數(shù)值分析綜合例題

1、第二章第二章 線性方程組的直接解法線性方程組的直接解法 .2第三章第三章 解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法 .6第五章第五章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法非線性方程和方程組的數(shù)值解法 .8第六章第六章 插值法與數(shù)值微分插值法與數(shù)值微分 .12第七章第七章 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近 .16第八章第八章 數(shù)值積分數(shù)值積分 .19第九章第九章 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法 .24第二章第二章 線性方程組的直接解法線性方程組的直接解法1、用 LU 分解法求如下方程組的解（1）， （2）3351359059171 3235220330127X 解：（1）133511245

2、22133AL UA4(101)(1,1,)339(, 2)22TTTL YYUXYXA（2）132332352222012333301271313b 15521133371311yy 3235121123321313XX 2、對 4 階矩陣進行 LU 分解242649615269186151840A解：24261242649615211232691812136615184033211A3、用高斯列主元素消去法解線性方程組12312312231425427xxxxxxxx1231231231132323110221xxxxxxxxx 解：對增廣矩陣進行初等行變換3221315()+(-2)r8

3、1()22131213121314254041204121207531372100022284rrrrr 同解方程組為1232332314272184xxxxxx回代求解得(9, 1, 6)TX 此種方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法2121311()21()4425421314254142542131021212071207350624rrrrrr 32344254102127210084rr得同解方程組1232334254121272184xxxxxx 回代求解得(9, 1, 6)TX 212131112312323111011323231110523523111011323032

4、323122112215747012323rrrrrr323252()57231110231110574757470101232323235235193223030023235757rrrr 得同解方程組12323323110574701232319322300()5757xxxxxx 回代得(0.212435,0.549222,1.15544)TX 4、用 Jordan 消去法解矩陣方程，其中：AXB，112221111A011001B解：容易驗證，故 A 可逆，有 .因此，寫出方程組的增廣矩陣，0A 1XABA對其進行初等變換得1111011110111101220101111011112

5、11100313000263100211002110111101022330013001322121122332XABA5、用 LU 分解法求解如下方程組12325610413191963630 xxx解：100256210037341004ALU12312311021193413010,19201,34304(10, 1,4)TLybyyyyyyy (1)解得即123321(2)25610371441,2,3(3,2,1)TUxyxxxxxxx 解解得：所以方程組的解為。第三章第三章 解線性方程組的迭代法解線性方程組的迭代法1、113112132aaaAaaorAaaRaaa若 Jacobi

6、 迭代收斂，求的范圍a解：（1） 、時的 Jacobi 迭代矩陣111aaAaaaa000aaBaaaa 2(2 )()aaEBaaaaaaaJacobi 迭代收斂2111( )1122aBaa （2） 、Jacobi 迭代矩陣131232aAaa131102320aBa1321211213233232aaaaaaEBaaaaaaaaaa=222241 16323()()()aa aaa aa A22222484()()aaa 123220iiaa Jacobi 迭代收斂12312( )11121Biaa 2、討論的 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的收斂性AXb其中，12

7、2111(1,1,0)221TAb 解：Jacobi 迭代法的迭代矩陣110221()1011220JBIA則30()01JJIBBJacobi 迭代收斂Gauss-Seidel 迭代矩陣1102210220221101110102122104210086G SB 22(44)0()22 21G SIBB Gauss-Seidel 迭代發(fā)散3、討論下列迭代法的收斂性的 G-S 迭代AXb211131125A(1)( )KkXBXb0.10.20.30.10.50.10.20.10.020.30.20.30.50.10.20.05B解：100.50.511()066110306DLUBA21(3

8、0101)030EB12 3102002 30A1=1iGaussSeidel 故（B) m ax迭代收斂，故 B 的譜半徑，由迭代法收斂的充分必要|0.91B( ) |1BB條件知該迭代格式收斂第五章第五章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法非線性方程和方程組的數(shù)值解法1、給定函數(shù)，設(shè)對一切，存在且( )f xx( )fx0( )mfxM證明：，迭代過程均收斂于的根20M 1()kkkxxf x( )0f x 證明：的等價形式為( )0f x ( )xxf x則對應(yīng)的迭代函數(shù)1()kkkxxf x( )( )xxf x( )1( )xfx0( )0( )20( )2111( )11mfxMmfxM

