(新課標(biāo))2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精品講義第五章數(shù)列(含解析)

1、第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P71基礎(chǔ)盤查一數(shù)列的有關(guān)概念（一）循綱憶知了解數(shù)列的概念（定義、數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和）（二）小題查驗(yàn)1.判斷正誤（1）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數(shù)列（）（2）同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)（）（3）an與an是不同的概念（）4項(xiàng)分別是下列各（4）所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，且通項(xiàng)公式在形式上一定是唯一的（答案：（1）X（2）V（3）V（4）X2.（人教A版教材例題改編）寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前111，一13,(2)2,0,2,0.78_In+1答案：(1)&=；(2)an=(-1)n+1+1基礎(chǔ)盤查二數(shù)列的表

2、示方法（一）循綱憶知1. 了解數(shù)列三種簡單的表示方法（列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法）；2. 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).（二）小題查驗(yàn)1 .判斷正誤（1）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)（）（2）每一個(gè)數(shù)列都可用三種表示法表示（）如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,則對(duì)？nCN,都有an+1=S+1答案：（1）V（2）X（3）Van2 .已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=z,則a5等于.2an31答案：161基礎(chǔ)盤查三數(shù)列的分類(一)循綱憶知了解數(shù)列的分類(按項(xiàng)數(shù)分、按項(xiàng)間的大小等).(二)小題查驗(yàn)1 .(人教B版教材例題改編)已知函數(shù)f(x)=-1，設(shè)an=f(n)(nCN*),則an是x數(shù)列(填“

3、遞增”或“遞減”)答案：遞增2 .對(duì)于數(shù)列an,“an+i>|an|(n=i,2)”是an為遞增數(shù)列”的條件.答案：充分不必要能萋蠹考點(diǎn)突破不回考啟不同設(shè)計(jì)用高效對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P71考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透)必備知識(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列&的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.提醒不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，若有，也不一定唯一.題組練透*0,n為奇數(shù)，i+1n1.已知nN,給出4個(gè)表達(dá)式：an="山中的an=,an=1 + cos n 兀1, n為偶數(shù)，2sin詈其中能作為數(shù)列：0,1,

4、0,1,0,1,0,1，的通項(xiàng)公式的是()A.B.C.D.解析：選A檢驗(yàn)知都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4,6,8,10,；(2)(2) 1X2，2X3，3X4，4X5，(3) a,b,a,b,a,b,(其中a,b為實(shí)數(shù))；(4)9,99,999,9999，.解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4,所以通項(xiàng)公式an=2(n+1),nCN*.(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an=(1)nx1L，nN*.nn+(3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a,偶數(shù)項(xiàng)是b,所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公

5、式an=a, n為奇數(shù)，b, n為偶數(shù).(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫成101,1001,10001,100001,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an=10n-1,nN.類題通法用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的技巧(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求.對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1尸十1來調(diào)整.(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想.考點(diǎn)二由an與S的關(guān)系求通項(xiàng)an(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研)必備知識(shí)n1數(shù)列白前n項(xiàng)和通常用&

6、;表示，記作S=a1+a2+an,則通項(xiàng)an=.Sn1,n>2提醒若當(dāng)n>2時(shí)求出的an也適合n=1時(shí)的情形，則用一個(gè)式子表示an,否則分段表本.典題例析已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和求an的通項(xiàng)公式：(1) &=2n23n；(2)S=3n+b.解：(1)a1=S=23=1,當(dāng)n>2時(shí)，an=Sn-Sn1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5,由于日也適合此等式，an=4n5.(2) a=S=3+b,當(dāng)n>2時(shí)，an=SS-1=(3n+b)(3n+b)=23當(dāng)b=1時(shí)，a1適合此等式.當(dāng)bw1時(shí)，a1不適合此等式.當(dāng)b=一1時(shí)，an=23n1；當(dāng)

