定義域的作用

1、函數(shù)定義域的重要作用函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終 盡管對(duì)應(yīng)法則是構(gòu) 成函數(shù)的核心，但定義域也是構(gòu)成函數(shù)的重要組成部分，是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，是函數(shù)賴以變化的基礎(chǔ)，函數(shù)定義域的變化對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的改變等方 面有著不容忽視的制約作用下面就談?wù)劧x域?qū)忸}的作用與影響.一禾I用函數(shù)的定義域判斷函數(shù)是否是同一函數(shù)例1判斷函數(shù)f(x)=lgx2與g(x) = 2lgx是否同一函數(shù)？解：T f (x) =lgx2 定義域?yàn)?-X，0)U (0，+x)，而 g(x)=2lgx定義域?yàn)?0， +x)，. f(x)與g(x)的定義域不同，f (x)與g(x)不是同一函數(shù).評(píng)析：由此題得

2、到一個(gè)重要結(jié)論：在化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式時(shí)要在原函數(shù)定義域上等價(jià)變化，也就是說(shuō)定義域在函數(shù)解析式變形化簡(jiǎn)中有重要的作用.二.函數(shù)定義域是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系式的重要組成部分函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)關(guān)系式時(shí)必須考慮所求函數(shù)的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式就可能出錯(cuò)另外，根據(jù)函數(shù)定義可知函數(shù)定義域是非空的數(shù)的集合，若一個(gè)關(guān)系式中某一個(gè)變量取值范圍的集合是空集，那 么這個(gè)關(guān)系式中的幾個(gè)變量之間就不能構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系式.例2 .把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，求矩形面積 S與矩 形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式.解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為、502 -x2 cm，由題意得：S502 - x2，故所求的

3、函數(shù)關(guān)系式為：S = X、502 - x2 .如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量 x的范圍， 解題思路還不夠嚴(yán)密.因?yàn)楫?dāng)自變量 x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù) 數(shù)或零，即矩形的面積為非正數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，故還要補(bǔ)上自變量 x的范圍：0：x：50，所以函數(shù)關(guān)系式為：S = x、.502 -x2 ( x 50 ).評(píng)析：從此例可以看出，用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響若考慮不到這一點(diǎn)，結(jié)果很有可能出錯(cuò)例3 .判斷式子是否為函數(shù)關(guān)系式.Jx2-1解：要使上面的式子有意義，則1-x2> 0且x2-1>0，其解集為

4、空集，由函數(shù) 定義可知這個(gè)式子不表示函數(shù)關(guān)系式.評(píng)注：解題時(shí)若忽視了定義域的作用，貝幷艮可能得到一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)果.三函數(shù)定義域?qū)瘮?shù)值域的限制作用函數(shù)的值域是指全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定后，函數(shù)值也 隨之而定.因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)特別注意函數(shù)定義域.例4.求函數(shù)y = x，2._x-3的值域.錯(cuò)解：令 t 二 x -3,則x 二 t2 3 y =(t2 3)2t -t2 2t 3 = (t 1)2 2，故所求的函數(shù)值域是2：).剖析：換元后t _0，而函數(shù)y =t2 2t 3在0，+x)上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=3 .故所求的函數(shù)值域應(yīng)為3，+x).評(píng)析：由此例可看出變

5、量的允許值范圍是何等的重要， 特別是變量隱含的取 值范圍，對(duì)整個(gè)解題過(guò)程，以及對(duì)最后的結(jié)論都起到至關(guān)重要的作用. 若能發(fā)現(xiàn) 變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維過(guò)程，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，就可以 避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生.四.函數(shù)定義域?qū)瘮?shù)奇偶性的作用由函數(shù)奇偶性定義可知：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)有奇偶性的必要條 件，若一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則此函數(shù)就一定不具有奇偶性.故判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì) 稱，再用奇偶性定義加以判斷.例5.判斷函數(shù)y=(1+x) . 1_x的奇偶性.1 +x1 x解：要使函數(shù)有意義必有 3_0，則-1<x

