inx < x - 1, Inx < -x; ee曲線(xiàn)放縮：Inx < -x2, Inx < -x3, Inx < Vx, Inx >

5、ex > x2,ex > /x;23x有界放縮：如一lKsinxKl,x>(Hht，0 V 一火 V l,x > 1 時(shí)，OVvi 等0X下面就油兩道道例題來(lái)說(shuō)明幾種方法的運(yùn)用。 題目1：已知函數(shù)£)=*6乂72*+1,其中2區(qū)(1)當(dāng) a = 0 時(shí)，證明：f(x) > 0;(2)當(dāng)a>0時(shí)，討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析：(2)令f(x) =0 = 乂1-】一數(shù)+ 1小=0顯然不是方程的解，=eXTa + 2=0,X令g(x) = e'T - a + 'g'(x) = e'T -3，由(1)可知 xe'-1

6、+ 1 > 0,故x V 0 時(shí)，Xe*T + = V 0,又 a > 0,二 g(X)= e"T - a + 之 V 0,即 g(x)在(一8,0)無(wú)零點(diǎn)，即 f(x)無(wú)零點(diǎn) XX2x>0 時(shí)，g(x) = aT +h>O".g'(X)在(0,+8)單增，乂 g'(l) = 0,0 <X< 1 時(shí),Xgz(x) <0,x> 1 時(shí)g<x) > 0,即 g(x)在(0,1)單減，(1, +8)單增,x > 0, g(x) > g(l) = 2 - a,0<a<2時(shí)，g(i)&

7、gt;0,則g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，即x)無(wú)零點(diǎn)：a=2時(shí),g=0,則g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；a>2時(shí)，gv 0,(下面進(jìn)入找點(diǎn)環(huán)節(jié))g(x) = ex-1 -2 + ->-2+-,令-2+-=0得* = 一< l = g (-) > 0 = g(x)在 xxxaa/g, 1)有一個(gè)零點(diǎn)，1口 J .進(jìn)行放縮時(shí)為什么選擇舍棄ex'?g(x) = ex-1 a + - > e、T a,令 e，T a = 0 得 x=l + lna>l = g(l + Ina) > 0, x=g(x)在(Llna+ 1)有一個(gè)零點(diǎn)，思考：進(jìn)行放縮時(shí)為什

8、么選擇舍棄上X.a2時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：本題解答的第一步利用函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根把f(x)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)的 零點(diǎn)問(wèn)題，使得在導(dǎo)數(shù)中不含參數(shù)：在找點(diǎn)環(huán)節(jié)，找左邊為正的點(diǎn)時(shí)，選擇舍棄e，T是為了構(gòu)造一個(gè)減函數(shù)，而在我右邊為正點(diǎn)時(shí)選擇舍棄乙是為了構(gòu)造一個(gè)增函X數(shù)，使得放縮以后的函數(shù)大于零都有解。題目2:已知函數(shù)f(x)=一二虱乂)= ax,a R.(1)當(dāng) a = l 時(shí)，求 h(x) = f(x) + g(x)的極小值:(2)當(dāng)t>0時(shí)，關(guān)于t的方程4一1一1) + 111a + 1)-£ = 8(。有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) a的取值范圍

9、。解析：(2)方程 f(t 1) + ln(t + 1) e = g(t)KPet+1 + ln(t + 1) - e at = 0,令 r(t) = et+1 + ln(t +l)-e-at(t > 0), r'(t) = et+1 + . 一 a, r"(t) = et+1 -添,t > 0 => et+1i,et+i _> e - 1 > 0,.r)在(0,+8)單增,rz (0) = e + 1 - a.aWe + l 時(shí)，r'(t)>0 恒成立，r(t)在(0,+8)單增，r(t) > r(o) = 0,r(t)無(wú)零

10、點(diǎn): a > e + 1 時(shí),r'(0) = e + l- a<0/ 乂 r'(t) = et+1 + -a > e1 -a> t-a, 令t - a = 0得t = a, r'(a) > 0 A這里用到了有界放縮和切線(xiàn)放縮ei+i > t (證明略) 3t0 e (0,a),使得,r'(to) = 0,且 r(t)在(O,to)單減,(t(),a)單增,:.r(t0) < r(0) = 0, 二r(t)在(O,to)沒(méi)有零點(diǎn)，t > 0 時(shí),r(t) = et+1 + ln(t + 1) e at > et

11、+1 e at > t2 e at,這里用到了有界放縮和切線(xiàn)放縮et+i >t2 (證明略)人 ？-4a+/a2 +4a 、/a+v'a2+4a 、 八令t2 e at = 0 = t =-> a,:. r (-J > 0,(a + 4ato,一三)，使得r(ti) = 0,即r(t)有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)t>0時(shí)，關(guān)于t的方程f(t1) + 111&+1)-6 = 8(0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí), a的取值范圍為(e+1,+8).點(diǎn)評(píng)：在本題解答中，雖然函數(shù)r(t)的定義域?yàn)?0,+8),但是t = 0不影響函數(shù)r(t)的連 續(xù)性，故在解題中用到了r(0)和，(0),當(dāng)然我們也可以把r(t)的定義域?yàn)?,+8%不 會(huì)影響到討論的過(guò)程；我們?cè)谡尹c(diǎn)時(shí)，兩次都同時(shí)用到了 “有界”放縮和“曲線(xiàn)(含直 線(xiàn))"放縮，一般而言，“有界”放縮只需要說(shuō)明，而“曲線(xiàn)(含直線(xiàn))”放縮要給出嚴(yán) 格的證明.導(dǎo)數(shù)壓軸題中的零點(diǎn)問(wèn)題將繼續(xù)是高考得熱點(diǎn)，我總結(jié)的是比較簡(jiǎn)單但是容易操 作的幾種方法，由于能力有限，總結(jié)得不是很到位，也沒(méi)有給出更好的方法。題 目1和題目2參考了 “玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)交流群中”的Master