7、bw 1時(shí),3+b, n=1,2 - 3 n 1, n>2.類題通法已知S求an的三個(gè)步驟(1)先利用ai=S求出ai；an= Sn-Sn i( n>2)便可求出當(dāng) n>2(2)用n-1替換S中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n>2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n=1與n>2兩段來寫.演練沖關(guān)已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn.若Sn=(-1)n+1-n,求a5+a6及an；(2)若Sn=3n+2n+1,求an.解：(1)a5+a6=$S4=(一6)(-4)=一2當(dāng)n=1時(shí)，a

8、=S=1；當(dāng)n>2時(shí),an=SnSn1=(1),n(1),(n1)=(-1)n+1-：n+(n-1)=(-1)n+1-(2n-1),又白也適合于此式，所以an=(-1)n+1-(2n-1).(2)因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，a1=S=6；當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSn1=(3+2n+1)3+2(n1)+1=2.3n+2,由于a1不適合此式，6,n=1,所以an=in_123+2,n>2.考點(diǎn)三由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)一一多角探明)必備知識(shí)遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫

9、做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.多角探明遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接歸納起來常見的命題角度有:形如an+i=anf(n),求an；(2)形如an+i=an+f(n),求an；(3)形如an+i=Aa+RAw。且心1),求an(4)形如Aa，一，an+1=B0KA'BC為常數(shù))，求&.角度一：形如an+i=anf(n),求an1.在數(shù)列an中，ai=1,前n項(xiàng)和Sn=nan.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.3學(xué) an-粵 an 1.33解：由題設(shè)知，ai=1.當(dāng)n>2時(shí)，an=SS1ann+1an-1n

10、1ann+1a45a34a2an-1n1''a33'a22'a1以上n-1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到annn+a2又=a1=1,nan=一角度二：形如an+1=an+f(n),求an1一一，2.(1)在數(shù)列an中，a=2,an+1=an+nnqj,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列an滿足:a1=1,an+1=an+2n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.“，r一1解：由題意，得好一a-n11n n+1an= (an an 1) + (an1an2)+(a2 a1)+a1(2)由題意知an+1an=2n,an=(an-an1)+(an1an2)+(a2a1)+a1n,_

11、12=2+2+2+1=2-1.1-2角度三：形如an+1=A&+B(Awo且Aw1),求日3.已知數(shù)列an滿足a=1,an+1=3an+2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：an+1=3an+2,an+1+1=3(a+1),an+ 1 + 1d 十13,數(shù)列an+1為等比數(shù)列，公比q=3,又ai+1=2,3n+1=2-3n1,an=23nT1.Aa.角度四：形如an+i=grKAB,C為常數(shù)），求anBan十C4.已知數(shù)列an中,an+1=,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2anIl牛：an+1=a1=1,cb+211111力=an+i 即a-ran2,又aq,則卜,.j1港以1為首項(xiàng)，；為公差的等差數(shù)

12、列.an2111n1"2=2+2，an=-(neN).n+1類題通法由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an+1=a+f（n）或an+1=f（n）以分別通過累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項(xiàng) 公式，（如角度二），注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對(duì)遞推式的等價(jià)變形， 三、四）轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項(xiàng).課后C邑演練提能竹倒砂.芍星值里垂空舞楙母:課時(shí)跟蹤檢測(cè)an,則可（如角度二十九、選擇題1 .數(shù)列1,2,3,4,5,的一個(gè)通項(xiàng)公式an=()3579nnA.2n+1B.2n-1nD.2n+3nC.2n3解析：選B由已知得，數(shù)列可寫成1 21

13、9; 3'3.一，故通項(xiàng)為5n2n- 12 .數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2,那么當(dāng)n>2時(shí)，an=（）A.2n-1C.UJnD.2nn-712解析：選D設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T；,則Tn=n2,n>2時(shí),Tnan=Tn1n3.數(shù)列an滿足an+an+1=2(nN)a2=2,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則91為（）A.7B.29C.213D.萬解析：選B1an+an+1=2,a2=2,n為奇數(shù),n為偶數(shù).Gi = 1ix-3 ；+ 10X2= 7.故選 B.2 24.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中，對(duì)任意mi*n e N)都ami+ n= ami , an.右 a6= 64)貝f a9

