銳角三角函數(shù)-基礎(chǔ)和提優(yōu)

1、 第第六講 銳角三角函數(shù)本章思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)要點與方法點撥：一、銳角三角函數(shù)的概念，解直角三角形以及特殊銳角與其三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；二、解直角三角形的工具：（1）兩銳角互余；（2）銳角三角函數(shù)；（3）勾股定理；三、要學(xué)會構(gòu)造“直角三角形”模型。遇到不是直角三角形的圖形時，要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形求解。課前復(fù)習(xí)：1， 勾股定理及其逆定理；2， 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。模塊精講1、 正弦、余弦、正切和余切我們學(xué)過直角三角形中的一個性質(zhì)：“30°所對的直角邊是斜邊的一半”，如圖，不管三角形的邊長如何變化，都有：我們再拓展到更一般的情況，如圖，A為任意銳角。根據(jù)相似的性質(zhì)，

2、同樣可以得到：也就是說，在直角三角形中，給定了一個銳角，不管直角三角形的邊長如何變化，這個銳角的對邊與斜邊的比是一個定值。我們給這個定值取了一個名字，叫做正弦。B如圖，在RtABC中，C = 90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sin A。即：斜邊c鄰邊b對邊aAC sin A = A的對邊斜邊 = a c同樣的，我們也有：我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cos A。即： cos A = A的鄰邊斜邊 = b c需要注意的是：（1）sin A和cos A是一個比值，它們的實質(zhì)是兩條線段的比，沒有單位；（2）在直角三角形中，斜邊大于直角邊，且各邊長均為正

3、數(shù)，所以有如下結(jié)論：（A為銳角）0sin A1， 0cos A1（3）sin A和cos A都是整體符號，記號中省去符號“”。但是，如果角用一個數(shù)字或者三個字母表示時，不能省去符號“”，例如，應(yīng)寫成“sin1”和“sinADB”，不能寫成“sin1”和“sinADB”；（4）由sin A= a c 可變形得到 a = c·sin A， c = a sin A ，這些變形以后經(jīng)常用到；（5）通常將(sin A)2、(cos A)2分別寫成sin2 A、cos2 A、sin2 60°等。例1、（1）在RtABC中，C = 90°，AC = 2，BC = 1，求sin

4、A、cos A、sin B和cos B的值；（2）分別計算sin 30°，sin 45°，sin 60°的值；（3）在RtABC中，C = 90°，sin A = 8/17，求cos A和tan A的值。B在RtABC中，C = 90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tan A。即：斜邊c鄰邊b對邊aAC tan A = A的對邊A的鄰邊 = a b同樣的，我們也有：我們把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cot A。即： cot A = A的鄰邊A的對邊 = b a例2、（1）在RtABC中，C = 90°，A

5、C = 12，BC = 5，求sin A，tan A和cot A的值；對于30°、45°、60°這樣的特殊角，含有這些角的直角三角形很容易得出三邊的比例關(guān)系，也容易得到這些角的三角函數(shù)值：sincostancot30°45°60°例3、 計算（1）cos45°sin45° - tan 45° ；（2）cos2 60° + sin2 60° ;（3）tan45°sin30° + tan 60°2、 特殊角的三角形函數(shù)的常見題型1、含30°、 45&

6、#176;、 60°角的三角函數(shù)的計算題例4、 已知a = sin 60°，b = cos 45°，求 a+2ba-b+bb-a 的值。2、應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值求邊長或面積例5、 已知在ABC中，AB = AC = 8，頂角A為120°，求底邊BC的長及ABC的面積。3、運用特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形的形狀例6、 已知在ABC中，A、B均為銳角，且有|tan B3|(2sin A3)2 = 0，試判斷ABC的形狀。A4、探索其他特殊角的三角函數(shù)值例7、 如果要求tan 15°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形ABC：D15°30&#

7、176;使C = 90°，AB = 2，AC = 1，ABC = 30°，延長CB到D，BC使DB = AB，連接AD，易得ADB = 15°，請利用此圖求出tan 15°的值。DQ5、三角函數(shù)與幾何的綜合題例8、 如圖，POQ = 90°，邊長為2cm的正方形ABCD的頂點B在OP上，A頂點C在OQ上，且OBC = 30°，求點A、點D到OP的距離。C作垂線，倒角，并利用三角函數(shù)值求邊長和距離。ODPB練習(xí)： 1、計算：sin2 45° cos 30°·tan 60° = _；A2、在RtAB

