剛體繞匯交軸轉(zhuǎn)動的角速度矢量的合成

1、剛體繞匯交軸轉(zhuǎn)動的角速度矢量的合成圖4-12 剛體繞匯交軸轉(zhuǎn)動在考察某剛體B的繞定點O運動時，如果有兩個參考基，其中參考基為不動的慣性基，稱為定基，另一個參考基為，它相對基作繞點O定點運動，稱為動基。作定點運動的剛體的連體基為。連體基相對于定基的角速度矢量記為，稱其為剛體B的絕對角速度矢量。連體基相對于動基的角速度矢量記為，稱其為剛體B的相對角速度矢量。動基相對于定基的絕對角速度矢量記為，稱其為剛體B的牽連角速度矢量。從瞬軸的角度，如果認為動基與定基瞬時固結(jié)，剛體繞沿的瞬軸轉(zhuǎn)動；如果認為連體基與動基瞬時固結(jié)，剛體作繞沿的瞬軸轉(zhuǎn)動。上述兩瞬軸匯交于點O，剛體B在該瞬時同時繞兩瞬軸轉(zhuǎn)動，故稱這種運

2、動為剛體繞匯交軸轉(zhuǎn)動。由角速度矢量疊加原理式(4.1-22)，有(4.1-34)由此可得到如下結(jié)論：對于剛體繞匯交軸轉(zhuǎn)動，剛體的絕對角速度等于該剛體相對動基的相對角速度與牽連角速度之和。它稱為繞匯交軸轉(zhuǎn)動合成定理。角速度與歐拉角姿態(tài)坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系本節(jié)將介紹定點運動剛體的角速度與姿態(tài)坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系。在節(jié)已經(jīng)指出，時間t剛體的角速度矢量是平均角速度矢量的極限。后者的定義式(4.1-12)描述了在非常小的時間間隔內(nèi)，由時刻t連體基繞一次轉(zhuǎn)動矢量轉(zhuǎn)過一次轉(zhuǎn)動角到達時刻的連體基的變化過程。根據(jù)節(jié)關(guān)于描述姿態(tài)的歐拉角的定義，上述過程也可以認為連體基先繞基矢量轉(zhuǎn)過有限角Dy，再繞基的基矢量轉(zhuǎn)過有限角Dq

3、，最后繞基的基矢量轉(zhuǎn)過有限角Df，到達時刻的連體基。故平均速度的定義式(4.1-12)可表為代入絕對角速度的定義式(4.1-13)(4.1-35)由定軸轉(zhuǎn)動的角速度的定義式(3.3-2)和圖4-4所示，基相對于基、基相對于基和基相對于基的角速度矢量分別為 ，(4.1-36)故由角速度疊加原理式(4.1-33)也可得到上式。由式(4.1-36)，式(4.1-35)也可表為(4.1-37)基矢量、和在各自連體基的坐標(biāo)陣分別為，(4.1-38)由式(1.3-13) 與(1.1-18)，和在連體基上的坐標(biāo)陣為，將式(4.1-38)和式(4.1-3)與(4.1-4)代入上式，有， (4.1-39)剛體定

4、點運動的歐拉運動學(xué)方程令角速度矢量在連體基的坐標(biāo)陣記為(4.1-40)考慮到式(4.1-38)至 (4.1-40)，經(jīng)整理，矢量式(4.1-37)在連體基的坐標(biāo)式可表為(4.1-41)上式給出了角速度矢量在連體基的坐標(biāo)陣與歐拉姿態(tài)坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系。由上式可解得 (4.1-42)這是以歐拉姿態(tài)坐標(biāo)為變量的一階微分方程，稱為剛體定點運動的歐拉運動學(xué)方程。在方程中，角速度矢量在連體基的三個坐標(biāo)為方程的參變量。當(dāng)它們的時間歷程給定后，通過對方程組(4.1-42)進行積分，可得到歐拉姿態(tài)坐標(biāo)的時間歷程。由式(4.1-42)可知，章動角q 不能為零。上述的推導(dǎo)過程同樣可在參考基上進行。將角速度矢量在連體基的坐標(biāo)陣記