14、等于（）A. 256B.510C. 512D.1 024解析：選C 在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an中，對(duì)任意mi nCN,者B有a出n=am- an.，a6 =a3 , a3= 64, a3= 8. a9= a6 , a3=64X8, a9=512.故選 C.5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S=kn若對(duì)所有的nCN*,都有an+1 >an,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. (0 , +8)B . ( 8, 1)C. (1 , +8)D. ( 8, 0)2 .解析：選A 由Sn= kn得an=k（2n 1）.因?yàn)閍n+1>an,所以數(shù)列an是遞增的，因此k>0,故選A.6. （2015 北京

15、海淀區(qū)期末）若數(shù)列&滿足：d=19, an+1 = an3（nC N）,則數(shù)歹U an的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為（）A. 6C. 8D. 9解析：選 B '' a1= 19, an+1 an= - 3數(shù)歹Uan是以19為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列,.an=19+(n1)x(3)=223n.設(shè)an的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，ak > 0, 則有ak+i w 0,ke N*,22-3k>0,122-3 k+1 W1)，1922了& k<TkeN*,k=7.，滿足條件的n的值為7.二、填空題11n-2,.7.在數(shù)列1,0,8，中，0.08是它的第項(xiàng).n22

16、解析：令-=0.08,得2n-25n+50=0,n即(2n5)(n-10)=0.一.5.解得n=10或n=2(舍去).答案：108 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=33X2n,nCN*,則an=解析：分情況討論:當(dāng)n=1時(shí)，a1=S=33X21=3;當(dāng)n>2時(shí)，an=SS-1=(33X2)(33X2)=3X2綜合，得an=3X2nT.答案：3X2nT9 .(2015大連雙基測(cè)試)數(shù)列an滿足：ad3a2+5a3+(2n-1)an=(n1)3n+43(nCNj,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=.解析：a1+3a2+5a3+(2n3)an1+(2n-1),an=(n-1)-3n+1+3,把n換成n1得

17、,ad3a2+5a3+(2n3)an1=(n2)3n+3,兩式相減得an=3n.答案：3n*10 .在一個(gè)數(shù)列中，如果？nCN,都有ana+1an+2=k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a1=1,a2=2,公積為8,則a1+a2+a3+a2=.解析：依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a1=1,82=2,a3=4,因此a+a2+a3+a12=4(a1+a2+as)=4x(1+2+4)=28.答案：28三、解答題11 .已知S為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足S1=2a2+2an(nN*).(1)求ai,a,a3,a4的值；(2)求數(shù)列an的

18、通項(xiàng)公式.121_*解：(1)由S=2an+2an(nCN),可得a1=,21+521,解得a1=1;32=21+22=222+532,解得a,=2；同理，23=3,24=4.1 21(2)$=222+22n,當(dāng)n>2時(shí)，S1=22：t+22nT，一得(a2n11)(2n+2n1)=0.由于2n+2n10,所以2n2n1=1,又由(1)知21=1,故數(shù)列2n是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，故2n=n.12 .已知數(shù)列2n中，2n=1+2+,1n_(nCN*,2CR,且2W0).(1)若2=7,求數(shù)列2n中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的nCN*,都有2nW26成立，求2的取值范圍.

19、解：(1)a=1+1-(nCN*,2CR,且2W0),2+n-11又2=17,.2n=1+.2n91結(jié)合函數(shù)f(x)=1+-的單調(diào)性,2X9可知1>21>%>23>24,*.25>26>27>>2n>1(nCN).二.數(shù)歹U2n中的最大項(xiàng)為25=2,最小項(xiàng)為24=0.12=1+2.n2,對(duì)任意的nCN*,都有2nW26成立,結(jié)合函數(shù)f(x)=1+-的單調(diào)性,2a1-22a知52<6,10<a<8.故a的取值范圍為(10,8).等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和整痂曲雙塞落實(shí)這樣自檢要比死記更有效對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P73基礎(chǔ)盤查一等差數(shù)列的有關(guān)