8、C中，C = 90°，c = 23，b = 3，O則A = _，三角形的面積S = _；ANM3、如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點CBM、N分別為OB、OC的中點，求cosOMN的值。4、如圖所示，一張RtABC紙片，如圖用兩種相同的紙片恰好能拼成一個正三角形，那么在RtABC中，CBsin B的值是_。5、若為銳角，且滿足3tan2 4tan 3 = 0，求的度數(shù)。6、四邊形ABCD是平行四邊形，已知B = 60°，BC = 4，AB = 2，試求四邊形ABCD的面積。3、 三角函數(shù)及函數(shù)性質(zhì)ACBbaA的正弦、余弦和正切都是A的三角函數(shù)。1、一個銳

9、角的正弦值和它的余角的余弦值相等：c如圖，在RtABC中，C = 90°，則有：sin（90°A）= cos A， cos(90°A) = sin A.2、一個銳角的正切值和它的余角的余切值相等：如圖，在RtABC中，C = 90°，則有：tan（90°A）= cot A， cot(90°A) = tan A.3、取值范圍：0sin A1， 0cos A1， tan A和cot A可取全體正數(shù)。4、增減性：隨著A的角度增大，A的正弦sin A和正切tan A逐漸增大，而A的余弦tan A和余切cot A逐漸減小。例9、 （1）已知A+

10、B = 90°，且sin A = 3 5 ，則cos B = _，tan B = _；（2）已知sin 35° = m，則 cos _° = m；（3）在RtABC中，C = 90°，若sin B = 0.21，則cos A = _；（4）sin 32°_sin 38°， cos 54°_cos 60° ， tan 78°_tan 82°（填或）；（5）若A和B都是銳角，且AB，則sin A_sin B， cos A_cos B， tan A_tan B；（6）若是銳角，且sin 1 2 ，則的

11、取值范圍是（ ）A、0°30° B、30°60° C、60°90°5、四種三角函數(shù)之間的關(guān)系：同一個銳角 的三角函數(shù)有如下幾種關(guān)系： 平方關(guān)系： sin2 cos2 = 1 ，稱為三角函數(shù)版的勾股定理，可用勾股定理證明； 倒數(shù)關(guān)系： tan ·cot = 1 ，易得tan 和cot 是互為倒數(shù)的； 比值關(guān)系： tan = sin cos ， cot = cos sin 。例10、（1）sin2 65° + cos2 65° = _；（2）在ABC中，A為銳角，sin A = 1 3 ，則cos A = _

12、；（3）在ABC中，A為銳角，tan A = 1 3 ，則cot A = _；（4）在ABC中，A為銳角，sin A = 7 4 ，則cos A = _， tan A = _；（5）在ABC中，A為銳角，cos A = 5 13 ，則tan A = _.4、 三角函數(shù)常見題型1、求角的正弦值、余弦值例11、 已知直角三角形的斜邊與一直角邊的比為7：5，為其最小的銳角，求的正弦值和余弦值。Py當(dāng)兩個量之比為m：n時，常設(shè)這兩個量分別為mk、nk，如這題可以設(shè)兩直角邊長分別為7k、5k。另外，需要判斷哪個角是最小的銳角。2、利用平面直角坐標(biāo)系求銳角的三角函數(shù)值例12、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點

13、P（3，4）是邊上的一點，求sin 的值。利用坐標(biāo)系得到直角三角形及其三邊長。3、利用銳角三角函數(shù)求邊長或面積例13、 在QxOABC中，C = 90°，AC = 4，sin A = 1 3 ，求AB的長。A根據(jù)sin A代表的關(guān)系設(shè)未知數(shù)列方程。例14、 如圖，在ABC中，cos B = 2 2 ，sin C = 3 5 ，AC = 5，求ABC的面積。CB作ADBC，根據(jù)三角函數(shù)值解三角形。4、利用三角函數(shù)關(guān)系的探求題例15、 對于任意一個銳角，有sin2 cos2 = 1，請利用這一結(jié)論求 sin2 1°sin2 2°sin2 89° 的值。 si