6、< 1,故函數(shù)定義域?yàn)?-1,1，1 + x顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，原函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).評(píng)析：如果求解時(shí)不注意函數(shù)定義域，那么就會(huì)得到如下錯(cuò)誤結(jié)論:f (x) = -1 - x2f (-X)二 f (x)，函數(shù) y=(1+x) J： 是偶函數(shù).故在解題過(guò)程中要求定義域并判斷該定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，而直接用定義加以判斷造成失誤是造成結(jié)論錯(cuò)誤的主要原因.五函數(shù)定義域?qū)瘮?shù)周期性的作用由函數(shù)周期定義可知：若正數(shù) T是函數(shù)的周期，則x+T也在函數(shù)的定義域 內(nèi)，再由數(shù)學(xué)歸納法可知nT（nN*）也是這個(gè)函數(shù)的周期，從而x+nT也在這個(gè) 定義域內(nèi)，故周期函數(shù)的定義域至少有一

7、端到無(wú)窮.例6:判斷函數(shù)y=sinx，x 0，6 n 的周期性.解：因?yàn)楹瘮?shù)y二sinx，x 0，6n 的定義域?yàn)橛邢迏^(qū)間（這里不再做過(guò)多的 解釋），故此函數(shù)不是周期函數(shù).六. 函數(shù)定義域?qū)瘮?shù)單調(diào)區(qū)間的作用函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)， 函數(shù)值隨著 增減的情況，而函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集， 所以討論函數(shù)單調(diào)性一定 要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例7.指出函數(shù)f（xlg（x2 3x）的單調(diào)區(qū)間.解：要使函數(shù)有意義必有x2 3x 0，二x 0或x ： -3函數(shù)定義域?yàn)椋?：）.則u=x23x在x （：,-3）上時(shí)為減函數(shù)， 在X- （0：）上為增函數(shù).又

8、t f（u）=lgu在（0,：）上是增函數(shù)，函數(shù)f（xlg（x23x）在（-：,-3）上是減函數(shù)，在（0：）上是增函數(shù).二f（x）Tg（x2 3x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0：），單調(diào)遞減區(qū)間是（-二,-3）.評(píng)析：如果在做題時(shí)，沒(méi)有在定義域的幾個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性， 就會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)論，這就說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型套公式，而不是去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)， 這也說(shuō)明學(xué)生的思維 缺乏深刻性.七. 函數(shù)定義域?qū)η蠓春瘮?shù)的影響有些函數(shù)本身不存在反函數(shù)，但在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)存在反函數(shù)，在求這類函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，除注意其值域外，也要注意定義域，否則容易出差錯(cuò).例8.求函數(shù)y

9、 = -x2 4x 2（0乞x乞2）的反函數(shù).錯(cuò)解：函數(shù) y = x2 - 4x - 2(0 _ x _ 2)的值域?yàn)?y ：二2,6,又 y = _(x - 2)26，即(x 2)2 = 6 -y , x -2 二、6 - y , 所求的反函數(shù)為y=2 ± 6-x (2<x < 6).評(píng)析：上述解法中忽視了原函數(shù)的定義域，沒(méi)有對(duì) x進(jìn)行合理取舍，從而得出了一個(gè)錯(cuò)誤的表達(dá)式.由于 0W x< 2,顯然x-2< 0,所求的反函數(shù)為y=2- , 6-x (2< x< 6).八. 函數(shù)定義域?qū)獠坏仁?、方程或求值的作用我們?cè)诮獠坏仁交蚍匠虝r(shí)要時(shí)刻注意未知量的取值范圍，因?yàn)槲覀兯獾慕Y(jié) 果要適合原不等式或方程.另外有時(shí)巧用函數(shù)的定義域，可以避免復(fù)雜的變形與 討論，不但可以保證解答過(guò)程圓滿正確，而且起到了化難為易，事半功倍的作用.例9.設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且y=x x 1，試求lg(x+y)之值.1+x1 -x2 KO解：x應(yīng)滿足x2-1Z0，即x = 1，將其代入已知等式，得y= 0，1 +x 式0故 lg(x+y)=lg1=0評(píng)析：本題關(guān)鍵在于把已知等式看作是x的函數(shù)，先求出x的取值范