20、概念（一）循綱憶知理解等差數(shù)列的概念（定義、公差、等差中項(xiàng)）.（二）小題查驗(yàn)13 判斷正誤（1）若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列（）（2）等差數(shù)列的公差是相鄰兩項(xiàng)的差（）*（3）數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nCN,都有2an+1=d+2（）答案：（1）x（2）x（3）V14 （人教A版教材例題改編）判斷下面數(shù)列是否為等差數(shù)列.（只寫結(jié)果）（1）an=2n1;（2）an=pn+q（p、q為常數(shù)）.答案：（1）是（2）是基礎(chǔ)盤查二等差數(shù)列的有關(guān)公式（一）循綱憶知1 .掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；2 .能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，

21、并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；3 .了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.（二）小題查驗(yàn)1 .判斷正誤(1)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)()(3)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列()答案：V(2)V(3)V2 4一、，一一2.(人教A版教材例題改編)已知等差數(shù)列5,47,3-,，則前n項(xiàng)和S=.12答案：-(75n-5n)基礎(chǔ)盤查三等差數(shù)列的性質(zhì)(一)循綱憶知掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用.(二)小題查驗(yàn)1 .判斷正誤(1)在等差數(shù)列an中，若am+an=ap+aq,則一定有什n=p+q()(

22、2)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，則數(shù)列an+bn也一定是等差數(shù)列()(3)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，一定還是等差數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n+5,則數(shù)列an的公差與函數(shù)y=3x+5的圖象的斜率相等()答案：(1)X(2)V(3)V(4)V2 .(北師大版教材例題改編)已知等差數(shù)列an,a5=20,a20=35,則an=答案：15n3 .在等差數(shù)列an中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S1等于.答案：88考點(diǎn)突破不.同考點(diǎn)不同設(shè)計(jì)再高效對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P74考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透)必備知識(shí)等差

23、數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an=&+(n1)d.、八八_nnna+ann(2)刖n項(xiàng)和公式：S=nd+2d=2.題組練透1 .(2014福建高考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若ai=2,S=12,則a6等于()A.8B.10C.12D.14解析：選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則$=3a1+3d,所以12=3X2+3d,解得d=2,所以a6=a+5d=2+5X2=12,故選C.2 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a12=-8,&=一9,則Si6=.解析：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,由已知，得匕12= a1 + 11d= - 8,a= 31.c16X15S6=16X

24、3+2*(-1)=-72.答案：723 .在等差數(shù)列an中,a=1,a3=3.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和&=35,求k的值.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=ad(n1)d.由a1=1,a3=3,可得1+2d=-3,解得d=-2.從而an=1+(n1)x(2)=32n.(2)由(1)可知an=3-2n,en1+32nc2所以Sn=2=2nn.由&=35,可得2k-k2=-35,即k22k35=0,解得k=7或k=-5.又keN,故k=7.類題通法等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a,an,d,n,Sn,

25、知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而d和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)一一全面發(fā)掘)必備知識(shí)(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.表示為an+1an=d(nCN*,d為常數(shù)).(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a,Ab成等差數(shù)列的充要條件是a+ b .,A ,其中A叫做a, b的等差中項(xiàng).提醒要注意定義中的“從第2項(xiàng)起”.如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一

26、項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列.一題多變典型母題，一1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S且滿足an+23-Si=0(n>2),ai=-.(1)求證：*匿等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式.解(1)證明：;日=$4-i(n)2),又an=2S&1,.&1$=2881,&W0.因此:一工=2(n>2).OnOn-1故由等差數(shù)列的定義知也是以：=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.On|Oa1(2)由(1)知1=5+(n-1)d=2+(n-1)X2=2n,OnA1即Sn=2n.1由于當(dāng)n*時(shí)，有”一2SS：=-nf'1一，又a1=2,不適合上式.15，n=1，a