9、mfxMmfxM A( )1( )max 1,11xfxmM易證有根，故迭代過程收斂于的根( )0f x 1()kkkxxf x( )0f x 2、證明：所產(chǎn)生的序列收斂于的01,cos(0,1,2)kkxRxx k由cosxx根證：考慮區(qū)間1,11,1,( )cos1,11,1,( )sinsin1 1xxxxxx 所得序列收斂于的根011,1coskkxxx 由cosxx，將看作新的迭代初值，則由知序列010,cos1,1xRxx 1x必收斂于的根cosxx3、利用適當?shù)牡袷阶C明2lim2222kk 個證：考慮迭代式則102(0,1,2,)0kkxxkx12222222kxxx顯然0,

10、2kx 記迭代函數(shù)1( )2,0,2( )2 2xxxxx則:10,2x 有( )0,2x 221( )(0)12x由迭代法的全局收斂定理（壓縮映像原理）知所產(chǎn)生序列收斂于的根010,22kkxxx由( )2xxx在上解方程得惟一根 x=2。0,22xxlim2kkx4、研究求的牛頓公式a11(),0,0,1,2kkkaxxxkx證明：對一切，且單調(diào)遞減，從而收斂。1,2,kkxa kx分析，令22,0,0,( )xa xxa xf xxa則令由牛頓公式21()1()()22kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx證：00,0,0,(1,2,)kaxxk故111()222kkkkkaax

11、xxaxxA AA121(1)12kkkxaxx單調(diào)遞減有下界，必收斂 kx5、設(shè)，應(yīng)如何選取 才能使迭代式具有局部收斂2( )(3)xxc xc1()kkxx性解：迭代格式210()(3)0,1,2,kkkkxxxc xkx給定局部收斂，設(shè)迭代序列的極限值為，則有2(3)c得33 或( )12xcx 當由局部收斂定理知1( 3)1,12 31,03cc即即時,迭代格式局部收斂于1()kkxx3當由局部收斂定理知131,12 3103cc（）即，即時,迭代格式局部收斂于1()kkxx36、給出計算的迭代公式，討論迭代過程的收斂性并證明1111x 512x解：令12111,1,111 1111

12、11nxxx 其中，中有 n 條分數(shù)線nx則：11,lim1nnnnxxxx且令11( )()1nnf xxf xx則顯然，0110,(0,1),1 ,2,3,2kxxxk我們不妨在上討論迭代式的收斂性1,121()nnxf x：111,1 ,( ),1212xf xx ：2114,1 ,( )12(1)9xfxx ：112,121( )1fxCx 由全局收斂定理（壓縮映像原理）所得序0111,1 ,()21kkkxxf xx列必收斂于方程的根。1( )1xf xx解方程得11xx512x51lim2nnx即：1511211第六章第六章 插值法與數(shù)值微分插值法與數(shù)值微分1、設(shè)，且，求證2( )

13、,f xca b( )( )0f af b2()max( )max( )8a x ba x bbaf xfx 證：以為插值節(jié)點進行線性插值，其插值多項式為, a b1( )( )( )0 xbxaL xf af babba由插值余項定理1( )( )( )()()( , )2!ff xL xxa xba b2( )1( )()()max( ) max ()()2!21() max( )8aba x ba x bff xxa xbfxa xbbafx A2、試構(gòu)造一個三次 Hermite 插值多項式，使其滿足：(0)1,(0)0.5,(1)2,(1)0.5HHHH解：（法一）首先構(gòu)造如下的基函數(shù)

