課題(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)(random numbers)的產(chǎn)生

1、課 題：(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)(random numbers)的產(chǎn)生授課教師：深圳市紅嶺中學(xué) 張卓穎教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修3(人教A版)1教材分析（1）教學(xué)內(nèi)容：隨機(jī)數(shù)和偽隨機(jī)數(shù)的概念，蒙特卡羅方法.（2）內(nèi)容分析：(整數(shù)值)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生（以下簡稱隨機(jī)數(shù)）這節(jié)課的主要知識內(nèi)容是隨機(jī)數(shù)和偽隨機(jī)數(shù);涉及的數(shù)學(xué)方法是蒙特卡羅方法,數(shù)學(xué)思想是算法思想；而要解決的關(guān)鍵問題是教材P138例6,即“ 天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，這三天中恰有兩天下雨的概率是多少？”.在內(nèi)容處理方面，首先要讓學(xué)生弄清什么是隨機(jī)數(shù)，什么是偽隨機(jī)數(shù)，但僅僅這樣是不夠的，更重要的是

2、要讓學(xué)生弄清為什么要學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)，為什么要用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)來代替隨機(jī)數(shù).然而，有了產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)（或偽隨機(jī)數(shù)）的方法，并沒有解決用模擬試驗(yàn)來估計(jì)隨機(jī)事件的概率問題.因此，了解蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，并用蒙特卡羅方法計(jì)算一些隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值就成為必要的學(xué)習(xí)內(nèi)容.在利用蒙特卡羅方法計(jì)算概率的估計(jì)值時(shí)，對于一次次試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)是一件非常麻煩的事情，這正好是利用算法解決問題的絕好機(jī)會，也是對學(xué)生進(jìn)行算法思想熏陶的好時(shí)機(jī). 因此，對于隨機(jī)數(shù)這節(jié)課的設(shè)計(jì)，我是從具體案例出發(fā)，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)的必要性. 同時(shí)，在利用蒙特卡羅方法計(jì)算隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生寫出算法步驟或畫出

3、程序框圖，借助于適當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)編出程序讓計(jì)算機(jī)（器）計(jì)算概率的估計(jì)值.2目標(biāo)分析根據(jù)上述教材分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)確定為：（）明確（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)及偽隨機(jī)數(shù)的概念；（）會用信息技術(shù)工具產(chǎn)生（整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)（實(shí)際上是偽隨機(jī)數(shù)）；（）通過具體案例理解蒙特卡羅方法（隨機(jī)模擬方法），能針對具體的隨機(jī)事件設(shè)計(jì)概率模型，并通過蒙特卡羅方法得出隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值.（）在信息技術(shù)環(huán)境下，通過算法解決大量重復(fù)模擬試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)問題，實(shí)現(xiàn)計(jì)算隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值，并由此進(jìn)一步體會隨機(jī)模擬方法與算法思想.3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：通過具體案例理解蒙特卡羅方法，并用算法的思想實(shí)現(xiàn)計(jì)算隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值

4、是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).（2）難點(diǎn)：建立什么樣的概率模型來進(jìn)行模擬，通過怎樣的步驟來進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)，是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一；如何通過算法處理好利用蒙特卡羅方法進(jìn)行大量的隨機(jī)模擬試驗(yàn)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，則成為本節(jié)課的又一教學(xué)難點(diǎn).4教學(xué)方法與手段方法：教師啟發(fā)下的學(xué)生主動(dòng)探究是本節(jié)課的主要教學(xué)方法.手段：恰當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)是本節(jié)課達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的重要支持條件，無論是隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生，還是根據(jù)蒙特卡羅方法設(shè)計(jì)算法求隨機(jī)事件的概率的估計(jì)值，都離不開有隨機(jī)函數(shù)和編程功能，且操作簡單的計(jì)算器（或計(jì)算機(jī)）基于此，考慮到我校的實(shí)際條件，本節(jié)課選用富有圖形計(jì)算功能的諾亞舟搜學(xué)王NP1200型學(xué)習(xí)機(jī)作為技術(shù)支持.5教學(xué)流程通過【

5、問題】激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望，為引出本節(jié)課的內(nèi)容作鋪墊通過【問題2】介紹(偽)隨機(jī)數(shù)的概念并利用計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)在算法思想指導(dǎo)下，實(shí)現(xiàn)用計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)模擬擲骰子試驗(yàn)通過【問題3】，使學(xué)生體會如何建立用于模擬試驗(yàn)的概率模型通過【問題4】，使學(xué)生完整地體會蒙特卡羅方法，以及如何在算法思想指導(dǎo)下實(shí)施隨機(jī)模擬試驗(yàn)教師介紹蒙特卡羅方法的基本原理、步驟和應(yīng)用的廣泛性通過【問題5】，讓學(xué)生體會用于模擬試驗(yàn)的概率模型的不唯一性通過【問題6】，開闊學(xué)生視野，小結(jié)本課內(nèi)容通過評價(jià)分析中的問題，布置作業(yè)6教學(xué)過程：問題設(shè)計(jì)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖預(yù)期效果【問題】天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，這三天