27、n=n>2.|-1I2nn-1題點(diǎn)發(fā)散1試說明本仞中數(shù)列an是不是等差數(shù)列.一1解：當(dāng)n>2時(shí)，an1=2n.+，本11-1r11、an1a。-2nn+12nn-1-2n5+1n1)1nn1n+1當(dāng)n>2時(shí)，an+ian的值不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列an不是等差數(shù)列.題點(diǎn)發(fā)散2若將本例條件改為“ ai = 2, $Si-1r;(n>2)”，問題不變，試求解.2Sn1十I12$1+113=-Q=QH2.OnSi-1Si-1是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.,113(2)由(1)知A=j+(n1)X2=2n5,On221即S=7.32n2,11當(dāng)n>2時(shí)，an=

28、&&-1=2n32n72223-v不：2n2，F(xiàn)當(dāng)n=1時(shí)，ai=2不適合上式,-2IJ2n-3)n；?2 .題點(diǎn)發(fā)散3若本例變?yōu)椋阂阎獢?shù)列an中,c八 1_/ 一*、 ” .a1 = 2, an = 2 ( n>2, nCN),設(shè) bnan11*一-(nN).求證：數(shù)列bn是等差數(shù)歹U.an1an+1=2.an1111an1bn1bnan+11an11-Hn1-Hn12-1anI、，.1.bn是首項(xiàng)為b1=1,公差為1的等差數(shù)列.21類題通法等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對(duì)于n>2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證ana-1為同一常數(shù)；*(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2ani=an+a

29、n2(nR3,nCN)成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an=pn+q;(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證S=An2+Bn.提醒在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項(xiàng)法，而通項(xiàng)公式法和前n項(xiàng)和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及最值(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(n-m)d,(n,mEN).*(2)若an為等差數(shù)列，且k+l=mun,(k,l,mjneN),則ak+ai=am+an.(3)右an是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,miEN)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sn,S2m-Sm,$mS2m,也是等

30、差數(shù)列.典題例析1.等差數(shù)列an中，ai+3a8+ai5=120,貝U2a9aio的值是()A20B22C24D8解析：選C:a1+3a8+&5=5a8=120,，a8=24,2a9a1o=a1o+a8aw=a8=24.2.(2014北京高考)若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=時(shí)，&的前n項(xiàng)和最大.解析：,數(shù)列an是等差數(shù)列，且a?+a8+a9=3a8>0,，a8>0.又a?+a0=a8+a9<0,a9<0.，當(dāng)n=8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大.答案：83 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且S0=10,&0=

31、30,則$0=.解析：:S10,S20S0,Ss0S20成等差數(shù)列，且S0=10,$0=30,S20S0=20,S3030=10+2X10=30,$0=60.答案：604 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,已知前6項(xiàng)和為36,最后6項(xiàng)的和為180,Sn=324(n>6),求數(shù)列a的項(xiàng)數(shù)及39+310.解：由題意知ai+a2+a6=36,an+an-1+an-2+an-5=180,+得(a+an)+(a2+a-1)+(a6+an5)=6(ai+an)=216,ai+an=36,na + an= 324,18n= 324,n= 18.a1+an=36,n=18,a1+a18=36,從而a9+a

32、o=a+a18=36.類題通法5 .等差數(shù)列的性質(zhì)aman,、一.(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，aman=(m-n)d?m_n=d(m鏟n),其幾何息義是點(diǎn)(n,an),(mam)所在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，S為其前n項(xiàng)和，則32n=n(a+a2n)=n(an+an+1);S?n1=(2n-1)an.6 .求等差數(shù)列前n項(xiàng)和&最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式S=an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：a>0, d<0時(shí)，滿足“am+1 W 0的項(xiàng)數(shù)m使得&取得

33、最大值為Sn；ammc 0,當(dāng)日<0, d>0時(shí)，滿足|am+1 >0的項(xiàng)數(shù)m使得$取得最小值為S.演練沖關(guān)1 .設(shè)數(shù)列an , bn都是等差數(shù)列,且d=25,b=75,&+b2=100,則a37+b37等于()A.0C. 100D.37解析：選C設(shè)an,&的公差分別為d1,d2,則(an+1+bn+1)(an+bn)=(an+1an)+(bn+1bn)=d1+d2,.an+bn為等差數(shù)列，又21+=22+b2=100,.Rn+bn為常數(shù)列，a37+b37=100.2 .已知等差數(shù)列an的公差為2,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25,則這個(gè)