14、表則：2211( )()(1)( )(21)(1)xaxb xxxx2222( )() (0)( )( 23)xaxbxxxx AA2211( )(1)( )(1)H xax xH xx x函數(shù)值導數(shù)值01011( )x10002( )x01001( )H x00102( )Hx00012222( )(1)( )(1)Hxa xxHxxxAA222211( )(21)(1)2( 23)(1)(1)22H xxxxxx xxxAA（法二）：令則230123( )H xaa xa xa x2123( )23H xaa xa x230123230123212321230001111220300.52

15、1 310.5aaaaaaaaaaaaaa 0123131122aaaa 2313( )122H xxxx 3、確定一個不高于四次的多項式 H(x)，使得：(0)(0)0,(1)(1)(2)1HHHHH解：（法一）首先構(gòu)造如下的基函數(shù)表則：22002221122222251( )()(1) (2)( )()(1) (2)42( )()(2)( )(2)1( )(1)( )(1)4xaxb xxxxxxxaxb xxxxxxa xxxxx 函數(shù)值導數(shù)值012010( )x100001( )x010002( )x001000( )x000101( )x00001235414aa 220022111

16、( )(1)(2)( )(2)(1)2( )(1)(2)( )(1)(2)xa xx xxx xxxa xxxxxxx A AAAA012012222222( )0( ) 1( ) 1( )0( ) 1( )1(2)(1)(1)(2)41(3)4H xxxxxxxxxxxxxxxAAAAA（法二）令23401234( )H xaa xa xa xa x則231234( )234H xaa xa xa x2340123402340123423401234231234123123400000011111222212030400021 31411aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 得

17、2342222931( )42411(96)(3)44H xxxxxxxxx4、求三次多項式，使得3( )P x3333(0)(0)0,(1)1,(2)3PPPP解：令230123( )P xaa xa xa x則2123( )23P xaa xa x230123021231230123232301232300000203000111112223483aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2323511( )()(5)444P xxxxx A5、求一個次數(shù)3 的多項式，使得，)x(P31)0(P32) 1 (P321) 1 (P)0(P33解：令230123( )P xaa xa xa

18、x則2123( )23P xaa xa x230123212323012321230001(1)20300.5(2)1112(3)21 310.5(4)aaaaaaaaaaaaaa 由（1）得01a 由（2）得10.5a 由（3）得 （5）01232aaaa由（1）得 （6）123230.5aaa把、代入（5） 、 （6）得01a 10.5a 、21.5a 31a 23( )1 0.51.5P xxxx 6、給出概率積分的數(shù)據(jù)表如下：202( )xxy xedxx0.460.470.480.49( )y x0.4846550.4937450.5027500.511668試用拉格朗日插值法計算時

19、，該積分值等于多少？0.427x 解：記123412340.460.470.480.490.4846550.4937450.5027500.511668xxxxyyyy將看成的函數(shù)，以為插值節(jié)點作的 3 次插值多yx( )yy x1234,x x x x( )y x項式:31122334423413412121314212324( )( )( )( )( )()()()()()()()()()()()()L xy l xy lxy l xy lxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxxAAAA 12312434313234414243()()()()()()()()()()()()

20、xxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxx3(0.472)(0.472)0.023263440.426595680.1085940.0163733760.495582864yL 當時，概率積分0.472x 20.47202(0.472)xyedx0.4955828647、利用在處函數(shù)值計算的近似值并估計誤差.yx012100,121,144xxx115解： 過點（100，10） 、 （121，11） 、 （144，12） ，yx令001122100,10,121,11,144,12,xyxyxy則的二次 Lagrange 插值多項式y(tǒng)x20 01 12 2( )( )( )( )(1

21、21)(144)(100)(144)1011(100 121)(100 144)(121 100)(121 144)L xy lxy l xy lxxxxx(100)(144)12(144 100)(144 121)xx2115(115)(115)10.722756( )|(115)| |(115 100)(115 121)(115 144)|100,1443!yLyR5252313|15 6 29|3! 81310015 6 29681.63125 10 第七章第七章 數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近數(shù)據(jù)擬合與函數(shù)逼近1、用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合2yabx解：（法一）建立超定

