知識(shí)講解直線與拋物線的位置關(guān)系基礎(chǔ)

1、直線與拋物線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求拋物線的方程；2. 能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線）解決相關(guān)問題；3. 能夠把直線與拋物線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線F和一條定直線I（ I不經(jīng)過點(diǎn)F ）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)I叫做拋物線的準(zhǔn)線.要點(diǎn)詮釋：上述定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定點(diǎn) F （即焦點(diǎn)），一定直線（即準(zhǔn)線） 定值1 （即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與定直線I的距離之比）.要點(diǎn)二

2、、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：2 2 2 2y 2px, y 2px , x 2py , x 2py （p 0）要點(diǎn)詮釋：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”、“定式”和“定值”三個(gè)方面去思考“定形”是指以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的情況下，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定式”根據(jù)“形”設(shè)拋物線方程的具體形式；“定值”是指用定義法或待定系數(shù)法確定p的值要點(diǎn)三、拋物線的幾何性質(zhì)范圍：xx 0， y y R，2拋物線y =2px (p 0)在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x, y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x0;當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界

3、曲線。對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱拋物線y2=2px( p0)關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對(duì)稱軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線y2=2px (p0)和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0, 0)。離心率：e 1 .2拋物線y=2px ( p 0) 上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率。用e表示，e=1 o拋物線的通徑通過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑。要點(diǎn)三、直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線的位置關(guān)系將直線的方程y kx m與拋物線的方程 y2=2px (p 0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或

4、y的一元二次方程，其判別式為 .2ky 2 py 2 pm 0若k 0，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點(diǎn);若k 0 厶0直線和拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)； 厶二0 直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)； 0)或24512，52y = 2px(p0),則(耳，空)在拋物線上,55方程為 x248y或y2524m=56x53p=5【變式2】已知定點(diǎn)F(0,2)，若動(dòng)點(diǎn)Mx, y)滿足IMF = y + 2,則點(diǎn)M的軌跡方程為 .【答案】由已知得點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn) M到直線y=- 2的距離，故點(diǎn) M的軌跡方程為x2= 8y.類型二：直線與拋物線的位置關(guān)系例2.過定點(diǎn)F(0,2)作直線

5、I，使I與拋物線y2= 4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線l共有 條.x軸平行的【答案】3【解析】如圖，過點(diǎn) P與拋物線y2= 4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條：二條切線、一條與直線.【總結(jié)升華】直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)要考慮相交于一點(diǎn)的情況，不要漏掉舉一反三：【變式】已知F是拋物線y2= x的焦點(diǎn)，A, B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF + I BF = 3,則線段AB的中點(diǎn) 到y(tǒng)軸的距離為.1【答案】T| AF + I BF = xa+ XB+ 丄=3,25-Xa+ Xb=.2線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為獨(dú)上 524類型三：拋物線的弦例3.斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線

6、相交于點(diǎn)A B,求線段 A B的長(zhǎng).【解析】如圖8-3- 1, y2=4x的焦點(diǎn)為F (1 , 0)，則I的方程為y=x 1.y24X由 y消去y得X2 6x+1=0.y x 1設(shè) A (X1, y1), B (X2, y2)則 x計(jì)X2=6.又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 A , B，則AABBX11X21X1X22628【總結(jié)升華】拋物線的定義本身也是拋物線最本質(zhì)的性質(zhì)，在解題中起到至關(guān)重要的作用。 舉一反三：【變式】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸的拋物線截直線 y = 2x 1所得的弦長(zhǎng)| AB = 5.3，求拋物線的方程.【答案】y2= 20x或y2= 12x.例4.若直線I : y = kx

7、2交拋物線y2 = 8x于A B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為 M2 , yo)，求yo及弦AB的長(zhǎng).【解析】把 y = kx 2 代入 y2= 8x，得 k2x2 (4 k + 8) x + 4= 0.設(shè) A(X1, yj , B( X2, y2). AB中點(diǎn) M2 , y。),4k 8k2=4,解得k= 2或k= 1.2 2又= 16k + 64k+ 64 16k 0,-k 1，k = 2,此時(shí)直線方程為y = 2x2, M2 , yo)在直線上， yo= 2, I AB =77* xj 75J42 4 2 2屆.【總結(jié)升華】拋物線弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點(diǎn)弦問題的關(guān)鍵，方程的

8、思想也是解析幾何的核心思想.舉一反三：【變式】過拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)作直線I交拋物線于 A B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則| AB| 等于.【答案】8【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=- 1,則AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 3-( - 1) = 4.由拋物線的定義得| AB =8.類型四：拋物線的綜合問題2例5.過拋物線y =2px(p0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P(xi, yi)、Q(X2, y2)兩點(diǎn)，求證：2y2 p ；【解析】證明：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F (衛(wèi),0)。2(1)當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為y k(x -),2由y k(x子)2小y 2px

9、22消去 x 得：ky 2py kp =0(探)當(dāng)k=0時(shí)，方程(探)只有一解， kz0, 由韋達(dá)定理得：y1y= p2。當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(*,卩),(號(hào)，p),2y y=p。綜上兩種情況：總有 y1y2=p2。【總結(jié)升華】韋達(dá)定理在解決拋物線綜合問題中有著非常重要的作用，注意它的合理應(yīng)用舉一反三：【變式1】 定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線 y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為 M求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短 距離，并求此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)【答案】如圖，設(shè) A(x1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y),則x=卷 立，y= 乜、2 2又設(shè)點(diǎn)A, B, M在準(zhǔn)線I :x= 1/4

10、上的射影分別為 A/,B/,M/, MM，與y軸的交點(diǎn)為N,11則 |AF|=|AA /|=x 計(jì) ,|BF|=|BB /|=x 2+,441 11115 x= (X1+X2)=(|AF|+|BF| )?(|AB| )=2 22224等號(hào)在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k(x 丄)4, y k(x 9則| PM = d,又 | PA + d=| PA + | PF| 1 AF = 5,所以 | PA + I PM- 故選 C.12 222由4 得 16k x 8(k +2)x+k =02y x1 k 依題意 |AB|=1 k |x 1X|=1 k X 2 = 廠=3,16k k k2=1/2,8(k22) = 52 16k241此匕時(shí) x=(x 1+X2)=225. 25y=即 M( ,), N(,2424【變式2】已