34、數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.10B.20C. 30D.40解析：選A設(shè)這個(gè)數(shù)列有2n項(xiàng)，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.3 .在等差數(shù)列an中，已知ai=20,前n項(xiàng)和為且S°=S15,求當(dāng)n取何值時(shí)，S取得最大值，并求出它的最大值.解：=ai=20,Si0=S15,10X915X1410X20+2d=15X20+2d，法一：由an=20+(n1)x1-=«n+.333得d3=0.即當(dāng)nw12時(shí)，an>0,n>14時(shí)，an<0.當(dāng)n=12或13時(shí)，&取得最大值，且最大值為S12

35、=S3=12X20+1211x；=130.2.3上nn-1552125法二：Sn=20n+2J3廠一6“十n52523125=-6廣西十k.nCN*,.當(dāng)n=12或13時(shí)，&有最大值，且最大值為S2=S13=130.法三：由Si0=S15得an+a12+a13+日4+a15=0.1-5a13=0,即a13=0.當(dāng)n= 12或13時(shí)，S有最大值，且最大值為S12= S13=130.1.設(shè)S為等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和，公差d=2,若S°=S1,則a1 = ()A.18B.20C.22D.24解析：選B由S10=S1,得an=0.又已知d=-2,則an=10d=ad10x(2)=0,解

36、得a=20.2. (2015蘭州、張掖聯(lián)考)等差數(shù)列an中，3(a3+a0+2(a7+a10+a13)=24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是()A. 13C. 52D.156解析：選B'''3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,-6a4+6a10=24,-a4+a0=4,S13 =3 a1+a133 a4+ a。13X4= 26,故選B.3. 已知等差數(shù)列an滿足a2=3,S.-Sn3=51（n>3）,S=100,則n的值為（）A.8C. 10D.11解析：選C由SS-3=51得,an2+an1+an=51,所以an1=17,na2+ a. 1=100,解得

37、n=10.4. （2015遼寧鞍山檢測(cè)）已知&表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的nCN*滿足an+1=an+a2,且a3=2,則S014=()1 006 X 2 014A.1006X2013C. 1 007 X 2 013D.1 007 X 2 014解析：選C 在an+1=an+a2中，令n=1,a2= a+ a2, a1= 0,令 n = 2,貝U a3= 2= 2a2,是an+1 an=1,故數(shù)列an是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列,S2 014 =2 014 X2 013=1 007 X 2 013.5.（2015洛陽統(tǒng)考）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且ai>0,a3+

38、a10>0,a6a7<0,則滿足S>0的最大自然數(shù)n的值為（）A.C.12D. 13解析：選 C . a1>0, a6a7< 0,，a6> 0,a7< 0,等差數(shù)列的公差小于零，又a3+a10=a1+a12>0, a1+a13= 2a7<0,S2>0, S3V0, .滿足&>0的最大自然數(shù)n的值為12.6. （2015 河北唐山一模）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且33=anan+1,則a2+a4+a6+ a2n =()n 5n+lB.23n n+1C.n+3n + 0D.2解析：選C當(dāng)n=1時(shí),3S = a1

39、&3a1= a/a2= 3.當(dāng) n>2 時(shí)，由 3S=anan+1,可得3S-1=an-ian,兩式相減得3an=an（an+1an1）,又anW0,an+1an1=3,，a2n為個(gè)以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，nn-I3nn+、山a2+a4+a6+a2n=3n+2x3=2，選C.二、填空題7. （2014江西高考）在等差數(shù)列an中，ai=7,公差為d,前n項(xiàng)和為S,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為.<0,a8>0,a9<0,解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn有最大值，可得，口7解得1<d<-.8產(chǎn)即7+7d>0,7+8d&l