22、方程組2222219.01932.32549.03173.33897.844abababababAAAAA即：2222219.011932.312549.013173.313897.8144ab A解2222222222119125111111311925313844138144ab 2222211111192531384419.032.349.073.397.8得55327271.453277277699369321.5ab 0.9726060.0500351ab（法二）利用公式建立正規(guī)方程組ix1925313844iy19.032.349.073.397.85552111555222211

23、11iiiiiiiiiiiiixyabxxxx y A55327271.453277277699369321.5ab 0.9726060.0500351ab2、求形如的經(jīng)驗方式，使它能和下表數(shù)據(jù)相擬合( ,0)bxya ea baA為常數(shù)且解：對經(jīng)驗方式作變換，有，令bxya e Alnlnyabx，為了用最小二乘法求出轉(zhuǎn)化為ln ,ln ,yyAayAbx則,( ,)iiA bx y將( ,)iix y（法一）建立超定方程組1.6291.001.7561.251.8761.502.0081.752.1352.00AbAbAbAbAb即：11.001.62911.251.75611.501.8

24、7611.752.00812.002.135Ab Aix1.001.251.501.752.00iy5.105.796.537.458.46ix1.001.251.501.752.00iy1.6291.7561.8762.0082.135得正規(guī)方程組11.0011.251111111.501.001.251.501.752.0011.7512.00Ab 111111.001.251.501.752.001.6291.7561.8762.0082.135即：5552111555221111iiiiiiiiiiiixyAbxxx y 57.59.4047.511.87514.422Ab 解之得：0

25、.50561.12240.50563.07223.0722AxAbaeye3、解超定方程組24113532627xyxyxyxy解：由得正規(guī)方程組2411353126217xy 24112312352312345211245216217xy 即：1835134648xy 解之得3.0409,1.2418xy第八章第八章 數(shù)值積分數(shù)值積分1、用復化梯形求積公式求的近似值，問要將分成多少等分才能保10 xe dx0,1證結(jié)果有四位有效數(shù)字，若用復化拋物線公式呢？解：要求結(jié)果有四位有效數(shù)字此處誤差411022( ,)( )0,11211 01( )nxbaR f Th fbabahfxehn A要使

26、2422111( ,)( )101212122nhR f TfennA只需24110,40.8416nnn即若用復化拋物線公式，則44(4)4411( ,)( )102880288028802nbahR f Sh fen 2n故：用復化梯形求積公式至少需要 41 等分才能保證結(jié)果有四位有效數(shù)字，而用復化拋物線公式只需 2 等分就可以保證結(jié)果有四位有效數(shù)字。2、對于積分，當要求誤差小于時，用復化梯形公式計算所需節(jié)31sinxexdxA610點數(shù)是多少？解：6( )sin 1,3,102, xf xexabbahnnA則22312(,)( )( )( )1212nbaR f Thffn AAA 2

27、2( ) 1,33fn ( )2sin()4( )2cosxxfxexfxex31313max( )max 2cos2xxxfxexe 3322214( ,)233neR f Tenn要使，只需( ,)nR f T3243en即：3342105175.0133eene5176n 取要使誤差小于，至少要取 5176 個節(jié)點6103、用 Romberg 方法求，使誤差不超過10 xIe dx51102解：k( )0kT(1)1kT(2)2kT(3)3kT01.859140911.75393111.718861221.72722191.71831881.718282731.72051861.7182

28、8421.71828181.7182818(0)(0)753219 10102TT 4、用 Romberg 求積法求積分的近似值要求誤差不超過12041Idxx41102解：，則(1)( )( )11244( )01141mkkkmmmmTTf xabTxix( )if x04.000000012.00000000.53.20000000.253.76470590.752.56000000.1253.93846150.6252.87640450.8752.2654867按公式計算如下：k( )0kT(1)1kT(2)2kT(3)3kT03.000000013.10000003.13333332