14、n 89° = cos(90°89°) = cos 1°， sin2 1°sin2 89° = sin2 1°cos 21° = 1 ， 原式 = 44sin2 45° = 44.5 練習(xí)： 1、在RtABC中，C = 90°，若把ABC的各邊都擴大為原來的m倍，則cos B的值為（ ）DC A、mcos B B、1 m cos B C、mcosB D、保持原值不變2、在等腰ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，則sin B的值為_；E3、化簡：1-sin220° = _；O

15、BA4、如圖，AB是O的直徑，弦AC、BD相交于點E，則CDAB等于（ ） A、sin A B、cos B C、sinAED D、cosAEDA由相似，CD/AB = DE/AE = cosAEDD5、將cos 21°，cos 37°，sin 41°，cos 46°按照其值的大小由小到大的順序排列。6、如圖，在RtABC中，ACB = 90°，CDAB于點D，AB = 10，CBcosBCD = 3 5 ，求ABC的面積。5、 解直角三角形解直角三角形是指：根據(jù)已知條件，求出直角三角形的所有邊和角。（1）至少知道幾個元素才能解直角三角形？在全等

16、三角形中，我們知道，有三個元素可以確定一個三角形，在直角三角形中，已知一個角是直角，因此，只需兩個元素就可以了；（2）需要知道什么元素？已知兩個角無法確定三角形的邊，因此，我們需要知道一邊一角或者兩邊。AaCBc（3）如何通過已知元素求其他的元素？通過直角三角形的邊和角之間的關(guān)系：b 角的關(guān)系：兩銳角互余，AB = 90°； 邊的關(guān)系：勾股定理，a2b2 = c2 ； 邊角關(guān)系：三角函數(shù) sin A = a c，sin B = b c，cos A = b c，cos B = a c，tan A = a b，tan B = b a .例16、 根據(jù)下列條件解直角三角形：（1）在RtAB

17、C中，C = 90°，a = 5，c = 52；（2）在RtABC中，C = 90°，c = 43，A = 60°；（3）在RtABC中，C = 90°，a = 6，b = 23；B（4）在RtABC中，C = 90°，b = 15，A = 30°。cabAC例17、（1）在RtABC中，C = 90°，a = 5，b = 15，解這個直角三角形；（2）如圖，在RtABC中，C = 90°，a = 4，A = 25°，解這個直角三角形，（參考數(shù)據(jù)：sin 25°0.42，tan 25°

18、0.47，結(jié)果精確到0.01）（3）在RtABC中，C = 90°，A = 70°，AB = 5，則直角邊AC長為（ ）CA、5sin70° B、5cos70° C、5tan70°6、 解直角三角形的常見題型例18、 如圖，在ABC中，B = 45°，ACB = 75°，AC = 2，AB求BC的長。B例19、 如圖，在四邊形ABCD中，AB = 2，CD = 1，A = 60°，CADD = B = 90°，求此四邊形ABCD的面積。求不規(guī)則多邊形面積的基本思路是“化不規(guī)則為規(guī)則”，可以用割補法。把多邊

19、形變成幾個易求的圖形的面積的和或差。本題可以用（1）“補法”：延長AD、BC交于點E （2）“割法”：作BEAD于點E，再做CFBE于點F A例20、 如圖，在ABC中，C = 150°，AC = 4，CBtan B = 1 8 ，求BC的長。作ADBC，交BC的延長線于點D。例21、 已知等腰三角形的面積為2，腰長為5，底角為，求tan 。本題需分等腰三角形頂角為銳角和鈍角兩種情況，得2或1/2.POA練習(xí)： 1、如圖，PA是O的切線，切點為A，PA = 23，APO = 30°，則O的半徑長為_；CDBA2、在RtABC中，C = 90°，tan A = 1

20、2 ，a、b、c為對應(yīng)的三邊長，且ab = 37，則a、b、c的長分別是_；3、如圖，在ABC中，ACB = 90°，A = 30°，AB = 8，D為ABDA延長線上一點，且CDB = 45，求CD和BD的長。4、如圖，在ABC中，C = 90°，D為BC上一點，ADBCDAC = 30°，BD = 2，AB = 23，求AC的長。5、如圖，在四邊形ABCD中，B = D = 90°，BCA = 150°，AB = 5，CD = 15，求AD、BC。視線鉛垂線7、 用銳角三角函數(shù)解決問題為仰角為俯角物體B底面水平線水平線物體B觀測點