40、t;0,答案：m8. 已知等差數(shù)列an中，anW0,若n>2且anan+ia2=0,S2n1=38,則n等于解析：'''2al=an-i+an+1,又an-1+an+1a2=0,2anan=0,即an(2an)=0.anW。，.an=2.S2n1=2(2n-1)=38,解得n=10.答案：109. (2015無錫一模)已知數(shù)列an中，a1=1,a=2,當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，Sn+1+Sn1=2(Sn+S)都成立，則S5=.解析：由Sn+1+Sn1=2(Sn+S)得(Sn+1Sn)(SnSn_1)=2S=2,即Hn+13=2(n>2),所以數(shù)列an從第二項(xiàng)起構(gòu)

41、成等差數(shù)列，則S5=1 + 2+4+6+8+ + 28=211.答案：21110.已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前An 7n+45ann項(xiàng)和分別為An和E且曰=，則使得H為整數(shù)的正整數(shù) n的個(gè)數(shù)是.解析：由等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的性質(zhì)知,史二也二里竺=7niW衛(wèi) 口bnB2n 12n+2 n+1' n+1'聯(lián)二 n=1,2,3,5,11時(shí)，an為整數(shù)，故使得性為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是5.bnbn答案：5三、解答題11. （2015長春調(diào)研）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,其中a1=3,4S2=27.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若S,242(an+1+1),S+2成等比數(shù)列，求正整

42、數(shù)n的值.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則S5-S2=3ai+9d=27,又ai=3,則d=2,故an=2n+1.(2)由(1)可得S=n2+2n,又$S+2=8(an+i+1)2,即n(n+2)2(n+4)=8(2n+4)2,化簡得n2+4n32=0,解得n=4或n=8(舍)，所以n的值為4.12. 已知公差大于零的等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S,且滿足a3-a4=117,a?+a5=22.(1)求an和Ss(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且bn=S二，求非零常數(shù)c.n+c解：(1),數(shù)列an為等差數(shù)列，a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=117,.a3,a4是方程x222x+117=0的

43、兩實(shí)根，又公差d>0,a3<a4,a3=9,a4=13,a-2d=9,a1=1,ad3d=13,d=4.通項(xiàng)公式an=4n3.S=na1+nn2-xd=2n2n.2,a2S2nn(2)由(1)知$=2nn,.bn：7Tn+cn+c1 b1 =1 + c'15b2=2Tc，b3=3+c.數(shù)列bn是等差數(shù)列，2b2=b1+b3,62+cX2 =1151 + c 3+ c'2. 2c + c= 0,111-c=2或c=0(舍去)，故c=2.B卷一一增分提能*1 .已知數(shù)列an滿足2a+1=an+an+2(nCN),它的前n項(xiàng)和為S,且a3=10,S6=72,1若bn=2a

44、n30,設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的最小值.解：'''2an+1=an+an+2,an+1an=an+2an+1,故數(shù)列an為等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公差為d,由a3=10,S=72得,務(wù) +2d=10, 6a1+15d= 72,解得 ai = 2, d=4.an= 4n-2,則1bn=2a30=2n31bnW 0,bn+1 > 0,2n-31<0,即，n n+1 310,2931斛仔 2 w n< ,即數(shù)列bn的前15項(xiàng)均為負(fù)值，Tl5最小.數(shù)列bn的首項(xiàng)是一29,公差為2,Tl5 =15 29 + 2X1531，數(shù)歹Ubn的前n項(xiàng)

45、和Tn的最小值為一225.2.(2015安徽宿州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x22(n+1)x+n2+5n7.(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an,求證：an為等差數(shù)歹U；(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列bn,求bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：f(x)=x22(n+1)x+n2+5n7=x-(n+1)2+3n-8,.an=3n8,an+1an=3(n+1)8(3n8)=3,.數(shù)列an為等差數(shù)列L(2)由題意知，bn=|an|=|3n8|,當(dāng)iwn<2時(shí)，bn=8-3n,Sn= bl+ +n b+bnn5 + 8 3n !13n3n22；當(dāng)n&g