6、中恰有兩天下雨的概率是多少？”教師：給出【問題】，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到下雨這件事情不好試驗(yàn)，每天下雨的概率也不能用已學(xué)過的古典概型來計(jì)算.學(xué)生：在教師給出【問題】后，理解“每一天下雨的概率均為40%”這一事件，思考這個(gè)事件能否試驗(yàn)，能否用已經(jīng)學(xué)過的知識（古典概型）解決這一問題.為引入隨機(jī)數(shù)及蒙特卡羅方法作鋪墊；啟發(fā)學(xué)生解決問題的欲望.認(rèn)識到非古典概型的客觀存在性，同時(shí)感受到這不是一個(gè)用已經(jīng)學(xué)過的知識就能解決的問題.【問題】將一個(gè)骰子擲1次，向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)的概率是多少？如果將一個(gè)骰子擲1000次，向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)大約是多少？如果通過試驗(yàn)的方法，要估計(jì)（擲一個(gè)骰子1次）向上一面出現(xiàn)1點(diǎn)的概率，你

7、會怎么做？教師：提出問題.學(xué)生：思考問題，復(fù)習(xí)古典概型；體會用試驗(yàn)方法求出隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率，并以此來估計(jì)概率的方法；總結(jié)用頻率估計(jì)概率的步驟.教師：教師指出擲一個(gè)骰子1次，骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，由此給出隨機(jī)數(shù)的概念.學(xué)生：體會、理解隨機(jī)數(shù)的概念，并思考此處隨機(jī)數(shù)的變化范圍.教師：介紹用計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法，并介紹偽隨機(jī)數(shù)的概念，例如隨機(jī)函數(shù)“rand(6)”表示產(chǎn)生0-5之間的整數(shù)值（偽）隨機(jī)數(shù)，教師演示操作過程（見附注1圖1）. 學(xué)生：（1）隨著教師在投影儀上演示的操作步驟，在自己的計(jì)算器上操作隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；（2）思考如何借助于“rand()”函數(shù)產(chǎn)生1-6間的整數(shù)值

8、（偽）隨機(jī)數(shù).從而達(dá)到模擬擲一次骰子的試驗(yàn)；（3）想象一個(gè)骰子擲1000次是否是一件容易實(shí)現(xiàn)的事情.師生：（1）復(fù)習(xí)算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)，寫出程序框圖；根據(jù)框圖將程序輸入計(jì)算器，進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)（見附注1圖2、圖3）.引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)古典概型；體會用試驗(yàn)方法求出隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率，并以此來估計(jì)概率的方法；認(rèn)識到人工試驗(yàn)耗時(shí)費(fèi)事，并由此引出隨機(jī)數(shù)和偽隨機(jī)數(shù)的概念，在學(xué)習(xí)過程中體會學(xué)習(xí)（偽）隨機(jī)數(shù)的必要性，介紹用計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法. （1）理解隨機(jī)數(shù)、（偽）隨機(jī)數(shù)的概念；（2）能用計(jì)算器產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)；（3）能用rand(6)+1模擬擲骰子；（4）能根據(jù)算法編程模擬擲1000次骰子試驗(yàn)，解決本問題.【問

9、題】在一個(gè)盒子中裝有形狀大小完全一樣，但分別標(biāo)有 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個(gè)球.（1）從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是什么？（2）從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率是多少？（3）如何用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)去估計(jì)（2）中的概率，具體步驟怎樣？教師：給出問題，啟發(fā)學(xué)生思考.學(xué)生：分析（1），體會從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字與隨機(jī)數(shù)的聯(lián)系；利用古典概型，計(jì)算出從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率.教師：在學(xué)生得出（2）的概率為40%后，啟發(fā)學(xué)生思考（3）.學(xué)生：明確通過模球試驗(yàn)估計(jì)概率麻煩，從而嘗試用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)去模擬模球過程.師生：教師引導(dǎo)學(xué)生

10、分析用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的過程，寫出算法步驟，畫出程序框圖，并按照程序框圖編寫程序，輸入計(jì)算器運(yùn)行程序，進(jìn)行具體的模擬過程（見附注2）.為解決問題1建立概率模型；讓學(xué)生經(jīng)歷用蒙特卡羅方法來估計(jì)古典概型中隨機(jī)事件的概率的過程，體會在算法思想指導(dǎo)下，用蒙特卡羅方法計(jì)算概率估計(jì)值的重要意義. 認(rèn)識到從盒子中隨機(jī)摸一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是隨機(jī)數(shù)；用古典概型求出（2）中的概率是40%；明確本問題是解決問題1的鋪墊；在模擬過程中體會蒙特卡羅方法；在算法思想指導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)模擬過程.【問題】問題1中的“每一天下雨的概率均為40%”是不好試驗(yàn)的，但由問題3我們知道“從標(biāo)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個(gè)球中隨

11、機(jī)摸出一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率也是40%”，這個(gè)屬古典概型的摸球過程不僅可以試驗(yàn)，而且還可以通過計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬試驗(yàn).你能設(shè)計(jì)一個(gè)算法解決問題1嗎？師生：分析“每一天下雨的概率均為40%”這一事件不好試驗(yàn)，而問題3我們知道“從標(biāo)有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的十個(gè)球中隨機(jī)摸出一球，球上所標(biāo)的數(shù)字不超過3的概率也是40%”，這個(gè)屬古典概型的摸球過程不僅可以試驗(yàn)，而且還可以通過計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬試驗(yàn).學(xué)生：（1）設(shè)計(jì)模擬上述摸球試驗(yàn)的算法，即模擬出1天的天氣情況(下雨或者不下雨)；（2）分組進(jìn)行上述模擬試驗(yàn)；（3）小組討論，設(shè)計(jì)模擬3天恰有兩天下雨的算法（見附注3）.