21、A視線觀測點P仰角俯角水平線觀測點A北北偏西45°北偏東60°i = hlhl60°45°東西60°45°南偏東60°南偏西45°南 坡度i = tan = h l ，叫做坡角；Ai越大，tan 就越大，斜坡就越陡；反之，斜坡就越緩。 方向角例22、 小明和小華看到一顆大樹，如圖，BM為小華，CN為小明，AE為大樹，MNE為底面，B、C為小明和小華的觀測點眼睛，C小明：我站在此處看樹頂仰角為45°，NMEDB小華：我站在此處看樹頂仰角為60°，小華小明小明：我們的身高都是1.6米，ACB小華：我

22、們相距20米。請根據(jù)他們的對話，計算大樹的高度。（31.732，結(jié)果精確到0.1米）例23、 如圖，已知小山BC的高為h，為了測得山頂上的鐵塔AB的高x，在平地上選擇一個觀測點P，在P點處測得B點的仰角為，A點的仰角為，（講解）（1）試用、和h的關(guān)系式表示鐵塔的高x；P（2）當(dāng) = 30°， = 60°，h為68m時，求鐵塔的高度。B例24、 如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD = 4米，坡度為1：3，小明在斜坡上的點C處測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°，其中點A、C、E在同一直線上。（1）求斜坡CD 的高度DE

23、；D（2）求大樓AB的高度（結(jié)果保留根號）。延長BD交AE延長線于F，易得BFA = 45°，DE = EFECA= 2，EC = 23. 設(shè)AC為x，則AB = 3x，AF = 223x，練習(xí)：（1） （2）P例25、 （2016山東臨沂中考）如圖，一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向，距離燈塔20海里的A處，它向東航行多少海里到達燈塔CBAP南偏西45°方向上的B處？（31.732，結(jié)果精確到0.1）CP練習(xí)：1、如圖，直升飛機在跨海大橋AB的上方的P點處，此時飛機離地面的高度是a米，且A、B、O三點在一條直線上，從點P測得點A 俯角為，點B的俯角為，BA求大橋

24、AB的長。8、 三角函數(shù)與圓的綜合題三角函數(shù)與幾何圖形綜合題的思路：先把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段比，再利用相似、圓等幾何性質(zhì)。例26、 首先，ODAE。FODFAE，得FC = 2，例27、 連OB，易得OPBOPA， OBP = 90°，sin OPA = OA/OP， BD/PA = 2/1 = BD/PB， CD/CO = 2/1，設(shè)CO = r，則CD = 2r，又BO = r， BD = 22r， 因此，PA = 2r， OP =3r，例28、 ABD = CBD， AEB = BCD；因此，sinAEB = sinBCD = BD/BC總結(jié)：根據(jù)“等角的三角函數(shù)值相等”，可以把

25、一個角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一個相等且容易計算的角的三角形函數(shù)。例29、 由BEFACF，面積比 = 相似比的平方，需求相似比，又cosBFA = BF/AF = 相似比 例30、首先，cos C = cos A，由DF = 3，易得BE = 3·4/5 = 12/5，再得CE = 16/5 = DE，設(shè)半徑為r，則AB = 2r，由cos A可得BF = 3r/2，AF = 5r/2， AD = 5r/23. DE = 3r/29/5， 解方程，可得 r = 10/3. 還有更簡單的方法：連DB，DBF = A，由cosA，得BF = 5， AB = 5·4/3 = 20/3

26、 連接DB構(gòu)造出含DF的直角三角形。練習(xí)：（1） （2）（2）連OD、OE，易得ODCE，OEBE。因此，OEB =CBD， BO/BE = 2/3， BE = 9。9、 構(gòu)造直角三角形使用三角函數(shù)例31、（1）（2）（3）例32、（1）在RtABC中，C = 90°，如果sin A = 4 5 ，則tan B = _；（2）已知等腰三角形的底為4，腰為6，則頂角的正切值是_；（3）（4）例33、（1）（2）（3）練習(xí)：（1） （2）（3） （4）課后鞏固習(xí)題1. 如圖(1)，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處已知，AB=8,則的值為 ( ) 圖52. 如圖(2)，在直角坐標(biāo)系中，將矩形沿對折，使點 落在處，已知，則點的坐標(biāo)是（ ）（1） （2） (3) (4) (5)3. 如圖(3)，在等腰直角三角形中，為上一點，若 ，則的