29、3.13117653.14156783.142117633.13898853.14159253.14159413.141585843.14094163.14159273.14159273 |3.1459263.1415858|102RR故為所求近似值122043.14159261dxRx5、分別用拋物線公式和三點高斯公式計算積分，并比較它們的精121cosxxdx度，準確值為 0.478267254解：設(shè)2( )cos ,(1)( 1)0.540302305,(0)0f xxxfff則由拋物線（辛普森）公式12122cos( 1)4 (0)(1)0.540302305

30、630.360201537xxdxfff由三點高斯公式12153853cos()(0)()95995xxdxfff而33()()0.428821915,(0)055fff故12153cos2()0.47646879595xxdxf 與準確值比較知：Simpson 公式的計算結(jié)果無有效數(shù)字；三點高斯公式有兩位有效數(shù)字。6、確定如下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出代數(shù)精度111( )( 1)2 ( )3 ( )3f x dxfff解：當時，左邊( )1f x 1112dx 右邊112 1 3 123 左邊=右邊 當時，左邊( )f xx110 xdx 右邊11233 當時，左邊2(

31、 )f xx12123x dx 2221( 1)233右邊要使求積公式具有 2 次代數(shù)精度，當且僅當221( 123 )0312(123)33 即22231231得或1116532 6152216532 615將代求積公式得11(,) 1111632 6( )( 1)2 ()3 ()3515f x dxfff當時，左邊3( )f xx1310 x dx右邊33311632 6( 1)2 ()3()03515 左邊右邊，故此時求積公式具 2 次代數(shù)精度；將代入求積公式得22(,)1111632 6( )( 1)2 ()3 ()3515f x dxfff當，左邊3( )f xx時1310 x dx

32、右邊311632 612()3()03515 左邊右邊，故此時求積公式具 2 次代數(shù)精度綜上：時，所得求積公1632 61632 6,515515或式具最高代數(shù)精度 2。第九章第九章 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法1、用 Euler 預估校正格式求解初值問題2sin0(1)1dyyyxdxy要求步長，計算的近似值0.2h (1.2)(1.4)yy及解：設(shè)2000( , )sin ,1,1,1 0.2nf x yyyxxyxxnhh Euler 預估校正式為1111(,)(,)(),2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy212211110.2(sin)0.1(sin

33、sin)nnnnnnnnnnnnnyyyyxyyyyxyyx由計算得：01y 110.631706(1.2)0.715489yyy220.476965(1.4)0.526112yyy2、用歐拉法解初值問題10 (1)(01.0)(0)0yxyxy取步長，保留 5 位有效數(shù)字，并與準確解相比較0.1h 251xye 解：0.1,0,1,2,10ihxihi25( , )10 (1)( )1xf x yxyy xe 歐拉公式如下：10( ,)10(1)0iiiiiiiyyhf x yyhxyy即：1(1)0,1,90iiiioyxxyiyA計算結(jié)果如下表所示iixiy( )iy x( )iiy x

34、y10.100.0487710.04877120.20.100000.181270.08126930.30.280000.362370.08237240.40.496000.550670.05467150.50.697600.713500.01589560.60.848800.834700.01409970.70.939520.913710.02581480.80.981860.959240.03713290.90.996370.982580.013792101.00.999640.993260.0063783、對初值問題步長為時，用梯形公式得近似解，(0)1dyydxy h2()2nnhyh

35、時，收斂于準確解0h ny解：lnx cdyyydxyxCyey 又，故（準確值）(0)1yxye0, ,xR x-0考慮區(qū)間 0, x , 步長為h時，等分數(shù)為n，顯然有h=n由梯形公式( , )f x yy 1111(,)(,)22nnnnnnnnnhyyf xyf xyhyyy21110222()()2222()2nnnnnnhhhyyyyhhhhyhAAA000022limlim()lim()022nnnhhhxhnyxhn11221111122222211lim()lim(1)lim(1)lim(1)112222111lim(1)lim(1)lim(1)1111222nnnnxxnnnnnnxxxxxxnnnxxnnxxnnnnxxeennnxxx 4、取，用改進 Euler 法的預估