12、師生：（1）分析如何解決問題1；（2）寫出程序框圖（特別注意兩個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)）；（3）將程序輸入計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)（見附注4）.學(xué)生：重復(fù)運(yùn)行上述程序，逐漸增大模擬試驗(yàn)的次數(shù)n，觀察每次運(yùn)行程序后所得結(jié)果（見附注5）.教師：介紹蒙特卡羅方法及其應(yīng)用的廣泛性，以及其基本原理、基本步驟.使學(xué)生在解決前面問題的基礎(chǔ)上，完整的體會蒙特卡羅方法，進(jìn)一步體會算法思想的應(yīng)用，徹底解決問題1.體會不好試驗(yàn)的隨機(jī)事件如何建立概率模型進(jìn)行模擬試驗(yàn)；體會并明確蒙特卡羅方法；認(rèn)識到所求概率的估計(jì)值的近似程度是隨著n的增大而提高的；徹底解決問題1.【問題】你能從用蒙特卡羅方法解決問題1的過程中，得出用于模擬的概率模型的基本

13、特征嗎？你是否可以建立另一個(gè)概率模型用于模擬問題1中的隨機(jī)事件？教師：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識用于隨機(jī)模擬的概率模型的基本特征：由概率模型計(jì)算出的概率與被模擬的隨機(jī)事件的概率相同；對所建概率模型進(jìn)行模擬試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果能用隨機(jī)數(shù)表示.學(xué)生：思考并交流自己所建立的用于模擬的概率模型，比如建立以下的概率模型：“求從標(biāo)有1，2，3，4，5的五個(gè)球中隨機(jī)摸出一球，球上所標(biāo)的數(shù)字是1或2的概率”，這個(gè)概率也是40%，并且能用隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方式來表示摸球結(jié)果.讓學(xué)生認(rèn)識到用于模擬的概率模型不是唯一的，并通過建立另一個(gè)概率模型用于模擬試驗(yàn)，進(jìn)一步體會蒙特卡羅方法的作用認(rèn)識到用于隨機(jī)模擬試驗(yàn)的概率模型所具有的基本特

14、征；明確對于確定的隨機(jī)事件，用于模擬試驗(yàn)的概率模型不惟一.【問題】你能舉出一個(gè)用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問題的實(shí)例嗎？并說明使用蒙特卡羅方法時(shí)應(yīng)該注意哪些方面？學(xué)生：分組討論舉出例子，各組派出代表發(fā)言，同學(xué)間進(jìn)行交流.教師：評析學(xué)生的觀點(diǎn)與結(jié)論，總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容與方法.開拓學(xué)生視野，體會思想方法，小結(jié)本課內(nèi)容. 在發(fā)表意見的同時(shí)總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容7評價(jià)分析在教學(xué)評價(jià)方面，本節(jié)課為學(xué)生提供兩道實(shí)際問題，（力圖體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，生活孕育數(shù)學(xué)的思想，從而讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值），要求學(xué)生采用小組合作的方式（每小組8名同學(xué)共同來分析、討論、研究和解決問題），從兩道題中任選一題，進(jìn)行解答.1.天氣預(yù)報(bào)說，在今后

15、的三天中，每一天下雨的概率均為40%，那么在這三天中，有幾天下雨的可能性大一些呢？2假設(shè)每個(gè)人在任何一個(gè)月出生是等可能的，利用隨機(jī)模擬的方法，估計(jì)在一個(gè)有10個(gè)人的集體中至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率.3某城市的電話號碼是8位數(shù)，如果從電話號碼本中任指一個(gè)電話號碼，求：（1）頭兩位數(shù)碼都是8的概率；（2）頭兩位數(shù)碼都不超過8的概率；（3）頭兩位數(shù)碼不相同的概率.對第1個(gè)問題，若用列舉法計(jì)算概率很困難；而對第2個(gè)問題，因?qū)W生還沒學(xué)過排列、組合這些計(jì)數(shù)方法，故難以用古典概型計(jì)算計(jì)算出概率.但對以上兩個(gè)問題，若用隨機(jī)模擬的方法求出概率的近似值卻是可行的.這兩個(gè)問題的目的就是用以鞏固學(xué)生對蒙特卡羅方法和算法思想的理解，讓學(xué)生體會隨機(jī)模擬的優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生頭腦中的思想之“河”流經(jīng)更多的知識之“橋”，并使這條河的水更清澈，更流暢，更致遠(yuǎn)，8附注附注1輸入試驗(yàn)次數(shù)nm=0:j=1開始x=R