46、t;3時(shí),bn = 3n 8,Sn=bi+b?+b3+bn=5+2+1+(3n8)7十 n-2-十3n2 13n+28213n-3n22，1<n<2,Sn=2,n>3.3n-13n+28bn-kbn+23.設(shè)同時(shí)滿足條件：一2一wbn+i（nCN）；bnWMnCN,M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列bn叫“特界”數(shù)列.（1）若數(shù)列an為等差數(shù)列，&是其前n項(xiàng)和，a3=4,4=18,求S；（2）判斷（1）中的數(shù)列&是否為“特界”數(shù)列，并說明理由.解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a1+2d=4,S3=a+a2+a3=3a+3d=18）解得a1=8,d=2,S=n

47、a-n-n2-d=-n2+9n.（2）S是“特界”數(shù)列，理由如下：8+$+2&+2-8+1-S+1-S由2-3+1=2an+ 2 ani+1d1<02rS+S+2得一2<s+1，故數(shù)列S適合條件而 Sn = n + 9n=|2+”n)則當(dāng)n=4或5時(shí)，S有最大值20,即SW20,故數(shù)列Sn適合條件.綜上，數(shù)列S是“特界”數(shù)列.女第三節(jié)/等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P76整痂曲雙玨落實(shí)；這樣自檢要比死記更有效基礎(chǔ)盤查一等比數(shù)列的有關(guān)概念（一）循綱憶知理解等比數(shù)列的概念（定義、公比、等比中項(xiàng)）.（二）小題查驗(yàn)1.判斷正誤（1）常數(shù)列一定是等比數(shù)列（）（2）等比數(shù)列中不存在數(shù)

48、值為0的項(xiàng)（）滿足an+1=qan（nCN*,q為常數(shù)）的數(shù)列an為等比數(shù)列（）(4)G為a,b的等比中項(xiàng)？G2=ab()答案：(1)X(2)V(3)X(4)X2.已知數(shù)列a,a(1a),a(1-a)2,是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.awlB.awo或awlC.aw0D.awo且awl答案：D基礎(chǔ)盤查二等比數(shù)列的有關(guān)公式(一)循綱憶知1 .掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；2 .能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；3 .了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.(二)小題查驗(yàn)1.判斷正誤(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a,公比是q,則其通項(xiàng)公式為a=aiqn()

49、n(2)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為S=aa()1 a答案：(1)x(2)x2.(人教A版教材習(xí)題改編)在等比數(shù)列an中，已知日=1,a4=64,則q=S4=.答案：451基礎(chǔ)盤查三等比數(shù)列的性質(zhì)(一)循綱憶知掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(二)小題查驗(yàn)1 .判斷正誤(1) q>1時(shí)，等比數(shù)列an是遞增數(shù)列()(2)在等比數(shù)列an中，若aman=ap-aq,則n=p+q()(3)在等比數(shù)列an中，如果vm-n=2k(mn,kCN*),那么aman=a2()(4)若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列1-混等比數(shù)列()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)nan是等差數(shù)列()答案：(1

50、)X(2)X(3)V(4)V(5)X2.(北師大版教材習(xí)題改編)將公比為q的等比數(shù)列asa2,a3,a4依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2,a2a3,a3a4,.此數(shù)列是()A.公比為q的等比數(shù)列B.公比為q2的等比數(shù)列C.公比為q3的等比數(shù)列D.不一定是等比數(shù)列答案：B整萋鎏考點(diǎn)突破d迥"以迥設(shè)計(jì)里敝對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P76考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透）必備知識(shí)等比數(shù)列的有關(guān)公式（1）通項(xiàng)公式：an=&qnTnasq=1(2)前n項(xiàng)和公式：S=|胡1qn1-qa1anq-,qw1.1-q，q提醒運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須對(duì)q=1與qwi分類討論.題組練透1.（2015東北三校聯(lián)考）已知數(shù)列an滿足2an+1+an=0,a2=1則數(shù)列an的前10項(xiàng)和&0為（）A.4(210-1)B.4(21°+1)341。C.3(2-1)4D.3(2+1)3解析：選C.2an+1+an=0,an+1an12.又a2=1,a1=-2,數(shù)列